Производные и дифференциалы

1.

Производные и дифференциалы.

2. История дифференциального исчисления

История возникновения дифференциального исчисления
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и
Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.
Основной предпосылкой для создания дифференциального
исчисления явилось введение в математику переменных величин
(Декарт). В общих чертах построение дифференциального и
интегрального исчислений было завершено в трудах Ньютона и
Лейбница к концу 17 в., однако вопросы обоснования с помощью
понятия предела были разработаны Коши лишь в начале 19 в.

3. Сэр Исаак Ньютон

04.01.1643 – 31.03.1727
Английский физик, математик и астроном,
один из создателей классической физики. Автор
фундаментального
труда
«Математические
начала натуральной философии», в котором он
изложил закон всемирного тяготения и три
закона механики, ставшие основой классической
механики. Разработал дифференциальное и
интегральное исчисления, теорию цвета и
многие другие математические и физические
теории.
Портрет 1689 года

4. Сэр Исаак Ньютон

Вулсторп. Дом, где родился Ньютон.
Тринити-колледж, в
котором учился Ньютон.
Почитаемый потомок «Яблони
Ньютона». Кембридж,
Ботанический сад.
Титульный лист
«Начал» Ньютона.
Один из последних
портретов Ньютона (1712)
Могила Ньютона в
Вестминстерском
аббатстве.

5. Готфрид Вильгельм Лейбниц

Немецкий философ, логик, математик, физик,
01.07.1646 – 25.11.1716 юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед.
Основатель и первый президент Берлинской
Академии наук, иностранный член Французской
Академии наук.
Лейбниц, независимо от Ньютона, создал
математический анализ — дифференциальное и
интегральное исчисления.
Лейбниц создал комбинаторику как науку; только
он во всей истории математики одинаково свободно
работал как с непрерывным, так и с дискретным. Он
заложил основы математической логики, описал
двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на
которой основана современная компьютерная
техника.
Выдвинул в психологии понятие бессознательно
«малых перцепций» и развил учение о
бессознательной психической жизни.

6. Готфрид Вильгельм Лейбниц

Дом Лейбница
(Ганновер), в котором
он жил с 1698 года
вплоть до своей
смерти
Церковь и Школа Святого Фомы
Двоичная система счисления
Лейбница. Страница из
Explication de l’Arithmétique
Binaire
Альтдорфский университет
Копия механического калькулятора Лейбница
Памятник Готфриду
Вильгельму Лейбницу в
Лейпциге

7. Огюстен Луи Коши

21.08.1789 – 23.05.1857
Великий французский математик, член
Парижской академии наук, Лондонского
королевского общества, Петербургской академии
наук и других академий.
Разработал фундамент математического
анализа, внёс огромный вклад в анализ, алгебру,
математическую физику и многие другие области
математики. Его имя внесено в список
величайших ученых Франции, помещённый на
первом этаже Эйфелевой башни.
Коши впервые дал строгое определение
основным понятиям математического анализа —
пределу, непрерывности, производной,
дифференциалу, интегралу, сходимости ряда.
Курсы анализа Коши, основанные на
систематическом использовании понятия
предела, послужили образцом для большинства
курсов позднейшего времени.

8. Огюстен Луи Коши

Политехническая Школа
Туринский университет
Сорбонна
Коллеж де Франс

9. Производные и дифференциалы

• Определение производной
• Производная и дифференциал.
• Таблица производных.
• Необходимое условие дифференцируемости.
• Геометрический смысл производной.
• Физический смысл производной.
• Основные правила вычисления производных.

10.

Производная
Производной функции f(x) в точке x=a
называют предел отношения приращения
функции к приращению аргумента когда
аргумент x стремится к точке a
f ( x) f (a)
f ' (a) lim
x a
x a

11.

