Теория вероятностей и математическая статистика

1. Теория вероятностей и математическая статистика

2. Список литературы

1. Н.Н. Одияко, Н.Ю. Голодная. Теория
вероятностей. Учебное пособие.
2. Н.Н. Одияко, Н.А. Бажанова. Обработка
одномерной выборки.
3. Н.Ю. Голодная, Н.Н. Одияко.
Математическая статистика. Теория
корреляции в расчетах. Часть2.

3.

4. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и
математическая статистика.
5. В.Е. Гмурман. Руководство к решению
задач по теории вероятностей и
математической статистике.

4. Основные понятия комбинаторики

5. Правило умножения

6.

• Пусть требуется выполнить одно за
другим какие-то k действия. Если
первое действие можно выполнить n1
способом, второе действие - n2
способами, третье - n3 способами и т.д.
до k го действия, которое можно
выполнить n k способами, то все k
действий вместе быть выполнены
могут быть выполнены n1 n2 n3 ... nk
способами.

7. Правило сложения

8.

• Если два действия взаимно исключают
друг друга , причём одно из них можно
выполнить m способами, а другое- n
способами, то выполнить одно любое из
этих действий можно n m способами.
Это правило распространяется на любое
конечное число действий.

9.

• Опр. Последовательность
элементов называется
упорядоченной, если порядок
следования элементов в ней задан

10.

• Опр. Размещением из n элементов по
m элементов называется любое
упорядоченное подмножество из m
элементов множества, состоящего из
различных элементов:
n
n!
A
(n m)!
m
n

11.

• Опр. Перестановками из n
элементов называется любое
упорядоченное множество,
в которое входят по одному разу
все n различные элементы
данного множества:
Pn n!

12.

• Опр. Сочетанием из n элементов по m
элементов называется любое
подмножество из m элементов, которые
принадлежат множеству, состоящему из
различных
элементов:
n
m
Cn
n!
m! n m !

13. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

14.

Опр. Испытание (опыт, эксперимент)выполнение определенного комплекса
условий, в которых наблюдается то или
иное явление, фиксируется тот или иной
результат

15.

• Опр. Событие называется случайным
по отношению к данному испытанию
(опыту), если при осуществлении этого
испытания (опыта) оно может наступить
или не наступить.
• Событие обозначается:
A, B, C,....

16.

Определения.
1.Событие , которое в результате
опыта обязательно произойдет
называется достоверным.
2.Событие, которое в результате
опыта никогда не наступит называется
невозможным.
3. Если одновременно одно
событие влечет за собой другое и
наоборот, такие события называются
равносильными.

17.

4. События называются несовместными,
если наступление одного из них исключает
наступление любого другого.
5. События называются
равновозможными, если в результате
испытания по условиям симметрии ни одно
из этих событий не является объективно
более возможным.

18.

6. События называются
единственно возможными, если появление в
результате испытания одного и только
одного из них является практически
достоверным событием.

19.

7. Несколько событий образуют
полную группу, если они являются
единственно возможными и
несовместными исходами испытания.
Это означает, что в результате
испытания обязательно должно
произойти одно и только одно из этих
событий.

20. «Статистическое определение» вероятности случайного события

21.

• Опр. Пусть при n - кратном повторении
опыта G событие A произошло m A
раз. Частотой n (A) события A
называется отношение
mA
n ( A)
n

22.

Опр.
Вероятность случайного события – это
связанное с данным событием постоянное
число, около которого колеблется частота
наступления этого события в длинных
сериях опытов.

23.

0 n A 1
0 P A 1
• Если событие A - достоверное, то
P A 1.
• Если событие A - невозможное, то
P A 0.

24. Комбинация событий

25.

• Опр. Суммой событий A и B называется
событие A + B
, состоящее в том, что в
опыте произойдет хотя бы одно из этих
событий A или B .

26.

A B
A
B

27.

