Теорема о трех перпендикулярах

1.

2.

Повторение
Определение. Прямая называется перпендикулярной к
плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в этой плоскости.
a
S
F
A
a
N
D
H
a AS , a AF , a FS , a ND, a DH , a HN

3.

Повторение
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то
она перпендикулярна к этой плоскости.
a
p
p , a p,
q , a q,
a

4.

Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
М
Н
М
Н
Отрезок АН – перпендикуляр
Точка Н – основание перпендикуляра
Отрезок АМ – наклонная
Точка М – основание наклонной
Отрезок МН – проекция
наклонной на прямую а
Отрезок МН – проекция
наклонной на плоскость

5.

Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
М
Н
Н
М
Из всех расстояний от точки А
до различных точек прямой
а
плоскости
наименьшим является длина
перпендикуляра.
Расстояние от точки до
Расстояние от точки до
прямой – длина
плоскости – длина
перпендикуляра
перпендикуляра

6.

Расстояние от лампочки до земли
измеряется по перпендикуляру,
проведенному от лампочки к
плоскости земли

7.

Если две плоскости параллельны, то все точки одной
плоскости равноудалены от другой плоскости.
II
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.

8.

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой
равноудалены от этой плоскости.
a
a II
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости
называется расстоянием между прямой и параллельной
ей плоскостью.

9.

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них
проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна.
a
a b
a II
b
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно
первой, называется расстоянием между
скрещивающимися прямыми.

10.

Расстояние
Отрезок, имеющий
между одной
концы
изна
скрещивающихся
двух скрещивающихся
прямых и
плоскостью,
прямых и перпендикулярный
проходящей черезкдругую
этим прямым,
прямую называется
параллельно
первой,
их общим
называется
перпендикуляром.
расстоянием между
скрещивающимися
На рисунке АВ – общий
прямыми.
перпендикуляр.
В
А

11.

В
Н-Я
П-Я
А
П-Р
С
Н-Я
П-Я
M

12.

Из точки А к плоскости проведены две наклонные,
которые образуют со своими проекциями на плоскость
углы в 600. Угол между наклонными 900. Найдите
расстояние между основаниями наклонных, если
расстояние от точки А до плоскости равно 18 см.
A
18
К
В
600
600

13.

Из точки А к плоскости проведены две наклонные, длины
которых равны 26 см и 2 133 см. Их проекции на эту
плоскость относятся как 5:4. Найдите расстояние от точки А
до плоскости .
A
2 133
26
?
В
М
С

14.

Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
А
П-Р
Н
Н-я
П-я
М
a

15.

Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней,
перпендикулярна и к ее проекции.
А
П-Р
Н
Н-я
П-я
М
a

16.

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного
треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС.
Докажите, что МК ВС.
№148.
К
П-Р
А
В
П-я
М
С
BC AМ
П-я
TTП
BC MК
Н-я

17.

Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного
треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см,
АD = 12 см.
Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.
№149 (дом.)
D
П-Р
В
12
П-я
А
N 6
5
С
BC AN
П-я
TTП
BC DN
Н-я
АN и DN – искомые расстояния

18.

В треугольнике угол С прямой, угол А равен 600, AС=12см.
DC (АВС). DC= 6 5 Найдите расстояния:
а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ.
АВ СN
D
AB DN
TTП
Н-я
П-я
6 5
П-Р
CN и DN – искомые расстояния
А
С
12
600
N
В

19.

Через вершину прямого угла С равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ,
перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от
точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ = 2 7 см.
М
П-Р
2 7
С
А
4
П-я
F
В
AВ СF
П-я
TTП
AВ MF
Н-я
МF – искомое расстояние

20.

та
Один из катетов прямоугольного треугольника равен т,
острый угол, прилежащий к этому катету, равен . Через
вершину прямого угла С проведена прямая СD,
перпендикулярная к плоскости этого треугольника, СD = n.
n
Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.
№156.
D
П-Р
С
А
П-я
F
В
AВ СF
П-я
TTП
AВ DF
Н-я
DF – искомое расстояние

21.