Дифференцируемость
С понятием производной тесно связано понятие
дифференциала и понятие дифференцируемой
функции.
Функция f(x) называется дифференцируемой в
точке x=a если ее приращение в этой точке можно
представить в виде суммы линейной функции и
бесконечно малой величины более высокого
порядка, чем эта линейная функция, т. е.
f ( x) f (a) A( x a) ( x)( x a),
где предел функции α(x) при x ---> a равен нулю.

12.

Производная и дифференцируемость
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть функция f(x) имеет производную в
точке x=a, тогда она дифференцируема в этой точке и
постоянную A, входящую в формулу для приращения,
можно взять равной f'(x) .
Обратно. Пусть функция f(x) дифференцируема в
точке x=a, тогда она имеет производную в этой точке и
постоянная A, входящая в формулу для приращения,
равна f'(a).

13.

Производная и дифференцируемость
Доказательство. Пусть функция имеет производную f'(a) , тогда
f ( x) f (a )
f ' (a ) ( x),
x a
где α(x) ‒ функция, имеющая при x ---> a предел, равный нулю.
Из этого равенства находим
f ( x) f (a) f ' (a)( x a) ( x)( x a),
что доказывает дифференцируемость функции с постоянной
A f '(a ).

14.

Производная и дифференцируемость
Обратно, пусть функция дифференцируема, тогда
f ( x) f (a) A( x a) ( x)( x a),
где α(x) ‒ функция, имеющая при x ---> a предел, равный нулю.
Из этого соотношения получаем, что
f ( x) f (a )
A ( x),
x a
и в силу арифметических свойств предела
f ( x) f (a)
f ' (a) lim
lim ( A ( x)) A 0 A,
x a
x a
x a
т. е. производная функции существует и равна A.

15.

Дифференциал
Слагаемое A(x-a) , входящее в определение дифференцируемости,
носит название главной линейной частью приращения функции в
точке x=a или дифференциалом функции в этой точке
df (a) A( x a).
Как было только что доказано, необходимым и достаточным
условием существования дифференциала является существование
производной функции в данной точке. При этом величина A равна
производной функции так, что
df (a) f ' (a)( x a).
Дифференциалом dx независимой переменной x в точке x=a
называется ее приращение
dx x a.
Таким образом, дифференциал функции
df (a ) f ' (a )dx.

16.

Дифференциал
На практике обычно принято записывать все формулы, в
которые входит производная или дифференциал, не вводя
специального обозначения для фиксированной точки a , а
использовать для нее традиционное обозначение x . В этом
случае неявно подразумевается наличие еще одного символа
для обозначения независимой переменной, который не
пишется. Это позволяет записать последнюю формулу в виде
равенства
df ( x) f ' ( x)dx.

17.

Таблица производных
(const )' 0 ( x )' x
(sin x)' cos x
(cos x)' sin x
1
(tg x)'
cos 2 x
1
(ctg x)' 2
sin x
1
1
(a )' a ln a (log a x)'
x ln a
(arcsin x)'
x
x
1
1 x2
1
(arccos x)'
1 x2
1
(arctg x)'
1 x2
1
(arcctg x)'
1 x2
(sh x ) ' ch x
(ch x ) ' sh x
1
(th x ) ' 2
ch x
1
(сth x ) ' 2
sh x

18.

Пример
f ( x ) sin x
2sin
x a
x a
cos
2
2
x a
f ( x ) f (a )
sin x sin a
lim
lim
x a
x
a
x a
x a
x a
x a
x a
2sin
sin
2 (cos a ) lim
2 cos a
(cos a ) lim
x a
x a
x a
x a
2
f '( a ) lim
(sin x ) ' cos x

19.

Таблица дифференциалов
d (const) 0 d( x ) x 1dx d( a x ) a x ln a dx d(log a x)
d (sin x) cos x dx
d (cos x) sin x dx
dx
d(tg x)
cos 2 x
dx
d (ctg x) 2
sin x
d (arcsin x)
dx
1 x
dx
d (arccos x)
1 x2
dx
d (arctg x)
1 x2
dx
d (arcctg x)
1 x2
2
dx
x ln a
d (sh x ) ch x dx
d (ch x ) sh x dx
dx
d (th x ) 2
ch x
dx
d (cth x ) 2
sh x

20.

