ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности
Примеры
Свойства пределов последовательностей
Правила вычисления пределов
2. Предел функции
Определение предела функции по Гейне (на языке последовательностей)
Замечательные пределы
3. Непрерывность функции, точки разрыва
Точки разрыва
Алгоритм исследования функции на непрерывность
1.97M
Категория: МатематикаМатематика

Предел числовой последовательности, предел функции

1.

Предел числовой
последовательности, предел
функции

2.

1. Предел последовательности
{уn}: 1,3,5,7,9,…,(2n-1),...
Расходится
Нет точки сгущения
Нет предела
{хn}: 1,1/2,1/3,1/4,1/5,…1/n,..
Сходится
Точка сгущения-0
Предел последовательности-0

3.

интервал (a-r, a+r) называется
окрестностью точки a радиуса r
Пример
(5,9;6,1)-окрестность точки 6 радиуса 0,1
(-0,1;0,1)- окрестность точки 0

4.

Число
a ℝ
называется
пределом
последовательности { xn } если >0 N ℕ
такое, что
| xn – a | < , n>N
lim xn a,
n
xn a
Последовательность, имеющую предел, называют
сходящейся (сходящейся к a)
Последовательность, не имеющую предела, называют
расходящейся

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности

Пусть r ℝ,
M(r) Ox
M
O
x
M(r) – геометрическая интерпретация числа r ℝ .
Пусть x0 ℝ, >0.
x0
x0
x0
x
Интервал (x0 – ; x0 + ) называют -окрестностью точки x0.
(геометрическое определение -окрестности точки)
Будем обозначать: U(x0, )
U(x0, ) = {x ℝ | |x – x0| < }
(алгебраическое определение -окрестности точки)

6.

Вывод: (из определения предела последовательности)
если {xn} a , то с геометрической точки зрения это
означает, что в любой -окрестности точки a
находятся все члены последовательности {xn}, за
исключением может быть конечного их числа
т.е. a – точка «сгущения» последовательности { xn }

7. Примеры

8. Свойства пределов последовательностей

● Последовательность может иметь только
один предел
● Если последовательность сходится , то
она ограничена
Обратное-неверно: 1,2,3,1,2,3,…ограниченная последовательность, но она
не сходится
●(теорема Вейерштрасса) Если
последовательность монотонна и
ограничена, то она сходится

9.

Последовательность, предел которой равен
нулю, называют бесконечно малой (б.м)
ЛЕММА. Число a ℝ является пределом
последовательности {xn} xn= a + n, где
{ n} – бесконечно малая

10.

Замечание *
1. Если {xn} и {yn} б.м последовательности, то
сумма { xn+ yn },
разность{ xn– yn},
произведение{ xn yn },
произведение на число {cxn},
xn
( y n 0)
частное
yn
соответственно последовательности б.м.
2. Пусть {xn} – ограничена, { n} – б. м., тогда {xn n} – б. м.

11. Правила вычисления пределов

Пусть
lim xn a, lim yn b
n
n
1) Предел суммы равен сумме пределов:
lim ( xn yn ) a b
n
2) Предел произведения равен произведению пределов:
lim ( xn yn ) a b
n
3) Предел частного равен частному пределов:
xn a
lim
n y
n b
(b 0)
4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (cx n ) c lim xn ca
n
n

12.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Будем использовать лемму б. м. последовательности
и замечание *
Самостоятельно (аналогично)
доказать правила 3 и 4

13.

Теорема о «двух милиционерах»
Пусть последовательности {xn} и {yn} сходятся к
одному и тому же числу и n ℕ имеет место
неравенство
xn zn yn , n ℕ.
Тогда последовательность
причем
{zn}
тоже
lim xn lim z n lim y n
n
n
n
сходится,

14.

Виды неопределённостей и способы их
раскрытия
0
0
0
, , 0 , , 1 , 0 ,
0

15.

16.

17. 2. Предел функции

Пусть функция f(x) определена в некоторой
окрестности точки x0 ℝ̄ , кроме, может быть,
самой точки x0
U*(x0, ) = U(x0, ) \ {x0} – проколотая окрестность
точки x0
Определение предела функции по Коши (на языке
окрестностей)
Число A ℝ называется пределом функции f(x) при x → x0
(пределом функции f(x) в точке x0), когда >0 >0 такое,
что
если x U*(x0, ) , то f(x) U(A, )

18.

lim f ( x) A
x x0
( 0)( ( ) 0)( x X , 0 x x0 ) f ( x) A )
y
A+ε
A
f(x)

A-ε

x0-δ1
x0
x0+δ2
x

19. Определение предела функции по Гейне (на языке последовательностей)

Число A ℝ называется пределом функции f(x) при x →
x0 (пределом функции f(x) в точке x0), если для любой
последовательности
{xn},
сходящейся
к
x0,
последовательность {f(xn)} соответствующих значений
функции сходится к А

20.

Замечания
1. Свойства пределов функции, правила
вычисления пределов функции аналогичны
пределам последовательности
Самостоятельно их записать, изменяя
слово «последовательность» на
«функция»

21.

