Теория вероятностей и математическая статистика

1. Теория вероятностей и математическая статистика

1

2.

Лекция 11
2

3. Математическое ожидание биномиальной случайной величины

3

4.

Теорема.
Если X-биномиальная СВ с
параметрами n и p, то
М X = np
4

5. Пример

Вероятность попадания в цель при
стрельбе из орудия р = 0,6. Найти
математическое ожидание общего
числа попаданий, если будет
произведено 10 выстрелов.
5

6. Решение

M ( X ) np 10 0,6 6
6

7.

Теорема.
Математическое ожидание
случайной величины , имеющей
распределение Пуассона с
параметром
, равно .
7

8. Математическое ожидание СВ, имеющей геометрическое распределение

8

9.

Теорема
Математическое ожидание
случайной величины ,
имеющей геометрическое
распределение с параметром
p, равно 1/p.
9

10.

Дисперсия дискретной
случайной величины
10

11. Отклонение случайной величины от её мат. ожидания

Пусть Х – случайная величина и М(Х) –
её мат. ожидание.
Рассмотрим в качестве новой случайной
величины разность
Х – М(Х), которая называется
отклонением.
11

12.

Пусть закон распределения Х известен:
Х
р
x1
p1
x2
p2
…
xn
…
pn
12

13.

Закон распределения отклонения:
Х–М(Х)
р
x1 M ( X ) x 2 M ( X )
p1
p2
…
x n M (X )
…
pn
13

14. Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: M (Х – М (Х)) = 0.

Док-во:
М (Х – М(Х)) = М (Х) – М (М (Х)) =
= М (Х) – М (Х) = 0.
14

15. Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсией (рассеянием) дискретной
случайной величины называют мат.
ожидание квадрата отклонения
случайной величины от её мат.
ожидания:
D( X ) M X M ( X ) .
2
15

16.

Свойства дисперсии
16

17.

Свойство 1
Дисперсия постоянной C равна
нулю.
D(C) = 0
17

18. Доказательство:

D(C ) M C M (C ) .
2
D(C ) M C C M (0) 0.
2
18

19. Свойство 2

D(CX ) C D( X ).
2
19

20. Доказательство:

D(CX ) M CX CM ( X )
2
C M X M ( X ) C D( X ).
M C X M ( X )
2
2
2
2
2
20

21. Свойство 3

Дисперсия суммы двух независимых
случайных величин равна сумме
дисперсий этих величин:
D(X + Y) = D (X) + D(Y).
21

22. Следствие 1

Дисперсия суммы нескольких взаимно
независимых случайных величин
равна сумме дисперсий этих величин.
22

23. Следствие 2

Дисперсия суммы постоянной
величины и случайной равна
дисперсии случайной величины:
D (C + X) = D (X).
23

24. Следствие 3

Дисперсия разности двух
независимых случайных величин
равна сумме их дисперсий:
D (X – Y) = D (X) + D (Y).
24

25. Дисперсия биномиальной случайной величины

25

26.

Теорема
Дисперсия биномиальной случайной
величины X с параметрами n и p
равна npq :
D (X) = npq.
26

27.

Дисперсия случайной величины
, имеющей распределение
Пуассона с параметром ,
равна .
27

28.

Непрерывные случайные
величины
28

29. Функция распределения

Определение.
Функцией распределения случайной величины X называют
функцию F(x):
F(X) = P(X<x)
29

30.

Случайную величину называют непрерывной, если
её функция распределения есть непрерывная,
кусочно-дифференцируемая функция с кусочнонепрерывной производной.
30

31. Свойства функции распределения

Свойство 1.
Значения функции распределения
принадлежат отрезку 0,1
0 F ( x) 1.
31

32. Свойство 2.

F(X) – неубывающая функция, т.е.
F ( x 2 ) F ( x1 ),
если
x2 x1.
32

33. Следствие 1

P(a X b) F (b) F (a)
33

34.

Пример. Случайная величина Х задана
функцией распределения
0
x 1
F ( x)
4 4
1
при
x 1,
при
1 x 3,
при
х 3.
Найти вероятность того, что в
результате испытания Х примет
значение, принадлежащее интервалу
[0, 2).
34

35.

