2.23M

Категория: $Математика$ Математика

Похожие презентации:

Производная функции в точке

Интегралы функции одной переменной

Производная функции в точке

Интегрирование функции одной переменной

Электронный блокнот. Математика

Основные функции и их графики

Логическая символика. Числовая ось. Бином Ньютона. Абсолютная величина действительного числа. Сложные функции и неявные функции

Производная функции

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования

Электронный справочник. Функции

Функции
Степенные функции
Функция корня n-й степени, иррациональные уравнения и неравенства
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические формулы
Тригонометрические неравенства
Показательная функция, уравнения, неравенства
Логарифмы, логарифмическая функция, уравнения,
неравенства
Производная
Применение производной функции
Первообразная функции и неопределенный интеграл
Определенный интеграл

3.

Логарифмы. Свойства логарифмов.
Логарифмическая функция.
Свойства логарифмической функции.
Простейшие логарифмические
уравнения.
Простейшие логарифмические неравенства.
главная

4.

Логарифмы. Свойства логарифмов.
a> 0, a≠1 , b> 0
a
loga b
b
основное
- логарифмическое
тождество
log a 1 0 log a a 1
log a b c log a b log a c
b
log a log a b log a c
c
1
log a b
log b a
log a b n n log a b
1
log a m b log a b
m
a
log cb
b
log c a
log c b
log a b
log c a

5.

Логарифмическая функция.
y
y=logax, где a> 0, a≠1
a>1
1
x
a<1

6.

Свойства логарифмической функции.

7.

Простейшие логарифмические уравнения.

8.

Простейшие логарифмические неравенства.

9.

Определенный интеграл
Основные свойства определенного интеграла
Криволинейная трапеция
Площадь криволинейной трапеции
(формула Ньютона-Лейбница)
Геометрический смысл определенного интеграла
Физический смысл определенного интеграла
Вычисление площадей и объемов с помощью
определенного интеграла
главная

10.

Определенный интеграл

11.

Основные свойства определенного интеграла

12.

Криволинейная трапеция
Пусть на отрезке [a;b] оси ОХ задана непрерывная функция f (х), не меняющая на
нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a;b] и
прямыми x = a и x = b, называют криволинейной трапецией.
Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рис. 1, а — д.

13.

Площадь криволинейной трапеции
(формула Ньютона-Лейбница)
Для вычисления площадей криволинейных
применяется формула Ньютона-Лейбница:
если F (х) — первообразная на отрезке [а; b], то
F(b) - F(a)
трапеций

14.

Геометрический смысл определенного интеграла
1) Случай, когда f (x) > 0 на [а, b]
S=
2) Возможен следующий случай, когда f (x) < 0 на [а, b]
F(b)-F(a) , где f(x)>0 на [a,b]
3) График y = f (x) может пересекать ось ОХ, допустим,
в точке С [a,b]
S =S1 + S2 =
S= -
F(a)-F(b)

15.

Физический смысл определенного интеграла
При прямом движении перемещение s
численно равно площади криволинейной трапеции
под графиком зависимости ν от времени t:

16.

Вычисление площадей и объемов
с помощью определенного интеграла
Площадь фигуры
Объем тела

17.

Первообразная функции.
Основное свойство первообразных.
Правила вычисления первообразной функции
Первообразная элементарных функций.
Неопределенный интеграл.
Правила интегрирования.
Таблица интегралов.
главная

18.

Первообразная функции.
Функция F (x) называется первообразной для функции f(x)
на данном промежутке, если для любого x из этого
промежутка F x f x
Основное свойство первообразных.

19.

Правила вычисления первообразной функции.
Функция
Первообразная
k f x
k F x
f 1 x f 2 x
F1 x F2 x
f ax b
1
F ax b
a

20.

Первообразная элементарных функций.
№
f(x)
F(x)
1
k
kx C
2
3
4
5
xn
1
x
sin x
cos x
x n 1
C
n 1
№
6
f(x)
1
F(x)
tgx C
2
cos x
1
7
ctgx C
2
sin x
ln x C
cos x C
sin x C
8
9
e
x
a
ex C
x
ax
C
ln a

21.

Неопределенный интеграл.
Совокупность всех первообразных данной
функции f(x) называется ее неопределенным
интегралом и обозначается
∫f(x) dx = F(x) + C, где С – произвольная
постоянная.

22.

Правила интегрирования.
∫cf(x)dx = c ∫f(x)dx, где с - const
∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x) dx + ∫g(x)dx
∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x) dx - ∫g(x)dx
1
∫f(ax + b)dx = F ax b С, где а=0
a

23.

Таблица интегралов.

24.

Показательная функция
Свойства показательной функции
Простейшие показательные уравнения
Простейшие показательные неравенства
главная

25.

Показательная функция
Замечание:

26.

Свойства показательной функции

27.

Простейшие показательные уравнения

28.

Простейшие показательные неравенства

29.

Монотонность функции
Экстремумы функции
Примеры экстремумов функции
Наибольшее и наименьшее значения
функции, непрерывной на отрезке
главная

30.

Монотонность функции

31.

Экстремумы функции
Необходимое условие экстремума:
Достаточное условие экстремума:

32.

Примеры экстремумов функции

33.

Наибольшее и наименьшее значения функции,
непрерывной на отрезке

34.

Производная функции
Геометрический смысл производной функции
Физический смысл производной функции
Уравнение касательной
Правила дифференцирования и производная сложной функции
Производные элементарных функций
главная

35.

Производная функции
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел
отношения приращения функции ∆f=f(x0+ ∆x)-f(x0) к
приращению аргумента ∆x при ∆x 0, если этот предел
существует:
f΄(x0) = lim
∆x
0
f(x0 + ∆x) – f(x0)
∆x

36.