2) Пусть f: X Y , : Y Z и существуют
f ( x) y 0 ,
lim ( y ) z 0
пределы xlim
x
y y
0
0
Тогда сложная функция (f(x)) имеет предел
при x x0 , причем
lim ( f ( x)) lim ( y ) z 0
x x0
y y0
(1)
- формула замены переменной в пределе

22.

Функция (x) называется бесконечно малой (б.м) при
x x0 , если
lim ( x) 0
x x0
ЛЕММА. Число A ℝ является пределом функции f(x)
при x x0 f(x) = A + (x) , где (x) – бесконечно
малая при x x0
Функция f(x) называется бесконечно большой
при x x0 (в точке x0), если предел этой
функции равен ∞

23. Замечательные пределы

первый замечательный предел
sin x
lim
1
x 0
x
второй замечательный предел
1
x
lim 1 x e
x 0
СЛЕДСТВИЯ
tg x
1) lim
1
x 0 x
СЛЕДСТВИЯ
ln(1 x)
1) lim
1
x 0
x
1 cos x
2) lim
1
2
x 0 x 2
arcsin x
3) lim
1
x 0
x
log a (1 x)
2) lim
1
x 0
x ln a
e x 1
3) lim
1
x 0
x
arctg x
4) lim
1
x 0
x
a x 1
4) lim
1
x 0 x ln a

24.

Односторонние пределы
правосторонний
левосторонний
f ( x0 0) ,
f ( x0 0) ,
lim
x x0 0
f ( x)
Число B ℝ называется
пределом функции f(x)
при x → x0 справа, если
>0 >0 такое, что
если x удовлетворяет
условию
0 < x – x0 < ,
то
f(x) U(B, )
lim
x x0 0
f ( x)
Число A ℝ называется
пределом функции f(x)
при x → x0 слева (в
точке x0 слева), если
>0 >0 такое, что
если x удовлетворяет
условию
0 < x0 – x < ,
то
f(x) U(A, )

25.

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное
существования предела функции)
условие
Функция f(x) имеет предел при x x0
существуют конечные и равные между собой
односторонние пределы функции f(x) при x x0 .
При этом
lim f ( x) lim
x x0
x x0 0
f ( x) lim
x x0 0
f ( x)
Замечание
Все свойства пределов остаются справедливыми и
для односторонних пределов

26. 3. Непрерывность функции, точки разрыва

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки
x0
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 ,
если предел функции в точке x0 равен значению
функции в этой точке:
lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
(1)

27.

Замечание
В силу теоремы о существовании предела
равенство (1) можно записать в виде
lim
x x0 0
f ( x) lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 ) .
(2)
– определение непрерывности функции в точке
на языке односторонних пределов

28.

Функция f(x) называется непрерывной на интервале
(a; b) если она непрерывна в каждой точке этого
интервала
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке
[a; b] если она непрерывна на интервале (a; b) и
непрерывна в граничных точках (т.е. непрерывна в
точке a справа, в точке b – слева)

29.

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки
x0 , но не является непрерывной в этой точке, то f(x)
называют разрывной в точке x0 , а саму точку x0
называют точкой разрыва функции f(x)
Замечания
1) f(x) может быть определена в односторонней окрестности
точки x0
Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю
непрерывность функции
2) Из определения точка x0 является точкой разрыва
функции f(x) в случаях, когда нарушается хотя бы одно из
равенств:
lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 )
x x0 0
x x0 0

30. Точки разрыва

первого рода
Точка x0 называется точкой
разрыва первого рода, если
функция f(x) имеет в этой точке
конечные пределы слева и
справа
Если при этом односторонние
пределы равны, то точка
x0
называется
точкой
устранимого разрыва,
при неравных односторонних
пределах – точкой скачка
второго рода
Точка x0 называется
точкой разрыва
второго рода, если
хотя бы один из
односторонних
пределов функции
f(x) в этой точке
равен или не
существует

31. Алгоритм исследования функции на непрерывность

1. Найти точки, подозрительные на разрыв.
(точки, в которых функция не определена или не задана)
2. Найти односторонние пределы для каждой
подозрительной точки.
Вычислить значение функции в этой точке, если оно
существует
3. Классифицировать характер разрыва
4. Построить эскиз графика. (При необходимость вычислить
пределы функции на плюс - бесконечности и минус бесконечности)

32.

Примеры
x2 4
1. f ( x)
x 2
2. f ( x) 2
1
x 1
y
y
1
4
2
-2
1
2
4
x
x

33.

ТЕОРЕМА (Коши, о промежуточных значениях)
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и –
число, заключенное между f(a) и f(b) . Тогда существует
хотя бы одна точка x0 [a; b] такая, что f(x0) =
СЛЕДСТВИЕ 1 (теоремы Коши)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на его
концах принимает значения разных знаков, то на (a; b)
существует хотя бы одна точка, в которой функция
обращается в ноль
СЛЕДСТВИЕ 2 (теорем Коши-Вейерштрасса)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то
множеством ее значений является отрезок [m; M], где m и
M – соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции f(x) на отрезке [a; b]
English     Русский Правила