Предел числовой последовательности, предел функции

1.

Предел числовой
последовательности, предел
функции

2.

1. Предел последовательности
{уn}: 1,3,5,7,9,…,(2n-1),...
Расходится
Нет точки сгущения
Нет предела
{хn}: 1,1/2,1/3,1/4,1/5,…1/n,..
Сходится
Точка сгущения-0
Предел последовательности-0

3.

интервал (a-r, a+r) называется
окрестностью точки a радиуса r
Пример
(5,9;6,1)-окрестность точки 6 радиуса 0,1
(-0,1;0,1)- окрестность точки 0

4.

Число
a ℝ
называется
пределом
последовательности { xn } если >0 N ℕ
такое, что
| xn – a | < , n>N
lim xn a,
n
xn a
Последовательность, имеющую предел, называют
сходящейся (сходящейся к a)
Последовательность, не имеющую предела, называют
расходящейся

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности

Пусть r ℝ,
M(r) Ox
M
O
x
M(r) – геометрическая интерпретация числа r ℝ .
Пусть x0 ℝ, >0.
x0
x0
x0
x
Интервал (x0 – ; x0 + ) называют -окрестностью точки x0.
(геометрическое определение -окрестности точки)
Будем обозначать: U(x0, )
U(x0, ) = {x ℝ | |x – x0| < }
(алгебраическое определение -окрестности точки)

6.

Вывод: (из определения предела последовательности)
если {xn} a , то с геометрической точки зрения это
означает, что в любой -окрестности точки a
находятся все члены последовательности {xn}, за
исключением может быть конечного их числа
т.е. a – точка «сгущения» последовательности { xn }

7. Примеры

8. Свойства пределов последовательностей

● Последовательность может иметь только
один предел
● Если последовательность сходится , то
она ограничена
Обратное-неверно: 1,2,3,1,2,3,…ограниченная последовательность, но она
не сходится
●(теорема Вейерштрасса) Если
последовательность монотонна и
ограничена, то она сходится

9.

Последовательность, предел которой равен
нулю, называют бесконечно малой (б.м)
ЛЕММА. Число a ℝ является пределом
последовательности {xn} xn= a + n, где
{ n} – бесконечно малая

10.

Замечание *
1. Если {xn} и {yn} б.м последовательности, то
сумма { xn+ yn },
разность{ xn– yn},
произведение{ xn yn },
произведение на число {cxn},
xn
( y n 0)
частное
yn
соответственно последовательности б.м.
2. Пусть {xn} – ограничена, { n} – б. м., тогда {xn n} – б. м.

11. Правила вычисления пределов

Пусть
lim xn a, lim yn b
n
n
1) Предел суммы равен сумме пределов:
lim ( xn yn ) a b
n
2) Предел произведения равен произведению пределов:
lim ( xn yn ) a b
n
3) Предел частного равен частному пределов:
xn a
lim
n y
n b
(b 0)
4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (cx n ) c lim xn ca
n
n

12.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Будем использовать лемму б. м. последовательности
и замечание *
Самостоятельно (аналогично)
доказать правила 3 и 4

13.

Теорема о «двух милиционерах»
Пусть последовательности {xn} и {yn} сходятся к
одному и тому же числу и n ℕ имеет место
неравенство
xn zn yn , n ℕ.
Тогда последовательность
причем
{zn}
тоже
lim xn lim z n lim y n
n
n
n
сходится,

14.

Виды неопределённостей и способы их
раскрытия
0
0
0
, , 0 , , 1 , 0 ,
0

15.

16.

17. 2. Предел функции

Пусть функция f(x) определена в некоторой
окрестности точки x0 ℝ̄ , кроме, может быть,
самой точки x0
U*(x0, ) = U(x0, ) \ {x0} – проколотая окрестность
точки x0
Определение предела функции по Коши (на языке
окрестностей)
Число A ℝ называется пределом функции f(x) при x → x0
(пределом функции f(x) в точке x0), когда >0 >0 такое,
что
если x U*(x0, ) , то f(x) U(A, )

18.

lim f ( x) A
x x0
( 0)( ( ) 0)( x X , 0 x x0 ) f ( x) A )
y
A+ε
A
f(x)
2ε
A-ε
2δ
x0-δ1
x0
x0+δ2
x

19. Определение предела функции по Гейне (на языке последовательностей)

Число A ℝ называется пределом функции f(x) при x →
x0 (пределом функции f(x) в точке x0), если для любой
последовательности
{xn},
сходящейся
к
x0,
последовательность {f(xn)} соответствующих значений
функции сходится к А

20.

Замечания
1. Свойства пределов функции, правила
вычисления пределов функции аналогичны
пределам последовательности
Самостоятельно их записать, изменяя
слово «последовательность» на
«функция»

21.