• Опр. Произведением событий A и B
называется событие AB , состоящее в
одновременном появлении этих
событий.

28.

AB
A
B

29.

• Опр. Событие А называется
противоположным событию A , если
оно считается наступившим тогда и
только тогда, когда A не наступает.

30.

А
A

31.

Опр. Разностью A B двух событий
A и B называется событие, которое
состоится, если событие A произойдет, а
событие B не произойдет.

32.

A B
A
B

33. Правило сложения вероятностей.

34.

Если события несовместны, то
вероятность их суммы равна сумме
вероятностей этих событий:
P A B P A P B

35.

• Следствие.
P A P A 1

36.

P A B P A P B P(AB)

37. Классический способ подсчета вероятности

38.

• Эту формулу применяют в тех случаях,
когда исходы некоторого испытания
образуют полную группу событий и
равновозможны.
• Такие исходы называются элементарными
исходами

39.

k
P A
n

40.

• Вероятность события равна отношению
числа элементарных исходов,
благоприятных для этого события, к
общему числу элементарных исходов.

41. Геометрическое определение вероятности

42.

Опр. Геометрической вероятностью
события A называется отношение меры
области благоприятствующей появлению
события A , к мере всей области
mes g
P A
mes G

43. Условная вероятность

44.

• Опр. Условной вероятностью PB A
события A относительно события B
называется вероятность осуществления
события A при условии, что событие B
уже произошло.

45.

P AB
PB A
P B
P AB P B PB A

46.

• Пример. Слово “лотос” составлено из
одинаковых букв- кубиков. Кубики
рассыпаны. Берут наугад один за
другим три кубика. Какова вероятность
того, что при этом появиться слово
“сто”.
• Решение: A - проявиться слово «сто»
A1 - первой извлечена “с”
A2 - второй извлечена “т”
A3 - третьей извлечена “о”

47.

• Представим событие A в виде:
A A1 A2 A3

48.

Тогда:
1 1 2
P A P A1 PA A2 PA A A3
5 4 3
1
1 2

49. Независимые события

50.

• Опр. События называются
независимыми, если наступление одного
не меняет шансов появления другого .
Если события
A
и
B
независимы, то
P AB P A P B

51. ЗАМЕЧАНИЯ.

• Для совместных событий:
P( А В) P( А) P( В) P( АВ);
• Для несовместных событий:
P( А В) P( А) P( В);
• Для независимых событий:
P( AB) P( A) P( B);
• Для зависимых событий:
P AB P A PA B

52. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

53.

• Предположим, что событие A может наступить
только вместе с одним из нескольких попарно
несовместных событий
Н1 ,..., Н n
тогда имеет место формула
n
P( А) P( H i ) PH ( A)
i 1
i

54. ФОРМУЛА БАЙЕСА

55.

• Эта формула
решает следующую
задачу: пусть произведен опыт, и в
результате него наступило событие A.
Сам по себе этот факт ещё не позволяет
сказать, какое из событий Н1 ,..., Н n имело
место в проделанном опыте. Можно
поставить следующую задачу: найти
вероятности PA H i

56.

PA H i
P H i PH A
P A
i

57. Формула Бернулли

58.

P( A) Pn ( k ) C p q
k
n
k
n k
• где n- столько раз проводили опыт;
k - число появления соб. A ;
p - вероятность появления соб. A ;
q - вероятность не появления соб. A,
( q 1 p).

59.

Замечание.
• Формулу Бернулли используют при
n 10

60.

n 1
(q p) q C q p
n
C q
2
n
n 2
n
1
n
n 1
n
n 1
p ... C q p p
2
n

61.

т.к. p q 1 и Pn ( k ) Cnk p k , q n k
то эту формулу можно переписать в виде
Pn (0) Pn (1) Pn (2) ... Pn (n 1) Pn (n) 1

62.