Решение
Так как на интервале (0,2)
x 1
F ( x) ,
4 4
то
2 1 0 1 1
F (2) F (0) .
4 4 4 4 2
Итак,
1
P(0 X 2) .
2
35

36. Следствие 2

Вероятность того, что непрерывная
случайная величина Х примет одно
определённое значение, равна
нулю:P(X=x)=0.
36

37. Следствие 3

Для непрерывной случайной величины
P ( a X b) P ( a X b)
P(a X b) P(a X b).
37

38. Свойство 3

Если возможные значения случайной
величины принадлежат интервалу
(a, b), то:
x
a
;
1) F(x) = 0 при
2) F(x) = 1 при
x b.
38

39. Следствие

lim F ( x) 0;
x
lim F ( x) 1.
x
39

40. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

40

41.

Плотностью распределения непрерывной
случайной величины X называют функцию f(x) –
первую производную от функции распределения
F(x):
f ( x) F ( x).
41

42. Вероятность попадания непрерывной СВ в заданный интервал

b
P(a X b) f ( x)dx.
a
42

43.

Пример
Задана плотность вероятности случайной
величины Х
0
f ( x ) 2 х
0
при
х 0,
при
0 x 1,
при
х 1.
Найти вероятность того, что в результате
испытания Х примет значение,
принадлежащее интервалу (0,5 ; 1 ).
43

44. Решение

Искомая вероятность
1
P(0,5 X 1) 2 xdx x
,
0 5
2 1
,
0 5
1 0,25 0,75
44

45. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

x
F ( x)
f (t )dt.
45

46.

Пример
Найти функцию распределения по
данной плотности распределения:
при
0
1
f ( x)
при
b
a
при
0
х а,
a x b,
x b.
46

47. Решение

x
F ( x)
f (t )dt
Если
x a
, то f(x) = 0
F(x) = 0.
47

48.

Если
a x b, то
1
f ( x)
b a
1
x a
F ( x) f (t )dt 0dt
dt
.
b
a
b
a
a
x
a
x
Если x > b, то
dt
b a
F ( x) 0dt
0dt
1.
b a b
b a
a
a
b
x
48

49.

Итак, искомая функция распределения
при
0
x a
F ( x)
при
b
a
при
1
х а,
а x b,
x b.
49

50. Свойства плотности распределения

Свойство 1
f ( x) 0
50

51.

Свойство 2
f ( x)dx 1
51

52. Следствие

Если все возможные значения случайной
величины принадлежат интервалу (a, b),то
b
f ( x)dx 1.
a
52

53. Пример

Плотность распределения Х :
f ( x)
a
e
x
e
x
Найти постоянный параметр a.
53

54.

Решение
a
dx
e
x
e
x
1.
54

55.

e x
dx
e
x
x
e dx
1 e
0
2x
arctg e .
x
c
dx
dx
dx
lim x x
x
x
e x e x blim
e
c e
e
e
b
0
arctg1 lim (arctg eb ) lim(arctg ec ) arctg1
b
c
a
1
.
55

56. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

56

57. Математическим ожиданием НСВ Х называют определённый интеграл

M (X )
xf ( x)dx
57

58.

Предполагается, что несобственный
интеграл сходится абсолютно, т.е.
существует
xf x dx.
58

59. Дисперсией непрерывной случайной величины называют мат. ожидание квадрата её отклонения.

D( X )
2
x
M
(
X
)
f ( x)dx.
59

60.

Среднее квадратическое
отклонение непрерывной случайной
величины определяется равенством
(X )
D( X ).
60

61.

Замечание 1
Свойства математического ожидания и дисперсии
дискретных величин сохраняются и для непрерывных
величин.
61

62.

Замечание 2
D( X )
x f ( x)dx M ( X ) .
2
2
62

63.

Пример 1
Найти мат. ожидание и дисперсию
случайной величины Х, заданной
функцией распределения
0
F ( x) х
1
при
х 0,
при
0 x 1,
при
х 1.
63

64. Решение

0
f ( x) F ( x) 1
0
при
при
при
х 0,
0 x 1,
х 1.
64

65.

2 1
1
x
M ( X ) x 1 dx
2
0
2
0
1
.
2
3 1
x
1
D( X ) x 1 dx
3
2
0
1
2
0
1 1
.
4 12
65

66.