Геометрический смысл производной функции

37.

Физический смысл производной функции

38.

Уравнение касательной

39.

Правила дифференцирования
(C)' 0
C u
u v
C u
u v ' u' v'
u v u v
u
v u v
u
2
v
v
Производная сложной функции
y f x y f
'
'
x

40.

Производные элементарных функций
№
Функция
Производная
№
1
xn
nx n 1
6
2
sin x
3
4
5
cos x
tgx
ctgx
cos x
Функция
Производная
ex
ex
7
ax
a x ln a
8
ln x
9
loga x
sin x
1
cos2 x
1
sin2 x
1
x
1
x ln a

41.

Степенные функции с натуральными показателями степени
• свойства функции
Степенные функции с целыми отрицательными показателями
степени
• свойства функции
Степенные функции с действительными показателями
степени
• свойства функции
главная

42.

Степенные функции с натуральными показателями степени

43.

Свойства функции
Замечание: при n=0 функция y=xn определяется так:
x0=1 при x=0 ; при x=0 функция не определена.

44.

Степенные функции
с целыми отрицательными показателями степени

45.

Свойства функции
Замечание: при n=1 функция y=x-n имеет вид y=1/x и
называется обратной пропорциональностью.

46.

Степенные функции
с действительными показателями степени

47.

Свойства функции

48.

sin x > a; sin x ≥ a; sin x < a; sin x ≤ a
cos x > a; cos x ≥ a; cos x < a; cos x ≤ a
tg x > a; tg x ≥ a; tg x < a; tg x ≤ a
ctg x > a; ctg x ≥ a; ctg x < a; ctg x ≤ a
главная

49.

sin x > a; sin x ≥ a; sin x < a; sin x ≤ a

50.

cos x > a; cos x ≥ a; cos x < a; cos x ≤ a

51.

tg x > a; tg x ≥ a; tg x < a; tg x ≤ a

52.

ctg x > a; ctg x ≥ a; ctg x < a; ctg x ≤ a

53.

Основное тригонометрическое тождество и
следствия из него
Формулы двойного угла
Формулы половинного аргумента
Формулы обратных тригонометрических функций
Формулы произведения функций
Формулы суммы аргументов
Формулы тройных углов
Формулы понижения степени
Универсальная тригонометрическая подстановка
главная

54.

Основное тригонометрическое тождество и следствия из него
1. sin 2 cos 2 1
2. 1 tg
2
1
;
cos
1
2
3. 1 ctg
;
2
sin
2
4. tg ctg 1;
n, n Z
2
n, n Z
n
, n Z
2

55.

Формулы двойного аргумента
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin
2
2
2
2tg
tg 2
2
1 tg
2

56.

Формулы половинного аргумента
1 cos
sin
2
2
2
1 cos
cos
2
2
2
sin
1 cos
tg
2 1 cos
sin

57.

Формулы обратных тригонометрических функций
arcsin x arccos x
arctgx arcctgx
Если 0 < x 1, то
arccos(-x) = - arccosx
arcsin(-x) = - arcsinx
2
2
Если x > 0 , то
arctg(-x) = - arctgx
arcctg(-x) = - arcctgx

58.

Формулы произведения функций
1
sin sin cos cos
2
1
cos cos cos cos
2
1
sin cos sin sin
2

59.

Формулы суммы аргументов
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
tg tg
tg
1 tg tg
tg tg
tg
1 tg tg

60.

Формулы тройных углов
sin 3 3 sin 4 sin
3
3tg tg
tg 3
2
1 3tg
3
cos 3 4 cos 3 cos
3
ctg 3ctg
ctg 3
2
3ctg 1
3

61.

Формулы понижения степени
1.
2.
3.
4.
1
sin 1 cos 2
2
1
2
cos 1 cos 2
2
1 cos 2
2
tg
1 cos 2
1 cos 2
2
ctg
1 cos 2
2

62.

Универсальная тригонометрическая подстановка
2tg
1. sin
1 tg
2. cos
2
2
2
1 tg
2
1 tg
2
2 ; 2 n, n Z
2

63.

Уравнение cos
x=a
Уравнение sinx
главная
=a
Уравнение
tg х = а
Уравнение
сtg х = а

64.

Уравнение СОS х =а

65.

Уравнение sin х = а

66.

Уравнение tg х = а

67.

Уравнение сtg х = а

68.

Определение тригонометрических функций:
•Синус и косинус
•Тангенс и котангенс
Графики тригонометрических функций:
• Синус • Тангенс и котангенс
• Косинус
Свойства синуса и косинуса
Свойства тангенса и котангенса
Обратные тригонометрические функции
Связь между тригонометрическими функциями
одного аргумента
Значения тригонометрических функций некоторых
углов
главная

69.

Определение тригонометрических функций
Функция косинус — это функция, которая ставит в
соответствие каждому числу t абсциссу точки М(t)
координатной окружности.
у
М(t)
sin t
t
Функция синус — это функция, которая ставит в
соответствие каждому числу t ординату точки М(t)
координатной окружности.
Если М(t) = М(х; у),
то х = cos t, у = sin t
Таким образом,
М(t) = М(cos t; sin t)
Запись М(t) показывает положение точки М на координатной окружности,
а запись М(cos t; sin t) – положение той же точки на координатной плоскости.
cos t
х

70.

Функция тангенс —
это частное от деления функции
синус на функцию косинус.
Функция котангенс —
это частное от деления функции
косинус на функцию синус.
Поскольку деление на нуль невозможно, функции tg t и ctg t определены
не для всех значений аргумента. Тангенс определен лишь для значений
аргумента, при которых cos t 0, котангенс определен при sin t 0:
sin t
, где
cos t
cos t
сtg t
, где
sin t
tg t
t
k , k Z
2
t k , k Z