• Событие
A произойдет:
• а) менее
k
раз
Pn (0) Pn (1) Pn (2) ... Pn (k 1);
• б) не менее
k
раз
Pn (k ) Pn (k 1) ... Pn (n 1) Pn (n);

63.

• в) более
k
раз
Pn (k 1) Pn (k 2) ... Pn (n 1) Pn (n);
• г) не более
k
раз
Pn (0) Pn (1) Pn (2) ... Pn (k 1) Pn (k );

64. Наиболее вероятное число успехов

65.

• Рассмотрим
Pn (0), Pn (1), Pn (2),...., Pn (n)
Pn (k ) Pn (k 1)
k 1 q
1
n k p
( k 1) q (n k ) p
k np q

66.

или
Pn (k ) Pn (k 1)
k 1 q
1
n k p
(k 1) q (n k ) p
k np q
np q k0 np p

67. Вероятность при больших значениях

Вероятность
Pn (k )
при больших значениях
n

68. Локальная приближенная формула Лапласа ( -велико)

Локальная приближенная
формула Лапласа
( n -велико)

69.

Pn (k )
где
x
1
npq
( x),
k np
npq
;

70.

( x)
1
e
2
x2
2
;
( x) ( x)

71. Интегральная формула Лапласа

72.

• Формула позволяет найти
k k2
P (k ) P (k
k k1
n
n
1
k k2 )
x2
0
x2
x1
x1
0
Pn (k1 k k2 ) ( x )dx ( x )dx ( x )dx
x1
x2
0
0
( x)dx ( x)dx.

73.

• Пусть
x
x
t2
2
1
( x ) (t )dt
e dt;
2
0
0
( x ) ( x )

74.

Свойства интегральной функции
Лапласа
1)
( x ) ( x )
2) при
x x 0,5

75.

• Тогда
Pn (k1 k k2 ) ( x1 ) ( x2 ),
где
x1
k1 np
npq
, x2
k 2 np
npq
.

76.

• Формулы применяются при
npq 9,
но при npq 20 дают
незначительную погрешность при
выполнении условия

77. Вероятность того, что частота наступления соб. в опытах отклонится от вероятности соб. не более чем на :

Вероятность того, что частота
наступления соб. A в n опытах
отклонится от вероятности
соб. A не более чем на :
mA
P
p 2
n
n
pq

78. Приближенная формула Пуассона

79.

n велико,
p 0,1
np 10
Pn (k )
k
k!
e

80.

• Док-во: Воспользуемся формулой Бернулли
Pn (k ) C p q
k
n
т.к.
np
, то
p
k
n
n k
,

81.

n!
Pn k
1
k! n k ! n
n
k
n k ! n k 1 ... n 1 n
Pn k
k! n k !
n
k
n k
1
n
n k

82.

n n 1 n (k 1)
Pn (k )
...
n n
n
k!
k
при
n
Pn (k )
k
k!
e
1
n
n
1
n
k

83.

• Формулу Пуассона можно использовать
если n велико, p 0,1
np 10

84. Случайные величины

85.

• Опр. Случайной называется
величина, которая в результате
опыта может принять то или
иное
возможное
значение,
неизвестное
заранее,
но
обязательно одно.

86.

• Опр. Дискретной случайной
величиной называют такую
случайную величину, множество
возможных значений которой
либо конечно, либо бесконечно,
но обязательно счетно.

87.

• Опр. Непрерывной случайной
величиной называют такую
случайную величину, которая
может принять любое значение
из некоторого конечного или
бесконечного интервала.

88.

• Случайные величины:
• значения:
x, y, z,.... .
X ,Y , Z ,....;

89. Операции над случайными величинами.

90.

X : x1 , x2 ,..., xi ,..., xn ;
Y : y1 , y2 ,..., y j ,..., ym .

91.