Необходимое условие дифференцируемости
Теорема. Если функция дифференцируема, то она непрерывна.
Доказательство. Согласно доказанной выше теореме
f ( x) f (a) f ' (a)( x a) ( x)( x a),
Поэтому
f ( x) f (a) f ' (a)( x a) ( x)( x a).
Отсюда следует, что
lim f ( x) lim ( f (a ) f ' (a)( x a ) ( x)( x a ))
x a
x a
lim f (a ) lim f ' (a ) lim ( x a ) lim ( x) lim ( x a)
x a
x a
x a
x a
x a
f (a ) f ' (a) 0 0 0 f (a).
Так как предел функции равен значению в предельной точке, то
функция непрерывна.

21.

Необходимое условие дифференцируемости
Обратное утверждение неверно. Непрерывная функция может не
иметь производной. В этом можно убедиться на примере функции
y=|x| в точке x=0. Для этой функции правый и левый пределы
разностного отношения различны
lim
f ( x) f (0)
| x | 0
| x|
x
lim
lim
lim
lim 1 1,
x
0
0
x
0
0
x
0
0
x 0
x 0
x
x x 0 0
lim
f ( x) f (0)
| x | 0
| x|
x
lim
lim
lim
lim ( 1) 1.
x 0 0 x 0
x 0 0 x
x 0 0 x
x 0 0
x 0
x 0 0
x 0 0
Так как правый и левый пределы различны, то предел
разностного отношения не существует, т. е. эта функция не
дифференцируема в нуле.

22. Геометрический смысл производной

f (x)
f ( x) f ( x0 )
f ( x0 )
x x0
x0
Если существует предел углового
коэффициента секущей AB при
x ----> x0, то прямую AC, которая
проходит через точку A и имеет
угловой коэффициент k , равный
этому пределу, называют в этом
случае предельным положением
секущей или касательной в точке
(x0,f(x0)) графика функции.(x)
x
k lim k ( x) lim
x x0
x x0
f ( x) f ( x0 )
f ' ( x0 )
x x0
Производная функции в заданной точке совпадает с
тангенсом угла наклона касательной к графику этой
функции в заданной точке.

23.

Касательная
График функции y=f(x) имеет касательную в точке (x0,f(x0))
тогда и только тогда, когда существует производная f ’(x0) .
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (x0,y0)
и имеющей угловой коэффициент k , имеет вид
y y0 k ( x x0 ).
Отсюда следует, что уравнение касательной к графику функции
записывается в следующей форме
y f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ).

24.

Нормаль
Прямая, которая проходит через точку (x0,f(x0)) и перпендикулярна
касательной в этой точке, называется нормалью. Известно, что для двух
перпендикулярных прямых произведение их угловых коэффициентов
равно ‒1.
Следовательно, если производная функции отлична от нуля, то
уравнение нормали имеет вид
1
y f ( x0 )
( x x0 ).
f ' ( x0 )
Если же производная равна нулю то касательная параллельна оси Ox
и уравнение нормали имеет вид
x x0 .

25. Физический смысл производной

Пусть материальная точка совершает прямолинейное движение и
xx(t) – ее координата, отсчитываемая от некоторой точки на прямой,
принятой за начало координат. Средняя скорость движения за
промежуток времени, прошедший с момента t0 до момента t , равна
vср
x(t ) x(t0 )
.
t t0
t
Предел средней скорости при t ---> t0 называется в механике
мгновенной скоростью. По определению производной, мгновенная
x(t ) x(t0 )
скорость
v lim vср lim
t t 0
t t 0
t t0
x' (t0 ).
Эта интерпретация обобщается на скорость изменения любой
физической величины.
Например, если q(t) – количество электричества, протекающее
через поперечное сечение проводника в момент времени t , то q' (t) –
мгновенная скорость его изменения, т. е. сила тока в этот момент
времени.

