Метод координат

1. МЕТОД КООРДИНАТ

2. Прямоугольная система координат в пространстве

3.

Прямоугольная система координат
z
1
0
1
x
1
y

4.

Определение
Прямые с выбранными на них направлениями,
называются осями координат и обозначаются: Ох, Оy, Оz.
z
Ох – ось абсцисс;
Оy – ось ординат;
1
Оz – ось аппликат;
Oxyz
0
1
x
1
y

5.

z
z
1
1
0
1
x
1
0
y
z
Оху
x
1
0
x
1
1
Оzх
y
1
1
Оуz
y

6.

z
положительная полуось
отрицательная полуось
1
0
1
x
1
y

7.

z
М(х;у;z)
M
1
0
1
y
1
x
Запомните! Первой указывают абсциссу (х), второй –
ординату (у), третьей — аппликату (z).

8. Нахождение координат точек

Точка лежит
на оси
в координатной плоскости
Ох (х; 0; 0)
Оху (х; у; 0)
Оу (0; у; 0)
Оz (0; 0; z)
Охz (х; 0; z)
Оуz (0; у; z)

9.

Даны точки:
А (2; -1; 0)
В (0; 0; -7)
С (2; 0; 0)
D (-4; -1; 0)
Е (0; -3; 0)
F (1; 2; 3)
Р (0; 5; -7)
К (2; 0; -4)
Назовите точки, лежащие
в плоскости Оуz
Назовите точки, лежащие
в плоскости Охz
Назовите точки, лежащие
в плоскости Оху

10.

Задача 402.
Дано:
ABCDA1B1C1D1– куб;
A(0; 0; 0);
B(1; 0; 0);
D(0; 1; 0);
A1(0; 0; 1).
Найти:
координаты точек.
Решение:
z
1
A1(0; 0; 1);
D1
C1
B1
A(0; 0; 0);
D(0; 1; 0);
0
1
1
B(1; 0; 0);
x
C
y

11. Координаты вектора

12. Координаты вектора

2. Координаты вектора
На каждом из
положительных
полуосей отложим
от начала
координат
единичный вектор,
т.е. вектор, длина
которого равна
единицы.
z
k
j
O
i
x
y

13. Разложение по координатным векторам

Любой вектор a можно разложить по
координатным векторам, т.е.
представить в виде
а = xi + yj + zk
Причем коэффициенты разложения x, y, z
определяются единственным образом.

14. Запись координат вектора.

Координаты вектора а
будут записываться в
фигурных скобках после
обозначения вектора: а {x;
y; z}.
На рисунке справа
изображен прямоугольный
параллелепипед имеющий
измерения: OA1 =2, OA2 =2, OA3
=4.
Координаты векторов
изображенных на этом
рисунке, таковы:
a {2; 2; 4}, b {2; 2; -1},
A3 A {2; 2;0}, i {1; 0; 0},
j {0;1;0}, k {0; 0; 1}
z
A3
A
a
k
j
i
A2
O
A1
x
b
y

15. Правила действий над векторами с заданными координатами

1. Равные векторы имеют равные координаты
Пусть
а х1 ; у1 ; z1
b х2 ; у2 ; z2
, тогда
a b
х1 = х2; у1 = у2; z1 = z2

16.

2. Каждая
координата суммы двух (и более)
векторов равна сумме соответствующих
координат этих векторов
а х1; у1; z1
b х2 ; у2 ; z 2
с a b
Следовательно с х1 х2 ; у1 у2 ; z1 z 2

17.

3. Каждая координата произведения вектора на
число равна произведению соответствующей
координаты на это число.
а х1 ; у1 ; z1

18.

4. Каждая координата разности двух векторов
равна разности соответствующих координат
на этих векторов.
а х1 ; у1 ; z1
b х2 ; у2 ; z2
с a b
с х1 х2 ; у1 у2 ; z1 z 2

19. Выполнить задание устно:

• Даны векторы:
а 3;5; 7
b 4; 1;3
c 0;1;8
• Найти вектор равный:
а) 2 а 2 а 6;10; 14 б ) 3 b
в) a b
a b 7;4; 4
г) b с
b с 4; 2; 5
д) а b d
d 3;0;0
3 b 12;3; 9
e) 3d 2c
а b d 10;4; 4
3d 2c 9; 2; 8

20. Основные формулы:

1. Координаты вектора
A( x1, y1, z1 )
B( x2 , y2 , z2 )
AB{x2 x1; y2 y1; z2 z1}
2. Длина вектора
AB{x; y; z}
AB x 2 y 2 z 2

21.

3. Расстояние между двумя точками
A( x1, y1, z1 )
B( x2 , y2 , z2 )
d ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
4. Нахождение координаты середины С(x;y;z) отрезка АВ
A( x1, y1, z1 )
x
x1 x2
2
B( x2 , y2 , z2 )
y
y1 y2
2
z
z1 z 2
2

22.

5. Скалярное произведение векторов
ab a b cos( ab)
a{x1 , y1 , z1}
b{x2 , y2 , z2 }
ab x1 x2 y1 y2 z1 z2

23.

6. Косинус угла между векторами
a{x1 , y1 , z1}
cos
b{x2 , y2 , z2 }
x1 x2 y1 y2 z1 z 2
x12 y12 z12 x22 y22 z 22

24.

Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1.
Запишите координаты каждой вершины.
z
A1
D1
C1
B1
A
D
y
B
x
C

25.

Дана прямая призма ABCA1B1C1, в
z
основании прямоугольный треугольник с
катетами 6 и 5, а высота призмы равны
10. Запишите координаты каждой
вершины.
B1
C1
A1
10
B
5
A
x
6
C
y

26.

Дана правильная треугольная призма
ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1.
Запишите координаты каждой вершины.

27.

Дана правильная шестиугольная призма
ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой
равны 1. Запишите координаты каждой
вершины.

28.

Дана правильная треугольная пирамида
DABC, все ребра которой равны 1.
Запишите координаты каждой вершины.

29.

Дана правильная четырехугольная
пирамида SABCD, все ребра которой
равны 1. Запишите координаты каждой
вершины.

30.

Дана правильная шестиугольная
пирамида SABCDEF, стороны основания
которого равны 1, боковые ребра 2.
Запишите координаты каждой вершины.