Определение.
• Суммой X Y случайных
величин X и Y
называется случайная
величина Z , возможные
значения которой есть

92.

x1 y1 , x1 y2 , x1 y3 ,..., x1 y j ,
x2 y1 , x2 y2 ,..., x2 y j ,...,
xi y1 ,
xi y 2 ,
xi y3 ,...,
xi y j ,..., xn y m .

93.

• Опр. Произведением X Y
случайных величин X и Y
называется случайная
величина Z , возможные
значения которой есть

94.

x1 y1 , x1 y 2 , ..., x1 y j ,
x2 y1 , x2 y2 ,...,
x2 y j ,..
..., xi y1 , xi y2 ,..., xi y j ,..
..., xn ym .

95.

• Опр. Произведением C X
случайной величины X на C
постоянную называется случайная
величина Z , возможные значения
которой есть
Cx1 , Cx2 , Cx3 ,..., Cxi .

96. Закон распределения случайной величины

97.

• Опр. Законом распределения
дискретной случайной величины
называется всякое соотношение,
устанавливающее связь между
возможными значениями
случайной величины и
соответствующими вероятностями.

98.

• Закон распределения
случайной величины можно
задать, как и функцию:
табличным, графическим и
аналитическим способами.

99.

• Опр. Две случайные величины
называются независимыми,
если закон распределения
вероятностей одной из них не
зависит от того какие
возможные значения приняла
другая.

100. Табличный способ

101. Ряд распределения случайной величины

102.

• Пусть
X x1 тогда
P( X x1 ) p1 ;
X x2 тогда P( X x2 ) p2 ;
X x3 тогда
P( X x3 ) p3 ;
…………………………………
X xn тогда
P ( X x n ) p n.

103.

n
p
i 1
i
1.

104.

xi
x1
x2
x3
pi
p1
p2
p3
n
p
i 1
i
1.
……
xn
……
pn

105. Графический способ

106. Многоугольник распределения

107.

xi
1
2
3
4
5
pi
0,1
0,3
0,2
0,3
0,1
pi
0,3
0,2
0,1
1
2
3
4
5
xi

108. Аналитический способ

109. Функция распределения вероятностей

110.

• Опр. Функцией распределения
вероятностей случайной величины X
называется функция F (x) , задающая
вероятность того, что случайная
величина X принимает значение,
меньшее x , т.е.
.
F ( x) P( X x)

111. Свойства функции распределения.

112.

• 1. 0 F ( x) 1 ;
Т.к F ( x) P( X x) , а 0 p 1.
• 2. F (x) - неубывающая функция и для
P( X ) F ( ) F ( );
A:
X ;
B:
X ;
C:
X .
B A C

113.

P( A) P( X ) F ( );
P( B) P( X ) F ( );
P(C ) P( X ).

114.

P( B) P( A) P(C ),
F ( ) F ( ) P( X ),
P( X ) F ( ) F ( ),

115.

• Т.к.
P( X ) 0 F ( ) F ( ) 0,
F ( ) F ( ).
Отсюда
F (x) - неубывающая.

116.

3. Если F (x ) - функция распределения,
lim F x 1
то lim F x 0
x
x
4.Если X - непрерывная случайная
величина, то
.
P( X ) 0
P( X ) P( X )
P( X ) P( X ).

117.

• Если X - дискретная случайная величина,
F ( x)
то
P( X x ).
i
xi x
xi
x1
x2
x3
pi
p1
p2
p3
i n
p
i 1
i
1.
……..
……..
xn
pn

118.

x x1 ,
F ( x) P( X x1 ) 0;
x1 x x2 ,
x2 x x3 ,
F ( x) P( X x2 ) P( X x1 ) p1;
F ( x) P( X x3 ) P( X x1 ) P( X x2 ) p1 p2 ;
…………………………………………...........
xn 1 x xn , F ( x) P( X xn ) P( X x1 ) P( X x2 ) ... P( X xn 1 )
p1 p2 ... pn 1;
x xn ,
F ( x) P( X xn ) p1 p2 ... pn 1.

