Теорема о трех перпендикулярах

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них
проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна.
a
a b
a II
b
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно
первой, называется расстоянием между
скрещивающимися прямыми.

3.

Расстояние
Отрезок, имеющий
между одной
концы
изна
скрещивающихся
двух скрещивающихся
прямых и
плоскостью,
прямых и перпендикулярный
проходящей черезкдругую
этим прямым,
прямую называется
параллельно
первой,
их общим
называется
перпендикуляром.
расстоянием между
скрещивающимися
На рисунке АВ – общий
прямыми.
перпендикуляр.
В
А

4.

Повторение. Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
А
П-Р
Н
Н-я
П-я
М
a

5.

Повторение. Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней,
перпендикулярна и к ее проекции.
А
П-Р
Н
Н-я
П-я
М
a

6.

Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости
прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники АМD и
МСD прямоугольные.
TTП
№147.
AD AM
AD AB
М
DC BC
П-Р
А
П-я 1
D
Н-я 1
П-я 1
П-я 2
В
С
TTП
DC CM
Н-я 2

7.

Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая
АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно,
что КD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите:
КА – искомое расстояние
а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника АВСD;
б) расстояние между прямыми АК и СD. АD – общий перпендикуляр
АD – искомое расстояние
№150.
K
Найдем другие прямые углы…
СD AD
6
D
9
П-я 1
С
П-я 1
П-Р
?
А
BC BA
7
П-я 2
В
TTП
CD DK
Н-я 1
TTП
BC BK
Н-я 2

8.

Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF,
перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от
точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали
квадрата, если ВF = 8 дм, АВ = 4 дм.
№152.
1) Расстояние от точки F до прямой АВ?
F
2) Расстояние от точки F до прямой ВС?
3) Расстояние от точки F до прямой АD?
8
П-Р
АD AB
П-я 1
TTП
AD AF
Н-я 1
4) … от точки F до прямой DC?
А
В
П-я 1
DC BC
П-я 2
D
4
С
TTП
DC FC
Н-я 2

9.

10.

Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба АВСD,
диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что
расстояние от точки К до всех прямых содержащих стороны
ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если
ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, ВD = 8 дм.
№157.
К
4,5
A
А
O
6
8
Р
D
F
B
В
С
О
Р
D
F
C

11.

Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ,
перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от
точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если
АВ = 25 см, ВАD = 600, ВМ = 12,5 см.
№158.
М
12,5 см
В
В
Р
А
F
С
С
D
А
Р
600
F
D

12.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту
прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол
между прямой и ее проекцией на плоскость.
М
Н-я
А
П-Р
П-я
Н

13.

Найти угол между наклонными и плоскостью
(описать алгоритм построения).
М
М
H
F
F
FМ
П-Р
F
А
R
Н
К
FH

14.

Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС.
Известно, что ВD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.
Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС;
б) площадь треугольника АСD.
№154 (дом).
D
П-Р
А
9
П-я
В
М 10
13
С
AC BМ
П-я
TTП
AC MD
Н-я
МD – искомое расстояние

15.

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее
проекцией на эту плоскость является точка пересечения
этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между
прямой и плоскостью считается равным 900.
А
Н

16.

Если прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на
плоскость является прямая, параллельная данной. В этом
случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не
вводим. (Иногда договариваются считать, что угол между
параллельными прямой и плоскостью равен 00)
a

17.

Из точки А, удаленной от плоскости на расстояние d,
проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом
300 к плоскости. Их проекции на плоскость образуют
угол в 1200. Найдите ВС.
№165.
A
d
O
С
300
1200
300
В

English Русский Правила