Предел функции по Коши
Предел функции по Гейне
Свойства пределов
Свойства пределов
Свойства пределов
Свойства б.м. функции
Односторонние пределы
Односторонние пределы
Замечательные пределы
Сравнение бесконечно малых
Таблица эквивалентностей
Спасибо за внимание
576.50K
Категория: МатематикаМатематика

Предел функции по Коши

1. Предел функции по Коши

Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x0. В
самой точке x0 функция может быть и не определена.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при
x x0 если по любому сколь угодно малому положительному числу ε
всегда можно найти положительное δ такое, что для всех х,
удовлетворяющих условию 0 < |x - x0| < δ будет выполняться
неравенство | f(x) – A | < ε.
Краткая запись определения:
lim
f ( x) A
x x
0
>0, >0, | x 0<|x– x0|< =>|f(x) – А|< .
y
A+ε
A
f(x)

A-ε

x0
x0-h1
x
x0+h2
1
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

2.

обозначение
предела
lim f ( x) A
x x 0
f(x) называется б. м.
lim f ( x) 0
краткая запись
определения
Геометрическая
иллюстрация
пример
>0, >0, |
x 0< | х – x0| < =>|f(x) – A|<
>0, >0, |
x 0< | х – x0| < =>|f(x)|<
x x0
f(x) называется б. б.
lim f ( x)
x x0
f(x) называется б. б.
lim f ( x)
x x0
lim f ( x ) A
x
f(x)
>0, >0, |
x | х| >1/ =C =>|f(x) – A|<
y
2
-C 0

C
x
2x
lim 2 2 2
x
x 1
lim
f ( x) A
x
lim
f ( x) A
x
2
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

3. Предел функции по Гейне

Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x0. В
самой точке x0 функция может быть и не определена.
Определение. Вещественное число А называется пределом
функции f(x) при х x0, если для любой последовательности
xn значений аргумента, стремящейся к x0 соответствующая
последовательность значений функции f(xn) сходиться к А.
При этом предполагается, что xn такая, что xn D(f) и
xn x0 n N
Теорема 1. Определение предела функции по Гейне и по
Коши эквивалентны.
3
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

4. Свойства пределов

1. Если предел функции f(x) при х x0 существует, то он
единственный.
2. Если функция f(x) при х x0 имеет конечный предел, то
она ограничена в некоторой окрестности точки x0.
3.
Функция имеет предел тогда и только тогда, когда ее
можно представить как сумму постоянной, равной этому
пределу и бесконечно малой величины.
lim
f ( x) A f ( x) A ( x), ( x) б.м.в. при x x0
x x
0
4
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

5. Свойства пределов

4. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при х x0 , то их
сумма, разность, произведение и частное имеют предел при
х x0, причем
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
a)
;
b) lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) ;
c)
f ( x) lim f ( x)
x x0
x x0
x x0
x x0
lim
x x
0
g ( x)
lim g ( x)
x x0
x x0
, g ( x) 0, lim
g ( x) 0
x x
x x0
0
x x0
d) Если функция f(x) имеет предел при
х x0, то
произведение с*f(x) имеет предел при
х x0, с –
константа, причем
c f ( x) c lim
lim
f ( x) .
x x
x x
5. Пусть lim
f ( x) A и существует проколотая окрестность
x x
U*(x0, ) такая, что f(x) > 0 x U*(x0, ), тогда А 0.
0
0
0
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

6. Свойства пределов

6. Пусть
и пусть lim g ( x) B
lim
f ( x) A
x x
и
x x0
0
f(x) < g(x)
x U*(x0, ) (или f(x) ≤ g(x)), тогда А ≤ B.
7. Пусть x U*(x0, ) выполняется f(x) ≤ g(x) ≤ (x). Если
существует lim f ( x)
и существует lim ( x)
, причем
x x0
x x0
lim f ( x) lim ( x) A
x x0
x x0
, то существует и lim g ( x) A .
x x0
8. Свойство о пределе композиции функций.
Пусть f : X Y , g : Y Z и существуют lim f ( x) y lim g ( y) z
0
x x0
y y0
тогда g(f(x))=g f имеет предел при х x0, причем
lim
g ( f ( x)) lim
g ( y) z0
x x
y y
0
.
0
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
0

7. Свойства б.м. функции

1. Сумма, разность, произведение двух б.м. при x x0 есть
функция б.м. при x x0.
2. Пусть (x) - б.м. при x x0, f(x) – ограниченна в U*( x0, ),
тогда (x) f(x) – б.м. при x x0.
3. Если (x) - б.м. при x x0, то с (x) - б.м. при x x0,
с-константа.
4. Если функция у = f(x) – б.м. при x x0 и
f(x) 0 в
некоторой окрестности точки x0, то функция y=1/f(x) – б.б.
при x x0. Если функция у = f(x) - б.б. при x x0, и f(x) 0
в некоторой окрестности точки x0, то функция y = 1/f(x) –
б.м. при x x0.
5. О роли б.м. в теории пределов.
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