26. Основные правила вычисления производных

• Производная суммы.
• Производная разности.
• Производная произведения.
• Производная частного.
• Производная сложной функции.
• Производная обратной функции.
• Производная функции в параметрической форме.
• Производная «показательно-степенной» функции.

27.

Производная суммы и разности
( f g )' ( x0 ) f ' ( x0 ) g ' ( x0 )
( f g )( x) ( f g )( x0 )
( f ( x) g ( x)) ( f ( x0 ) g ( x0 ))
lim
x x0
x x0
x x0
x x0
( f g )' ( x0 ) lim
( f ( x) f ( x0 )) ( g ( x) g ( x0 ))
f ( x) f ( x0 )
g ( x) g ( x0 )
lim
lim
f ' ( x0 ) g ' ( x0 ).
x x0
x
x
x
x
0
0
x x0
x x0
x x0
lim
( f g )' ( x0 ) f ' ( x0 ) g ' ( x0 )
( f g )( x) ( f g )( x0 )
( f ( x) g ( x)) ( f ( x0 ) g ( x0 ))
lim
x x0
x x0
x x0
x x0
( f g )' ( x0 ) lim
( f ( x) f ( x0 )) ( g ( x) g ( x0 ))
f ( x) f ( x0 )
g ( x) g ( x0 )
lim
lim
f ' ( x0 ) g ' ( x0 ).
x x0
x x0
x x0
x x0
x x0
x x0
lim

28.

Производная произведения
( fg)' ( x0 ) f ' ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ' ( x0 )
( fg )( x) ( fg )( x0 )
f ( x) g ( x) f ( x0 ) g ( x0 )
lim
x x0
x
x
0
x x0
x x0
( fg )' ( x0 ) lim
( f ( x) f ( x0 )) g ( x) f ( x0 )( g ( x) g ( x0 ))
f ( x) f ( x0 )
lim
g ( x)
x x0
x
x
0
x x0
x x0
(
lim
g ( x) g ( x0 )
f ( x) f ( x0 )
g ( x) g ( x0 )
f ( x0 )
lim
lim g ( x) f ( x0 ) lim
x
x
x
x
x
x
0
0
0
x x0
x x0
x x0
)
(
f ' ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ' ( x0 ).
)
(
)

29.

Производная частного
( f / g )' ( x0 )
f ' ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ' ( x0 )
g 2 ( x0 )
( f / g ) '( x0 ) lim[(( f / g )( x ) ( f / g )( x0 )) / ( x x0 )] lim[
x x0
lim[
x x0
x x0
1
f ( x ) f ( x0 )
(
)]
x x0 g ( x ) g ( x0 )
1
f ( x ) g ( x0 ) g ( x ) f ( x 0 )
( f ( x ) g ( x0 ) g ( x ) f ( x0 ) )] lim( 1 ) xlim
(
)
x0
g ( x ) g ( x0 )
x x0
g
(
x
)
g
(
x
)
x
x
x x0
0
0
1
f ( x ) g ( x0 ) g ( x ) f ( x0 )
1
( f ( x ) f ( x0 )) g ( x0 ) f ( x0 )( g ( x ) g ( x0 ))
lim
lim
2
2
x
x
x
x
g ( x0 ) 0
x x0
g ( x0 ) 0
x x0
1
f ( x ) f ( x0 )
g ( x ) g ( x0 )
lim
[
g
(
x
)
f
(
x
)
]
0
0
g 2 ( x0 ) x x0
x x0
x x0
1
f ( x ) f ( x0 )
g ( x ) g ( x0 )
[(
lim
)
g
(
x
)
f
(
x
)
(
lim
)]
0
0
x x0
g 2 ( x0 ) x x0
x x0
x x0
1
f '( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g '( x0 )
[
f
'(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
g
'(
x
)
]
.
0
0
0
0
2
2
g ( x0 )
g ( x0 )

30.