Пример 2
Найти мат. ожидание и дисперсию
непрерывной случайной величины Х,
распределённой равномерно в интервале
(a, b).
66

67. Решение

Плотность равномерного
распределения
1
f ( x)
b a
b
b
1
M ( X ) xf ( x)dx
xdx.
b aa
a
67

68.

a b
M (X )
.
2
2
2
1
a b
2
D( X ) x f ( x)dx M ( X )
x dx
.
b aa
2
a
b
b
2
b a
D( X )
12
2
.
68

69. Нормальное распределение

Нормальным называют
распределение вероятностей НСВ с
плотностью
f ( x)
1
2
e
( x a ) 2
2 2
69

70.

Вероятностный смысл параметров:
а - математическое ожидание,
- среднее квадратическое отклонение
нормального распределения.
70

71. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

71

72.

P( X )
f ( x)dx.
72

73.

Ф0 ( x )
1
2
z
x
e 2
2 0
dz,
a
a
P( X ) Ф0
Ф0
73

74.

Пример
Случайная величина Х распределена по
нормальному закону. Мат. ожидание и
среднее квадратическое отклонение
этой величины соответственно равны
30 и 10.
Найти вероятность того, что Х примет
значение, принадлежащее интервалу
(10, 50).
74

75.

Решение
По условию,
10, 50, a 30, 10,
50 30
10 30
P(10 X 50) Ф0
Ф0
2Ф0 (2).
10
10
0 (2) 0,4772.
P(10 X 50) 2 0,4772 0,9544 .
75

76. Вычисление вероятности заданного отклонения

76

77.

X a ,
X a ,
a X a .
P( X a ) P(a X a )
(a ) a
(a ) a
Ф0
Ф0
Ф0 Ф0
.
77

78.

Приняв во внимание равенство
Ф0 Ф0
P( X a ) 2Ф0 .
В частности, при a = 0
P( X ) 2Ф0 .
78

79.

Пример
Случайная величина Х распределена
нормально. Математическое ожидание и
среднее квадратическое отклонение Х
соответственно равны 20 и 10.
Найти вероятность того, что отклонение
по абсолютной величине будет меньше
трёх.
79

80. Решение

P( X a ) 2Ф .
3, a 20, 10.
3
P( X 20 3) 2Ф0 2Ф0 (0,3).
10
0 (0,3) 0,1179.
P( X 20 3) 0,2358 .
80

81. Правило трёх сигм

P( X a ) 2Ф0 ,
3 ,
P( X a 3 ) 2Ф0 (3) 2 0,49865 0,9973,
81

82.

Вероятность того, что абсолютная величина
отклонения превысит утроенное среднее
квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна
0,0027.
Такие события, исходя из принципа невозможности
маловероятных событий, можно считать практически
невозможными.
82

83.

В этом и состоит сущность правила
трёх сигм:
Если случайная величина распределена нормально,
то абсолютная величина её отклонения от
математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратического отклонения.
83

84. Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным)
называют распределение НСВ с
плотностью
0
f ( x ) x
e
при
при
х 0,
0 x,
0
84

85.

F ( x)
x
x
0
f ( x)dx e
x
dx 1 e
x
при
х 0,
0
F ( x)
x
при 0 x.
1 e
85

86. Числовые характеристики

0
f ( x ) x
e
при
при
х 0,
0 x,
86

87.

M (X )
xf ( x)dx xe
dx
0
D( X )
x
x
f
(
x
)
dx
M
(
X
)
2
2
1
.
1
.
2
87

88. Два важных примера стандартных распределений

Пусть X i i 1, 2, ..., n - нормальные
независимые случайные величины с
нулевым математическим ожиданием и
единичной дисперсией.
88

89.

Тогда случайная величина
n
2
i 1
2
Xi
распределена по закону
(хи
2
квадрат) с n степенями свободы.
89

90.

Теперь пусть X i i 0, 1, 2, ..., n
нормальные независимые случайные
величины с нулевым математическим
ожиданием и единичной дисперсией.
90

91.

Тогда случайная величина
T
X0
n
i 1
Xi
n
имеет распределение, которое
называется
распределением Стьюдента с n
степенями свободы.
91

92. Вопросы к лекции 11

Какая случайная величина называется
непрерывной?
Функция и плотность распределения
непрерывной случайной величины
Математическое ожидание и дисперсия
непрерывной с.в.
Распределение Пуассона
Нормальное распределение
92

93.

Конец лекции 11
93