Метод координат в пространстве

1. Метод координат в пространстве

Координаты точки и
координаты вектора

2. Прямоугольная система координат в пространстве

1. Прямоугольная система
координат в пространстве
Если через точку пространства проведены три
попарно перпендикулярные прямые, на каждом
из них выбрано направление(оно обозначается
стрелкой) и выбрана единица измерения
отрезков, то говорят, что задана
прямоугольная система координат в
пространстве.

3.

z
Начало координат -
ось аппликат
точка
О
O
Оси координат -
Ox, Oy, Oz
ось ординат
y
Координатные плоскости
Oxy, Oyz, Ozx
Система координат
x
Oxyz

4. Определение луча на координатной плоскости.

Точка О разделяет каждую из осей
координат на два луча. Луч, направление
которого совпадает с направлением оси,
называется положительной
полуосью, а другой луч –
отрицательной полуосью.

5.

z
Положительная полуось
Луч, направление
которого совпадает с
направлением оси,
называется
положительной полуосью,
а другой луч –
отрицательной полуосью
x
Отрицательная полуось
Отрицательная полуось О
Положительная полуось
y

6. Прямоугольная система координат

z
В прямоугольной
системе
координат
каждой точке M
пространства
сопоставляется
тройка чисел,
которые
называются её
координатами.
M3
M
M2
O
x
M1
y

7.

z
I
N (5; 4; 0)
I
A
I
I
F
I
R
I
О
I
I
x
D
I
I
I
I
I
y D(6; 0;-3)
S(x; y; 0) Oxy
I
M C
I
M(7; 0; 2)
I
I
C (2;-1; 0)
R (-3; -3; 0)
F(0; 4; 3)
A(0; -3; 4)
N
P(0; y; z) Oyz
T(x; 0; z) Oxz

8.

z
A (4;-2,5; 7)
S
I
R
N
S (5; 4; 8)
I
I
I
I
I
I
A
F(-3; 3;-7)
I
I
I
I
О
I
I
I
I
I
I
I
I
y
N(0; 0; 4)
R(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
D (5; 4;-3)
M
I
C
I
I
I
x
I
M(7; 0;-1)
D
F
C(7; 4;-1)

9. Определите координаты точек

z
A
1.
2.
3.
B
4.
5.
D
6.
A(5; 7; 10),
B(4; -3; 6),
C(5; 0; 0),
D(4; 0; 4),
E(0; 5; 0),
F(0; 0; -2).
E
O
F
C
x
y

10. Координаты вектора

2. Координаты вектора
На каждом из
положительных
полуосей отложим
от начала
координат
единичный вектор,
т.е. вектор, длина
которого равна
единицы.
z
k
j
O
i
x
y

11. Связь между координатами векторов и координатами точек.

Вектор, конец которого совпадает с данной
точкой, а начало – с началом координат,
называется радиус-вектором данной точки.
Координаты любой точки равны
соответствующим координатам её радиусвектора.
Каждая координата вектора равна разности
соответствующих координат его конца и начала.

12.

z
I
R
OT {4; 5; 0}
I
I
D
OF {-1; 3;-6}
I
I
I
I
I
OD {-1; 3; 3}
I
I
i
I
I
I
I
j
I
y
OE {6; 0; 3}
ON {0; -3; 0}
T
OR {-2; -3; 4}
I
I
I
I
I
E
O
I
NI
I
k
I
I
OM {5; 0; 0}
x
I
M
F

13. Разложение по координатным векторам

Любой вектор a можно разложить по
координатным векторам, т.е. представить
в виде
а = xi + yj + zk
Причем коэффициенты разложения x, y, z
определяются единственным образом.

14.

z
Вектор, начало которого совпадает с
началом координат – радиус-вектор.
I
I
I
S
I
I
I
I
j
I
I
I
I
y
S(4; 5; 8)
p {4; 5; 8}
I
I
I
i
O
I
I
I
I
I
k
I
I
I
I
p
Координаты радиус-вектора совпадают с
координатами конца вектора.
x
p =4i +5j +8k

15.

Координаты вектора
?
?
?
?
a {-6; 9; 5}
n {-8; 0; 1}
c {0; -7; 0}
m{4; 0; 0}
r {-5;-8; 3}
s {-7; 1; 0}
e {0;3; 21}
q {0; 0; 2}
Разложение вектора по
координатным векторам
? a = – 6i+9j+5k
? n = – 8i+k
? c = –7j
? m =4i
r = –5i –8j +3k
s = –7i + j
e = 3j +21k
q =2k

16. Правила №1

1.
Каждая координата суммы двух или
более векторов равна сумме
соответствующих координат этих
векторов. Если a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } –
данные векторы, то вектор a + b имеет
координаты
1
1
1
2
{x 1+x 2; y 1+y 2; z 1+z 2}
2
2

17. Правило №2

2.
Каждая координата разности двух
векторов равна разности
соответствующих координат этих
векторов. Если a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } –
данные векторы, то вектор a – b имеет
координаты
1
1
1
2
{x1 –x2 ; y1 –y2 ; z1–z2 }
2
2

18. Правило №3

3.
Каждая координата произведения
вектора на число равна произведение
соответствующей координаты вектора на
это число. Если a {x; y; z } – данный
вектор, α - данное число, то вектор αa
имеет координаты
{α x; α y; α z}

19.

a - b, если
1) a {5;-1; 1};
b {-2;1; 0}
Найдите координаты вектора
1 способ
a {5;-1; 1}
b {-2;1; 0}
a - b {7;-2; 1}
2 способ
b {-2;1; 0} (-1)
+
a {5;-1; 1}
-b {2;-1; 0}
a - b {7;-2; 1}

20.

a {3; -5; 2}, b {0; 7;-1},
2
c { 3 ; 0; 0}, d {-2,7; 3,1; 0,5}
Задача 1 Даны векторы
Найдите
2
2
a {3;-5;2}
c +b { 3 ;7;-1} + c { 3 ;0; 0}
b +
a
{3;-5;
2}
b {0;7;-1}
{-2,7;
10,1;
-0,5}
d+b
2
c +a2,5}
{3 3 ;-5;2}
a +b {3;2;} {0,3; -1,9;
a+d
2
a +b +c {3 3 ; 2; 1}
{0,3;
5,1;
1,5}
a +b +d

21.

30
Каждая координата произведения вектора на число равна
произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Рассмотрим вектор
a {x; y; z}
a = xi +y j +z k k
a {-2; 1;0} 3
3a {-6; 3; 0}
a {-2; 0; 3} (-2)
ka = kxi +ky j +kz k -2a {4; 0;-6}
ka {kx; ky; kz}
a {-2; 5;-3} (-1)
-a {2; -5; 3}

22.

Даны векторы
a {-1; 2; 0}
b {0;-5;-2} c {2; 1;-3}
0}
Найдите координаты вектора
p = 3b – 2a + c
1)
3
3)
3b {0;-15;-6}
2)
(-2)
-2a {2;-4; 0}
+
3b – 2a + {4;-18;-9}
c

23.

Задача 2 Даны векторы
a {-1; 2; 0}
Найдите координаты вектора
1)
c {2; 1;-3} 3
3c {6; 3;-9}
2)
b {0;-5;-2} c {2; 1;-3}
q = 3c – 2b + a
3)
3c {6; 3;-9}
+ 2b {0;10; 4}
b {0;-5;-2} (-2)
a {-1; 2;
0}
2b {0;10; 4}
3c – 2b + {5;15;-5}
a