119.

x x1 ;
0,
p ,
;
x
x
x
2
1
1
p1 p2 ,
x2 x x3 ;
F ( x)
..........
..........
p1 p2 ... pn 1 , xn 1 x xn ;
1,
x xn .

120.

F (x)
1
p1 p2 ... pn 1
...............
p1 p2
p1
x1 x 2 x3 ........ x n
pi

121. Плотность распределения вероятностей

122.

• Пусть X -непрерывная случайная
величина.
Рассмотрим вероятность попадания
значений случайной величины в
элементарный участок ( x; x x) :
P( x X x x) F ( x x) F ( x),
P( x X x x) F ( x x) F ( x)
,
x
x

123.

P( x X x x)
F ( x x) F ( x)
lim
F ( x).
lim
x
x
x 0
x 0
Обозначим
F ( x) f ( x).

124.

• Опр. Дифференциальной функцией
распределения или плотностью
распределения вероятностей наз.
первая производная интегральной
функции распределения F (x ).

125.

• График дифференциальной функции
распределения f (x) наз. кривой
распределения:
f (x)
x

126. Свойства плотности распределения вероятности.

127.

• 1.Для x f ( x) 0.
• 2.Для f (x) имеет место равенство
P( X ) f ( x)dx.
• 3.
f ( x)dx 1.
x
• 4.
F ( x)
f (t )dt

128. Числовые характеристики случайных величин.

129. Математическое ожидание.

130.

xi
x1
x2
x3
pi
p1
p2
p3
i n
p
i 1
i
1.
……..
……..
xn
pn

131.

• Опр. Математическим ожиданием MX
дискретной случайной величины X наз.
сумма произведений всех возможных
значений случайной величины на
соответствующие вероятности появления
этих значений:
n
MX xi pi .
i 1

132.

• Пусть случайная величина X приняла
значения
x1 , x2 ,..., xk .
Причем x1 появилось m1 раз,
x 2 появилось m2 раз,
……………………….,
x k появилось m k раз.
x1 m1 x2 m2 ... xk mk
mk
m1
m2
X
x1 x2 ... xk ,
m1 m2 ... mk
n
n
n
где
m1 m2 ... mk n.

133.

• При n
• Тогда
mi
pi .
n
X MX
.

134.

• Опр. Математическим ожиданием
непрерывной случайной величины X ,
возможные значения которой
принадлежат a; b , называется
b
f ( x)dx.
a
• Если возможные значения принадлежат
;
, то
MX
f ( x)dx.

135. Свойства математического ожидания

136.

1. MC C.
2. M (CX ) C MC .
3.Если X , Y независимые случайные
величины, то
M ( X Y ) MX MY .
4.Если X , Y независимые случайные
величины, то
M ( XY ) MX MY .
5. M ( X MX ) 0.

137.

• Пример 1.
xi
2
5
8
19
p i 0,2 0,3 0,4 0,1
MX 2 0,2 5 0,3 8 0,4 19 0,1 7.

138. Пример 2.

0 ,
x 1,
f ( x)
x 3,
0,
x 1;
1 x 2;
2 x 3;
x 3.

139.

MX x f ( x)dx
1
2
3
2
1
2
3
1
x 0dx x ( x 1)dx x (3 x)dx x 0dx ( x 2 x)dx
3
(3x x 2 )dx
2
2
x x
3 2 1
3
2
2
3x x
2.
3 2
2
2
3

140.

f (x )
2
1
2
3
xi

141. Дисперсия

• Опр. Математическое ожидание
квадрата отклонения СВ X от её
математического ожидания MX
называют дисперсией СВ X :
DX M ( X MX ) .
2

142.

• Если СВ
X
- дискретная СВ, то
n
DX ( xi MX ) pi .
2
i 1
• Если СВ
X
- дискретная СВ, то
DX ( x MX ) f ( x)dx.
2

143.

