Наибольшее и наименьшее значение функции. Примеры

1.

2.

функция возрастает
Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических
точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
Тогда она возрастает (рис. 1) или
убывает (рис. 2) на этом отрезке.
a
b
функция убывает
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a
b
Значит,
наибольшее и наименьшее значения
функции f на отрезке [а; b] — это
значения в концах а и b.

3.

Примеры
Пусть теперь функция f имеет на
отрезке [а; b] конечное число
критических точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a c
b
наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
наименьшее
значение
a c
n b
Наибольшее и наименьшее
значения функция f может
принимать в критических точках
функции или в точках а и b.
Чтобы найти наибольшее и
наименьшее значения функции,
имеющей на отрезке конечное
число критических точек, нужно
вычислить значения функции во
всех критических точках и на
концах отрезка, а затем из
полученных чисел выбрать
наибольшее и наименьшее.

4.

5.

Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах
отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее или
наибольшее
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
-3
3
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
x = 3 [0; 4]
x = –3
[0; 4]
3) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
y(3) = 33– 27 3 = –54
Ответ
-
5 4
3
1 0 х
х

6.

Предположим, что функция f
имеет на отрезке [а; b] одну точку
экстремума.
наименьшее
значение
a
b
Если это точка минимума, то в этой
точке функция будет принимать
наименьшее значение.
наибольшее
значение
Если это точка максимума, то в этой
точке функция будет принимать
наибольшее значение.
a
b

7.

Другой способ решения
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те,
которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее и
наибольшее
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
3
-3
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
y\
y
+
0
–
-3
+
3
min
3)
y(3) = 33– 27 3 = –54
Ответ
-
5
4
x
Наименьшее
значение функция
будет принимать в
точке минимума.
Можно сэкономить
на3 вычислениях
х
1 0 х
значений
функции в
концах отрезка.
4
Этот способ будет удобно
вспомнить, когда вычисления значений функции в
концах отрезка будет сложным.

8.

1.
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
Значения функции в
концах отрезка.
1) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
-3
3
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
y(3) = 33– 27 3 = –54
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
x = 3 [0; 4]
x = –3 [0; 4]
ОТВЕТ
-
5
4
3
1 0 х
х

9.

3
x
1
6. Найдите наименьшее значение функции y x х
3
на отрезке [ 1; 9 ]
Значения функции в
концах отрезка.
2
y
x
31
x 1
3
2 y
x
х2
3
x
1
у
(
1
)
1
3
1
1
1
3
1
1
3
2
3
2
2
3
у
(
9
)
9
3
9
1
(
3
)
27
1
2
y х 3x 1
27
27
1
1
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Запишем функцию
3 в удобном
1для дифференцирования
х 3 виде
0 2
32
3
у х
3
х
32
2
2
3 х 6 0
/
х 2
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
х 4 [1; 9]
3
2
3
2
2
у
(
4
)
4
3
4
1
(
2
)
12
1
8
12
1
3
Ответ
-
3
3
1 0 х
х

10.

17. Найдите наибольшее значение функции
y = 12cosx + 6 3 x – 2 3 + 6 на отрезке 0 ;
2
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
/
у
12
sin
x
63
3
12
sin
x 6 3 0
3
sin
х
2
х (
1
)
n
n
3
Но нам не нужны ВСЕ
у
12
cos
6
3
2
3
6
12
стационарные
точки.
3
3 3
Необходимо сделать выбор тех
значений, которые попадут в
заданный отрезок
у
12
cos
6
3
2
3
6
6
3
0;
2
2
2
2
у
0
12
cos
0
6
3
0
2
3
6
18
2
3
В 11
1 2
3
10 х
х