22.

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них
проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна.
a
a b
a II
b
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно
первой, называется расстоянием между
скрещивающимися прямыми.

23.

Расстояние
Отрезок, имеющий
между одной
концы
изна
скрещивающихся
двух скрещивающихся
прямых и
плоскостью,
прямых и перпендикулярный
проходящей черезкдругую
этим прямым,
прямую называется
параллельно
первой,
их общим
называется
перпендикуляром.
расстоянием между
скрещивающимися
На рисунке АВ – общий
прямыми.
перпендикуляр.
В
А

24.

Повторение. Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
А
П-Р
Н
Н-я
П-я
М
a

25.

Повторение. Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней,
перпендикулярна и к ее проекции.
А
П-Р
Н
Н-я
П-я
М
a

26.

Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости
прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники АМD и
МСD прямоугольные.
TTП
№147.
AD AM
AD AB
М
DC BC
П-Р
А
П-я 1
D
Н-я 1
П-я 1
П-я 2
В
С
TTП
DC CM
Н-я 2

27.

Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая
АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно,
что КD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите:
КА – искомое расстояние
а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника АВСD;
б) расстояние между прямыми АК и СD. АD – общий перпендикуляр
АD – искомое расстояние
№150.
K
Найдем другие прямые углы…
СD AD
6
D
9
П-я 1
С
П-я 1
П-Р
?
А
BC BA
7
П-я 2
В
TTП
CD DK
Н-я 1
TTП
BC BK
Н-я 2

28.

Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF,
перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от
точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали
квадрата, если ВF = 8 дм, АВ = 4 дм.
№152.
1) Расстояние от точки F до прямой АВ?
F
2) Расстояние от точки F до прямой ВС?
3) Расстояние от точки F до прямой АD?
8
П-Р
АD AB
П-я 1
TTП
AD AF
Н-я 1
4) … от точки F до прямой DC?
А
В
П-я 1
DC BC
П-я 2
D
4
С
TTП
DC FC
Н-я 2

29.

Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF,
перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от
точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали
квадрата, если ВF = 8 дм, АВ = 4 дм.
№152.
5) Расстояние от точки F до прямой АС?
F
AC BO
8
П-Р
А
П-я 3
В
П-я 1
О
D
4
С
TTП
AC FO
Н-я 3

30.

Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба АВСD,
диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что
расстояние от точки К до всех прямых содержащих стороны
ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если
ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, ВD = 8 дм.
№157.
К
4,5
A
А
O
6
8
Р
D
F
B
В
С
О
Р
D
F
C

31.

Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ,
перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от
точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если
АВ = 25 см, ВАD = 600, ВМ = 12,5 см.
№158.
М
12,5 см
В
В
Р
А
F
С
С
D
А
Р
600
F
D

32.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту
прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол
между прямой и ее проекцией на плоскость.
М
Н-я
А
П-Р
П-я
Н

33.

Найти угол между наклонными и плоскостью
(описать алгоритм построения).
М
М
H
F
F
FМ
П-Р
F
А
R
Н
К
FH

34.

Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС.
Известно, что ВD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.
Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС;
б) площадь треугольника АСD.
№154 (дом).
D
П-Р
А
9
П-я
В
М 10
13
С
AC BМ
П-я
TTП
AC MD
Н-я
МD – искомое расстояние

35.

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее
проекцией на эту плоскость является точка пересечения
этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между
прямой и плоскостью считается равным 900.
А
Н

36.

Если прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на
плоскость является прямая, параллельная данной. В этом
случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не
вводим. (Иногда договариваются считать, что угол между
параллельными прямой и плоскостью равен 00)
a

37.

Из точки А, удаленной от плоскости на расстояние d,
проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом
300 к плоскости. Их проекции на плоскость образуют
угол в 1200. Найдите ВС.
№165.
A
d
O
С
300
1200
300
В