Производная сложной функции
Рассмотрим сложную функцию
F ( x ) f ( ( x )).
Если существуют производные
'( x0 ), f '( ( x0 )),
то ее производная определяется формулой
F ' ( x0 ) f ' ( ( x0 )) ' ( x0 ).

31.

Производная сложной функции
Доказательство. Функция
f(t)
дифференцируема в точке
t0 ( x0 )
поэтому по свойству дифференцируемой функции
f (t ) f (t0 ) f ' (t0 )(t t0 ) (t )(t t0 ),
где α(t) – функция, имеющая нулевой предел при t ---> t0 . Доопределяя
ее нулем при t = t0 , можно считать ее непрерывной при t = t0 так, что
при этом α(t0)=0.
Так как функция t=φ(x) дифференцируема в точке x=x0 , то также
( x) ( x0 ) ' ( x0 )( x x0 ) ( x)( x x0 ),
где β(t) – функция, имеющая нулевой предел при x ---> x0 . Доопределяя
ее нулем при x = x0, можно считать ее непрерывной при x = x0 так, что
при этом β(t0)=0.

32.

Производная сложной функции
F ( x) F ( x0 ) f ( ( x)) f ( ( x0 ))
f (t ) f (t0 ) f ' (t0 )(t t0 ) (t )(t t0 )
f ' ( ( x0 ))( ( x) ( x0 )) ( ( x))( ( x) ( x0 ))
f ' ( ( x0 ))( ' ( x0 )( x x0 ) ( x)( x x0 ))
( ( x))( ' ( x0 )( x x0 ) ( x)( x x0 ))
f ' ( ( x0 ))( ' ( x0 )( x x0 ) ( x)( x x0 ),
где
( x) f ' ( ( x0 )) ( x) ( ( x))( ' ( x0 ) ( x)).

33.

Производная сложной функции
Так как функция t=φ(x) дифференцируема в точке x = x0 , то она
непрерывна в этой точке. Функцию α(t) можно считать непрерывной в
точке t=t0=φ(x0). По теореме о непрерывности сложной функции
α(φ(x)) непрерывна при x = x0 , т. е.
lim ( ( x)) ( ( x0 )) (t0 ) 0.
Но тогда
x x0
lim ( x) f ' ( ( x0 )) lim ( x) lim ( ( x))( ' ( x0 ) lim ( x))
x x0
x x0
x x0
f ' ( ( x0 )) 0 0 ( ' ( x0 ) 0) 0.
x x0

34.

Производная сложной функции
Итак
F ( x) F ( x0 ) A( x x0 ) ( x)( x x0 ),
A f ' ( ( x0 )) ' ( x0 )
где
lim ( x) 0.
и
x x0
Отсюда следует, что функция
F ( x) f ( ( x))
дифференцируема в точке
x x0
и ее производная
F ' ( x0 ) A f ' ( ( x0 )) ' ( x0 ).

35.

Производная обратной функции
Пусть функция
y f ( x)
монотонна и непрерывна в окрестности точки x0 , в самой точке x0
существует производная, которая не равна нулю. Тогда обратная
функция
x g ( y)
также имеет производную в точке
y0 f ( x0 )
и
1
g ' ( y0 )
.
f ' ( x0 )

36.

Производная обратной функции
Доказательство. Из условий теоремы вытекает непрерывность
обратной функции, поэтому при y ---> y0 величина x ---> x0 . Положим
y=f(x)
и учтем, что при этом
y f (x)
y0 f ( x0 ), x g ( y ), x0 g ( y0 ).
Тогда
g ' ( y0 ) lim
y y0
g ( y ) g ( y0 )
x x0
1
1
lim
.
x x0 f ( x ) f ( x )
f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )
y y0
0
lim
x x0
x x0
Это доказывает утверждение теоремы.

37.

Производная функции в параметрической форме
Рассмотрим функцию
y f (x)
заданную в параметрическом виде
x (t ),
y (t ).
Пусть функция x=φ(t) непрерывна и монотонна в окрестности
точки t=t0 , пусть также существуют производные
'(t0 ), '(t0 ),
причем φ′(t0)≠0. Тогда функция y=f(x) имеет производную в точке
x0= φ(t0). При этом
' (t0 )
f ' ( x0 )
.
' (t0 )

38.