2) Пусть f: X Y , : Y Z и существуют
f ( x) y 0 ,
lim ( y ) z 0
пределы xlim
x
y y
0
0
Тогда сложная функция (f(x)) имеет предел
при x x0 , причем
lim ( f ( x)) lim ( y ) z 0
x x0
y y0
(1)
- формула замены переменной в пределе

22.

Функция (x) называется бесконечно малой (б.м) при
x x0 , если
lim ( x) 0
x x0
ЛЕММА. Число A ℝ является пределом функции f(x)
при x x0 f(x) = A + (x) , где (x) – бесконечно
малая при x x0
Функция f(x) называется бесконечно большой
при x x0 (в точке x0), если предел этой
функции равен ∞

23. Замечательные пределы

первый замечательный предел
sin x
lim
1
x 0
x
второй замечательный предел
1
x
lim 1 x e
x 0
СЛЕДСТВИЯ
tg x
1) lim
1
x 0 x
СЛЕДСТВИЯ
ln(1 x)
1) lim
1
x 0
x
1 cos x
2) lim
1
2
x 0 x 2
arcsin x
3) lim
1
x 0
x
log a (1 x)
2) lim
1
x 0
x ln a
e x 1
3) lim
1
x 0
x
arctg x
4) lim
1
x 0
x
a x 1
4) lim
1
x 0 x ln a

24.

Односторонние пределы
правосторонний
левосторонний
f ( x0 0) ,
f ( x0 0) ,
lim
x x0 0
f ( x)
Число B ℝ называется
пределом функции f(x)
при x → x0 справа, если
>0 >0 такое, что
если x удовлетворяет
условию
0 < x – x0 < ,
то
f(x) U(B, )
lim
x x0 0
f ( x)
Число A ℝ называется
пределом функции f(x)
при x → x0 слева (в
точке x0 слева), если
>0 >0 такое, что
если x удовлетворяет
условию
0 < x0 – x < ,
то
f(x) U(A, )

25.

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное
существования предела функции)
условие
Функция f(x) имеет предел при x x0
существуют конечные и равные между собой
односторонние пределы функции f(x) при x x0 .
При этом
lim f ( x) lim
x x0
x x0 0
f ( x) lim
x x0 0
f ( x)
Замечание
Все свойства пределов остаются справедливыми и
для односторонних пределов

26. 3. Непрерывность функции, точки разрыва

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки
x0
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 ,
если предел функции в точке x0 равен значению
функции в этой точке:
lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
(1)

27.

Замечание
В силу теоремы о существовании предела
равенство (1) можно записать в виде
lim
x x0 0
f ( x) lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 ) .
(2)
– определение непрерывности функции в точке
на языке односторонних пределов

28.

Функция f(x) называется непрерывной на интервале
(a; b) если она непрерывна в каждой точке этого
интервала
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке
[a; b] если она непрерывна на интервале (a; b) и
непрерывна в граничных точках (т.е. непрерывна в
точке a справа, в точке b – слева)

29.

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки
x0 , но не является непрерывной в этой точке, то f(x)
называют разрывной в точке x0 , а саму точку x0
называют точкой разрыва функции f(x)
Замечания
1) f(x) может быть определена в односторонней окрестности
точки x0
Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю
непрерывность функции
2) Из определения точка x0 является точкой разрыва
функции f(x) в случаях, когда нарушается хотя бы одно из
равенств:
lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 )
x x0 0
x x0 0

30. Точки разрыва

первого рода
Точка x0 называется точкой
разрыва первого рода, если
функция f(x) имеет в этой точке
конечные пределы слева и
справа
Если при этом односторонние
пределы равны, то точка
x0
называется
точкой
устранимого разрыва,
при неравных односторонних
пределах – точкой скачка
второго рода
Точка x0 называется
точкой разрыва
второго рода, если
хотя бы один из
односторонних
пределов функции
f(x) в этой точке
равен или не
существует

31. Алгоритм исследования функции на непрерывность

1. Найти точки, подозрительные на разрыв.
(точки, в которых функция не определена или не задана)
2. Найти односторонние пределы для каждой
подозрительной точки.
Вычислить значение функции в этой точке, если оно
существует
3. Классифицировать характер разрыва
4. Построить эскиз графика. (При необходимость вычислить
пределы функции на плюс - бесконечности и минус бесконечности)

32.

Примеры
x2 4
1. f ( x)
x 2
2. f ( x) 2
1
x 1
y
y
1
4
2
-2
1
2
4
x
x

33.

ТЕОРЕМА (Коши, о промежуточных значениях)
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и –
число, заключенное между f(a) и f(b) . Тогда существует
хотя бы одна точка x0 [a; b] такая, что f(x0) =
СЛЕДСТВИЕ 1 (теоремы Коши)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на его
концах принимает значения разных знаков, то на (a; b)
существует хотя бы одна точка, в которой функция
обращается в ноль
СЛЕДСТВИЕ 2 (теорем Коши-Вейерштрасса)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то
множеством ее значений является отрезок [m; M], где m и
M – соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции f(x) на отрезке [a; b]