Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

1.

Уравнения Максвелла для
электромагнитного поля
1. Аналогия между характеристиками
электрического и магнитного полей:
Электрическое поле
Напряженность эл.поляE
Для точечного заряда
E
1
4 0
Магнитное поле
Индукция магн. поля
B
Для прямого провода
q
r 2
B 0
D 0 E
Электрическое
смещение
I
2 r
Напряженность
H
магн. поля
B
0
Характеристики
вспомогательные, физ.
D и H
смысла не имеют, но упрощают матем. описание
полей.

2.

Первое уравнение Максвелла
-
-
-
представляет собой закон полного тока:
D
l Hdl ( j t )dS
Смысл первого уравнения Максвелла состоит в том, что любой
ток проводимости I порождает вихревое магнитное поле ,
циркуляция которого вдоль произ-вольного замкнутого
контура l равна I. Одновременно, всякое изменение вектора
электрического смещения
D / t также как и ток проводимости, порождает вихревое
магнитное поле
.
H
I j dS
S
I см
D
E
jсм dS
dS 0
dS
t
t
S
S
S

3.

Второе уравнение Максвелла
-
-
-
представляет собой закон электромагнитной
индукции.
Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное
поле
возбуждает
B в окружающем пространстве
электрическое поле, которое и является причиной
возникновения индукционного тока в проводящем контуре.
Иначе « изменяющееся во времени магнитное поле
порождает
B
вихревое электрическое поле
, циркуляция которого вдоль
произвольного замкнутого контура l равна E
B
Ф
E
d
l
d
S
B
d
S
l
S t
dt S
t
Ф BdS
S

4.

Третье и четвертое уравнения Максвелла
Третье уравнений Максвелла в интегральной форме
BdS 0
S
выражает тот факт, что в природе отсутствуют магнитные
заряды, т.е. все силовые линии вектора являются
замкнутыми линиями.
Суть четвертого уравнения состоит в том, что
поток вектора электрического смещения
D
через произвольную замкнутую поверхность
равен алгебраической сумме свободных
зарядов ΣQ, расположенных внутри этой
поверхности.

5.

Полная система уравнений Максвелла в
дифференциальной форме
D
rotH j
t
B
rotE
t
divB 0
divD
Отметим, что в уравнениях Максвелла (1873 г.) заложено
существование электромагнитных волн. Согласно
уравнениям Максвелла, всякое переменное магнитное
поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое
электрическое поле, а всякое переменное электрическое
поле вызывает появление вихревого магнитного поля.
Возбуждение взаимосвязанных электрического и
магнитного полей и есть электромагнитная волна.
Экспериментальное подтверждение гениальных
предсказаний Максвелла было осуществлено в опытах
Герца в 1888 г.

6.

Свободные и вынужденные гармонические
колебания в резонансном контуре

7.

II Закон Кирхгофа для замкнутой RLC-цепи:
di
dq
iR uc L ;
i
;
dt
dt
dq
q
d 2q
R L 2 0,
dt
C
dt
q
q uc C uc ;
C
d 2 q dq R
q
0.
2
dt
dt L LC
d 2uc
duc RC uc
C
C 0;
2
dt
dt L
LC
d 2uc duc R uc
0
2
dt
dt L LC
(1)
(2)
Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь (R = 0). Тогда
2
d
uC
2
0 uC 0
2
dt
uC (t ) U Cm cos( 0t ) U Cm cos
0 2 f 0
1
LC
d 2q
2
0q 0
2
dt
q(t ) qmax cos( 0t ) qmax cos ;
- собственная частота свободных
колебаний контура
0t
1 2
T
f 0 0
- период
свободных
колебаний.

