Определение случайной величины
Дискретная случайная величина и способы ее задания
Дискретная случайная величина и способы ее задания
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Основные законы распределения дискретных случайных величин
Основные законы распределения дискретных случайных величин
Основные законы распределения дискретных случайных величин
Непрерывная случайная величина. Способы ее задания
Непрерывная случайная величина.
Числовые характеристики непрерывной дискретной случайной величины
Основные законы распределения непрерывных случайных величин
Основные законы распределения непрерывных случайных величин
Основные законы распределения непрерывных случайных величин
Стандартная функция Лапласа
Основные законы распределения непрерывных случайных величин 3. Нормальное распределение
237.00K
Категория: МатематикаМатематика

Случайные величины. Определение случайной величины (лекция 6)

1.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Лекция 6

2. Определение случайной величины

• Случайная величина – это величина,
принимающая в результате испытания
одно из возможных значений, при этом
появление того или иного значения
является случайным событием.
• Различают дискретные и непрерывные
случайные величины.

3. Дискретная случайная величина и способы ее задания

Дискретной случайной величиной называется
случайная величина с конечным количеством
возможных значений.
Для определения дискретной случайной величины
задают закон ее распределения (ряд распределения), то есть все возможные значения
случайной величины и соответствующие им
вероятности:

4. Дискретная случайная величина и способы ее задания

• События, заключающиеся в том, что появится одно из
возможных значений случайной величины, являются
несовместными и образуют полную группу событий.
Сумма вероятностей полной группы событий равна
единице:
n
P
Pi x 1
i
i 1
P3
P4
P2
P1
P5
P6
xi
0
x1 x2
x3
x4
x5
x6
Графическое изображение дискретной случайной величины в
виде многоугольника распределения.

5. Числовые характеристики дискретной случайной величины

• Математическое ожидание
n
( X ) xi pi x1 p1 ... xn pn
• Дисперсия
i 1
D( X ) ( X ) ( ( X ))
2
, где ( X 2 ) xi2 Pi
n
2
• Среднее квадратичное отклонение
( X ) D( X )
i 1

6. Основные законы распределения дискретных случайных величин

• Формула Бернулли: Pn x
Cnx p x q n x
n!
p x q n x
x! n x !
P А p , P А q
• Совокупность полученных вероятностей
Рn(0), Рn(1), Рn(2), …,Рn(n) представляет
собой биномиальное распределение.

7. Основные законы распределения дискретных случайных величин

• Формулу Муавра-Лапласа используют для схемы
n 10 p 0,1
Бернулли, когда
Вероятности определяют по формулам:
а)
Pn ( X x)
1
e
2 npq
1 x np
2 npq
2
- локальная формула Лапласа;
2
б) P ( x X x ) 1
n
1
2
2
z2 z
e 2
z1
x 2 np
x1 np
dz (
) (
)
npq
npq
- интегральная формула Лапласа, где Ф(z)- интегральная
функция Лапласа

8. Основные законы распределения дискретных случайных величин

• При тех же условиях, но когда n 10 и p 0,1
применяют формулу Пуассона:
где np
Pn x
x
x!
• При этом:
X D X ;
e
,

9. Непрерывная случайная величина. Способы ее задания

• Непрерывной случайной величиной называется случайная
величина, которая может принимать любое значение из
некоторого интервала (на котором она существует).
• Интегральная функция распределения непрерывной
x
случайной величины:
F ( x) P( X x)
f ( x)dx
• Дифференциальная функция распределения
непрерывной случайной величины (функция
плотности распределения):
dP
f ( x)
F ( x)
dx

10. Непрерывная случайная величина.

f(x)
Непрерывная случайная величина.
x2
x1
0
x
Графическое задание непрерывной случайной
величины в виде функции распределения
плотности вероятностей.
f ( x)dx 1
F(x)
1
0
Условие нормирования
для непрерывной
случайной величины:
1
2
3
4
5
x
Графическое изображение интегральной функции
распределения случайной величины

11. Числовые характеристики непрерывной дискретной случайной величины

x
Математическое ожидание:
( X ) x f ( x )dx
2
x1
• Дисперсия:
где
D( X ) ( X 2 ) ( ( X )) 2
x2
( X 2 ) x 2 f ( x )dx
x1
• Среднее квадратичное отклонение:
( X ) D( X )
• Вероятность попадания в промежуток:
P( x1 X x 2 )
x2
f ( x)dx F ( x2 ) F ( x1 )
x1

12. Основные законы распределения непрерывных случайных величин

• 1. Равномерное распределение:
Дифференциальная функция
распределения -
Интегральная функция
распределения -
x a;
0,
1
f ( x)
, a x b;
b a
x b.
0,
x a;
0,
x a
F ( x)
, a x b;
b a
x b.
1,

13. Основные законы распределения непрерывных случайных величин

• 2. Показательное (экспоненциальное)
распределение непрерывной случайной
величини з параметром .
Дифференциальная функция
распределения –
Интегральная функция
распределения -
x 0;
0,
f ( x ) x
e , x 0.
x 0;
0,
F ( x) x
1 e , x 0.

14. Основные законы распределения непрерывных случайных величин

• 3. Нормальное распределение:
1
f ( x)
e
2
Дифференциальная функция
распределения
(функция Гаусса) –
f(x)

1
2
+ +2 +
2
x
График нормального распределения случайной величины.
( x )2
2 2

15. Стандартная функция Лапласа

• Если в функции Гаусса взять 0 и 1 , то
получим нормированную или стандартную функцию
(дифференциальную функцию).
( z)
1
e
2
z2
2

16. Основные законы распределения непрерывных случайных величин 3. Нормальное распределение

• Вероятность попадания нормально распределенной
случайной величины в интервал определяется по
формуле:
x2
x1
P( x X x )
1
1
2
z
z2
e 2 dz
2
где
- интегральная функция
Лапласа, ее значения находятся по таблице.
( z )
• Правило трех сигм: если случайная величина
нормально распределена, то практически достоверно,
то есть с вероятностью, близкой к единице, ее
значения лежат на промежутке [ .
English     Русский Правила