Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях

1.

Периодические несинусоидальные токи
в линейных электрических цепях

2.

Изображение несинусоидальных напряжений и токов
с помощью рядов Фурье
k 1
k 1
S (t ) A0 Amk cos( k 1t k ) A0 Amk sin( k 1t k )
где
k k 90 0

3.

а)
б)
Линейчатый спектр сигнала: а)амплитудный; б)фазовый

4.

Действующее значение периодического несинусоидального колебания
I m2 1 I m2 2 I m2 3
I I
I 02 I12 I 22 I 32
2
2
2
2
0
где
I0
- постоянная составляющая тока
I1 , I 2 , I 3
- действующее значение первой, второй, третьей гармоники тока
U m2 1 U m2 2 U m2 3
U U
U 02 U12 U 22 U 32
2
2
2
2
0
где
U0
- постоянная составляющая напряжения
U 1 ,U 2 ,U 3
- действующее значение первой, второй, третьей гармоники напряжения
Коэффициент гармоник:
U 22 U 23 U 42 ....
Kг
U1
Коэффициент нелинейных искажений:
Kн
U 22 U 23 U 42 ....
U12 U 22 U 23 U 42 ...

5.

Мощность в цепях несинусоидального тока
Активная мощность
U mk I mk
P U0 I0
cos k U 0 I 0 U k I k cos k
2
k 1
k 1
где
k Uk Ik
P I R0 I k2 Rk
2
0
k 1
- сдвиг фаз между k-ми гармониками напряжения и тока
Реактивная мощность
U mk I mk
Q
sin k U k I k sin k
2
k 1
k 1
Q I k2 X k
k 1
Полная мощность
S U I (U 02 U12 U 22 )( I 02 I12 I 22 )
Мощность искажения
T S 2 P 2 Q 2
S 2 P2 Q2

6.

Расчет линейных электрических цепей несинусоидального тока
Згідно принципу накладення, миттєве значення струму будь-якої вітки кола
дорівнює доданку миттєвих значень струмів окремих гармонік.
Розрахунок проводять для кожної гармоніки окремо.
Спочатку необхідно розрахувати струм від дії постійної складової ЕДС,
потім струм від дії від першої гармоніки, потім другої, третьої і так далі.
При розрахунку струмів, що виникають від дії постійної складової, необхідно
враховувати, що постійний струм через конденсатор не проходить.
Індуктивний опір для k-гармоники:
X Lk k L
Емнісний опір для k-гармоники:
X Ck
1
k C

7.

Приклад розрахунку
Напругу на вході кола задано рядом Фур’є
e 20 50 sin( t 300 ) 25sin( 3 t 450 ).
Необхідно визначити міттеве значення струму i у колі, якщо
R=10 Ом, L=25,48 мГн, С=398 мкФ, =314
рад/с.
i
R
e
L
C

8.

1. Визначаємо постійну складову струму
I
E 0 20
0
A
2. Визначаємо повні опори кола для кожної гармоніки
Z (1) R j ( L
Z ( 3) R j (3 L
1
1
) 10 j (314 25,48 10 3
) 10 j 0 10e j0 Ом
6
C
314 398 10
1
1
j 650
) 10 j (3 314 25,48 10 3
)
10
j
21
,
33
23
,
56
e
Ом
3 C
3 314 398 10 6
,
3. Визначаємо амплітудні значення струмів для кожної гармоніки
I (1) m
E(1) m
I ( 3) m
E ( 3) m
Z (1)
Z ( 3)
0
50e j 30
10e j 0
5e j 30 A
0
0
25e j 45
0
1,06e j110 A
0
0
23,56e j 65
,
4. Міттеве значення струму записуємо у вигляді
i(t ) 5 sin( 314t 30 0 ) 1,06 sin( 3 314t 110 0 )
A

9.

5. Побудуємо графік струму
6. Визначаємо діючи значення струму і напруги
I I
2
0
U U
2
0
U (21) m
2
I (21) m
2
U (23) m
2
I (23) m
2
52 1,06 2
0
2
2
2
50 2 252
20
2
2
2
3,614 А
44,3 В
7. Визначаємо активну, реактивну, повну потужності кола.
P U0 I0 U(1) I(1) cos (1) U( 3) I( 3) cos ( 3) 20 0 34,7 3,47 cos 00 17,68 0,76 cos 650 128,3 Вт
Q U(1) I(1) sin (1) U( 3) I( 3) sin ( 3) 34,7 3,47 sin 00 17,68 0,76 sin 650 16,9 ВАР
S UI 44,3 3,614 160,1 ВА

10.

1. Визначити миттєве значення струму споживача з активним опором 10 Ом,
увімкненого на несинусоїдну напругу u = (220sinωt + 20sin3ωt ) B.
2. Визначити діюче значення струму, який змінюється в часі за законом
i 1,73 6 2 sin t 5 2 sin 3 t A
3. Визначити миттєве значення струму, який протікає через конденсатор з опором
XC
1
30 Ом , якщо напруга на конденсаторі має миттєве значення
C .
0
0
u 150
B
. sin t 30 15 sin 3 t 60
4.
i
R
L
i 3 4 2 sin t 45 0 A
; R = 4 Ом; XL = 6 Ом.
Якою є величина активної потужності,
споживаної цим колом?

11.

Резонансы в цепях периодического несинусоидального тока
Резонанс на k-ой гармонике – это такой режим работы цепи, при котором k-ая гармоника тока в цепи
совпадает по фазе с k-ой гармоникой напряжения.
X Lk X Ck
Условие резонанса
L
R
L
R
C
C
На якій гармоніці можливий резонанс
напруги в цьому колі, якщо для першої
гармоніки R = 10 Ом , XL = 20 Ом , XC
= 40 Ом.
На якій гармоніці можливий резонанс
струмів в цьому колі, якщо для першої
гармоніки R = 10 Ом , XL = 5 Ом , XC =
20 Ом.