Производная функции в параметрической форме
Доказательство. В самом деле, при тех предположениях, которые
сделаны, функция x=φ(t) имеет обратную t=τ(x) . Производную этой
функции можно вычислить по правилу дифференцирования
обратной функции:
' ( x0 ) 1 / ' (t0 ).
Функцию
y f ( x) (t ) ( ( x))
мы можем рассматривать как сложную функцию. По правилу
дифференцирования сложной функции
' ( ( x0 )) ' (t0 )
f ' ( x0 ) ' ( ( x0 )) ' ( x0 )
.
' (t0 )
' (t0 )

39.

Производная «показательно-степенной» функции
Показательно-степенной функцией условно называют функцию вида
y f ( x) ( x ) .
Производную этой функции можно найти если предварительно
сделать тождественные преобразования
( x)
y f ( x)
e
ln( f ( x ) ( x ) )
e ( x ) ln f ( x)
И затем использовать правило дифференцирования сложной функции
y ' (e ( x ) ln f ( x ) )' e ( x ) ln f ( x ) ( ( x) ln f ( x))'
f ( x) ( x ) ( ' ( x) ln f ( x) ( x)(ln f ( x))' )
f ( x) ( x ) ( ' ( x) ln f ( x) ( x)( f ' ( x) / f ( x))
f ( x) ( x ) (ln f ( x)) ' ( x) ( x) f ( x) ( x ) 1 f ' ( x).
В результате получается простая формула, которую легко
запомнить. Нужно продифференцировать функцию как
показательную, затем как степенную и полученные
результаты сложить.

40. Основные правила вычисления дифференциалов

• Дифференциал суммы.
• Дифференциал разности.
• Дифференциал произведения.
• Дифференциал частного.
• Дифференциал сложной функции.

41.

Основные правила вычисления дифференциалов
Дифференциал суммы
d ( f ( x) g ( x)) ( f ( x) g ( x))' dx f ' ( x)dx g ' ( x)dx df ( x) dg ( x)
Дифференциал разности
d ( f ( x) g ( x)) ( f ( x) g ( x))' dx f ' ( x)dx g ' ( x)dx df ( x) dg ( x)
Дифференциал произведения
d ( f ( x) g ( x)) ( f ( x) g ( x))' dx ( f ' ( x) g ( x)dx f ( x) g ' ( x)) dx
( f ' ( x)dx) g ( x) f ( x)( g ' ( x)) dx) (df ( x)) g ( x) f ( x)( dg ( x))
Дифференциал частного
d
( gf ((xx)) ) ( gf ((xx)) )' dx f ' ( x) g ( xg) ( xf)( x) g ' ( x) dx
2
( f ' ( x)dx) g ( x) f ( x)( g ' ( x)dx) (df ( x)) g ( x) f ( x)( dg ( x))
2
g ( x)
g 2 ( x)

42.

Дифференциал сложной функции
df ( ( x )) ( f ( ( x ))) ' dx ( f '( ( x )) '( x ))dx
f '( ( x ))( '( x )dx ) f '( ( x ))d ( x )
Полученная формула допускает важную интерпретацию.
Формула для дифференциала сложной функции оказывается
одинаковой независимо от того, является ли φ независимой
переменной или функцией.

43.

Дифференциал сложной функции
Если φ является независимой переменной, то
df ( ) f ' ( )d ,
а если φ является функцией, то также
df ( ) f ' ( )d ,
но только в первой из этих формул dφ представляет
собой дифференциал независимой переменной,
совпадающий с приращением этой переменной, а во
второй формуле это дифференциал функции, который,
вообще говоря, с приращением функции не совпадает.
Хотя смысл этих формул получается различным, но
форма у них одна и та же.
Это свойство называется инвариантностью формы
дифференциала.