• Среднее квадратическое отклонение
( x) DX .

144. Свойства дисперсии

1.
2.
3.
4.
5.
D( X Y ) DX DY .
DC 0.
D(CX ) C DX .
2
DX MX (MX ) .
2
2
D( X MX ) DX .

145.

• Опр. СВ X MX называется
центрированной:
M ( X MX ) 0, D( X MX ) DX .
Опр. СВ
X MX
x
называется стандартной:
X MX
X MX
0, D
1.
M
x
x

146.

• Опр. Начальным моментом k го
порядка k СВ X называется
k MX .
k
k
MX :
• Опр. Центральным моментом k
порядка k СВ X называется
го
M ( X MX ) : k M ( X MX ) .
k
k

147.

• Опр. Коэффициентом асимметрии
наз-ся величина : 3
3
x
.
3
A 3.
x
A

148.

• Опр. Эксцессом
4
3.
4
x
E
наз-ся величина
4
E 4 3.
x

149. Виды распределения

150. Равномерное распределение

151.

0,
1
f ( x) ,
a
b
0,
x a;
a x b;
x b.

152.

f (x)
1
b a
a
b a
MX
,
2
b
x
(b a)
DX
,
12
2
A 0, E 0.

153. Нормальное распределение

154.

f ( x)
1
2
e
( x a )
2
2
2
.

155.

MX a,
• Если СВ
X~
DX ,
2
A 0,
E 0.
N ( a, ) , то
a a
P( X ) Ф
Ф
.

156.

• Если СВ
X
~
N ( a, ) , то
P ( X a ) 2 Ф
.

157.

• Обозначим
z
, тогда
P( X a z) 2 Ф z .

158.

• Пусть
z 1,
P( X a ) 2Ф(1) 0,6437;
z 2,
P( X a 2 ) 2Ф(2) 0,9545;
z 3,
P( X a 3 ) 2Ф(3) 0,9973.

159.

• Правило «трёх сигм»: если СВ X
распределена по нормальному закону, то
отклонение этой величины от её MX по
абсолютной величине практически не
превышает утроенного среднего
квадратического отклонения.
• Если СВ X ~ N (0;1) , т.е.
СВ X - стандартная, то
P( X ) 2 Ф .

160. Биномиальное распределение

161.

xi
pi
x1
x2
…………
xn
p1
p2
…………
pn
i n
p
i 1
pi Pn (k ) C p q
k
n
MX np,
k
i
n k
1.
,
DX npq.

162. Распределение Пуассона

163.

xi
pi
x1
x2
…………
xn
p1
p2
…………
pn
i n
p
i 1
pi Pn (k )
MX ,
k
k!
e ,
DX .
i
1.

164. Закон больших чисел

165. Неравенство Чебышева

166.

• Пусть имеется СВ X с математическим
ожиданием
и дисперсией
m .
Каково бы ни было
D положительное
число , вероятность того, что
величина отклонится от своего
математического ожидания не меньше
чем на
, ограничена сверху числом
D
:
2
P X m
D
2

167.

• Если СВ X , для которой существует
математическое ожидание m , может
принимать только неотрицательные
значения(т.е. P X 0 0 ), то вероятность
того, что принятое ею значение окажется
не меньше 1, не превосходит числа m :
P X 1 m.

168.

• Следствие P X m 1
D
2
.
P X m P X m 1,
P X m 1 P X m
P X m 1
D
2
.
D
2
,

169. Теорема Чебышева

170.

• Пусть имеется бесконечная
последовательность независимых
случайных величин X 1 , X 2 ,..., X n с одним и
тем же математическим ожиданием и
дисперсиями, ограниченными одной и той же
M X 1 M X 2 ... M X n m,
постоянной:
D X 1 C, D X 2 C, ...., D X n C.
• Тогда каково бы ни было положительное
число ,
X 1 X 2 ... X n
P
m 1, при n .
n