8. Односторонние пределы

Определение. Число А называется пределом функции
f(x) при х x0 слева, если для любого >0 существует такое
>0, что для всех х, отвечающих условию 0 < х0 – x <
выполняется неравенство |f(x) – А|< .
Число А называется пределом функции f(x) при х x0
справа, если для любого >0 существует такое >0, что для
всех х, отвечающих условию 0 < х – x0< выполняется
неравенство |f(x) – А|< .
Обозначение:
lim f ( x) или f(x – 0) предел слева при х x ,
x x 0
0
0
lim f ( x) или f(x0+0) предел справа при х x0.
x x0 0
0
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009

9. Односторонние пределы

Теорема 2. (О существовании конечного предела.)
Пусть x0 R. Функция f(x) имеет конечный предел при х x0
тогда и только тогда, когда существуют конечные и равные
f ( x) A .
между собой пределы lim f ( x) = lim f ( x) =A, при этом xlim
x
x x0 0
x x0 0
0
Замечание 1. Все свойства пределов остаются верными и в
случае односторонних пределов.
Замечание 2. Определение одностороннего предела на языке
последовательностей дается также как и определение предела
при х x0 с той лишь разницей, что для последовательности
{xn} должно выполняться условие xn < x0 для предела слева и
xn > x0 для предела справа.
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009

10. Замечательные пределы

Теорема 3. Предел отношения sin x к своему аргументу x
равен единице, когда аргумент стремится к нулю, т. е.
sin x
lim
1 – 1 замечательный предел.
x 0
x
x
1
1
lim
1 x x e ) – 2 замечательный предел.
1 e (или lim
x
x 0
x
Следствия:
1) lim
x 0
arcsin x
1 ,
x
2) lim
x 0
tgx
1
x
, 3) lim
x 0
arctgx
1 .
x
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009

11. Сравнение бесконечно малых

Пусть (x), (x) – б.м. при x x0, где x0 – конечно или б.б.
Определение. Если lim ( x) 0 , то говорят, что (x) б.м. более
x x
( x)
высокого порядка, чем (x) при х x0, или что (x) - б.м. низшего
0
порядка относительно (x). Обозначение: (x) =о( (x)).
Определение. Если lim
x x
0
( x)
c , где с = const 0, то (x)
( x)
и (x)
называют б.м. одного порядка.
( x)
В частности, если
, то (x) и (x) называются
lim
1
x x
( x)
эквивалентными. Обозначение: (x) ~ (x).
0
Определение. Б.м. (x) называется бесконечно малой порядка k
( x)
относительно б.м. (x), если lim
c , где с = const 0.
k
x x
( x)
0
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009

12.

Теорема 2. (О замене б.м. на эквивалентную.)
Если (x) ~ 1(x), (x) ~ 1(x) и
предел отношения б.м.
lim
x x
0
( x)
c , то lim 1 ( x) c , т.е.
x x
( x)
1 ( x)
0
не меняется при
замене их
эквивалентными бесконечно малыми:
1 ( x)
( x)
lim
lim
x x
( x ) x x 1 ( x )
0
0
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009

13. Таблица эквивалентностей

Пусть (х) 0 при x x0. Тогда при x x0
n ( x)
1 (х)
(~x) (х)
1
sin
n
ln (1 + (х)) ~ (х)
~
x
arcsin (x) ~ (х)
log a (1 + (х)) ~ ln a
tg (х) ~ (х)
e (х) - 1 ~ (х)
arctg (х) ~ (х)
a (х) – 1 ~ (х) 1n а
1 - cos (х) ~
2 x
2
n
1 ( x) 1 ~
( x)
n
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009

14.

Теорема 2. (Критерий эквивалентности б.м.)
Б.м. (x) и (x) при x x0 эквивалентные б.м. тогда и только
тогда, когда их разность (x) – (x) – б.м. более высокого
порядка, чем (x) и (x) при x x0.
Замечание 1. Аналогично б.м. можно сравнивать и б.б., а
именно
если f(x) и (x)-б.б. при x x0 и
,
f ( x)
lim
0, то
x x0
( x)
1
f(x) б.б. более высокого порядка, чем (x);
f(x) б.б. более низкого порядка, чем (x);
f(x) и (x) эквивалентные б.б. при x x0.
Замечание 2. Теоремы 1 и 2 для б.б. функций остаются
верными с той лишь разницей, что главной частью б.б.
функции является б.б. более высокого порядка.
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009

15. Спасибо за внимание

LOGO
Спасибо за внимание
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009
English     Русский Правила