8.

q(t ) qmax cos( 0t ) qmax cos ; uC (t ) U Cm cos( 0t ) U Cm cos
d
q (t ) i (t ) (qmax 0 ) sin( 0t )
dt
(imax ) sin( 0t ) (imax ) cos( 0t
2
).
Колебания тока опережают по фазе
на π/2 колебания напряжения.
imax
uC
uC
qmax 0 uC C 0
;
1
XC
0 C

9.

d 2q
2
0q 0
2
dt
d 2x
2
0x 0
2
dt
Электрические величины
Заряд конденсатора q(t)
Ток в цепи
Индуктивность
i=dq/dt
L
Величина, обратная электроемкости
1/C
Напряжение на конденсаторе uc=q/C
Магнитная энергия катушки Li2/2
Магнитное потокосцепление Li
Механические величины
Координата
x(t)
Скорость υ=dx/dt
Масса
m
Жесткость пружины k
Упругая сила
kx
Кинетическая энергия
mυ2/2
Импульс
mυ

10.

Затухающие колебания
d 2uc duc R uc
R
1
2
0,
2 ;
0
;
2
dt
dt L LC
L
LC
d 2 uc
duc
2
2
0 uc 0.
2
dt
dt
1 2L
t
uC U C 0e cos t
R
-Время релаксации – время
-в течение которого амплитуда колебаний
уменьшается в е раз
Частота ω и период Т затухающих
колебаний:
N /T
1
R2
2
LC 4 L
(ω < ω 0)
N /T
T
2
2
02 2
- Число полных колебаний, совершаемых системой
за время затухания τ .

11.

Вычислим отношение
uC (t )
U C 0 e t cos t
T
e
( t T )
uC (t T ) U C 0 e
cos (t T )
Оно, как и в механике, называется
декрементом
затухания,
а
его
логарифм
и
:
uC (t )
T 1
ln
T
uC (t T )
N
-логарифмическим декрементом
затухания.
θ=δТ
Величина,
обратная
логарифмическому декременту называется
добротностью
Q колебательного
контура:
1 L
Q
.
T
T R C

12.

Вынужденные колебания в RLC контуре
Установившиеся колебания,
возникающие в контуре под
действием синусоидальной ЭДС,
называются вынужденными
колебаниями.
Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии
к системе и, несмотря на наличие потерь , не дает колебаниям
:
затухнуть.
Установившиеся вынужденные колебания всегда
происходят на частоте внешней ЭДС -ω .
uL (t ) uR (t ) uC (t ) e(t )
Дифференциальное уравнение вынужденных синусоидальных
e(t ) Em sin t
колебаний в резонансном контуре при действии ЭДС
d 2uC
duC
2
2
2
u
0 C
0 Em sin t
2
dt
dt

13.

Im
Em
R L 1 /( C )
2
2
Z R j L 1/( C)
Z R L 1/( C )
2
2
L 1 /( C )
arctg
R
Вектор напряжения на резисторе URm и ток в резисторе Im
совпадают по фазе, вектор напряжения на индуктивности
ULm опережает ток в индуктив-ности Im на 90º, а вектор
напряжения на конденсато-ре UCm отстает от тока в
конденсаторе Im на 90º.

14.

Резонанс
Явление резкого возрастания амплитуды тока при равенстве частоты ω
внешнего воздействия и собственной резонансной частоты свободных
колебаний контура ω0 называется резонансом.
Z R L 1/( C )
2
2
Чем меньше сопротивление потерь R в
контуре, тем выше и острее резонансная
характеристика.
Степень “остроты” определяется
добротностью Q колебательной системы:
Q
0 L
R
1
1 L
0CR R C R

15.

Мощность в цепи переменного тока
T
1
1
P p(t )dt U m I m sin( t ) sin tdt UI cos
T0
T
p(t ) u (t )i (t )
-действующие или эффективные
значения
- напряжения и тока;
- множитель cosφ называется
коэффициентом мощности.
Um
Im
U
I
2
2
Пример. В сеть переменного тока и напряжением U= 220 В и
частотой f=50 Гц включены последовательно конденсатор
C=31,8 мкФ, резистор R=100 Ом и индуктивность L= 0,318 Гн.
Найдите действующее значение тока I, напряжений UC, UR, UL на
элементах контура и мощность P, потребляемую цепью.
ZC
I
U
R 2 L 1 /( C )
2
1,34 А
1
jХ C j 90 Ом
j C
L 1 /( C )
arctg
52
,
5
R
UR=Ir=134В, UL=IωL=295В, UC=I/(ωC)= 120,6 В.
P UI cos 179,5 Вт