Случайная величина
Закон распределения случайной величины
Функция распределения F(x0)
Свойства функции распределения
Непрерывная случайная величина
Функция плотности вероятности
Числовые характеристики случайной величины.
Числовые характеристики случайной величины.
Числовые характеристики случайной величины
Законы распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение
Биномиальное распределение
Задача господина де Мере
Распределение Пуассона Редкие события
Основные законы распределения непрерывной случайной величины
Равномерное распределение
Больные попадают на флюорографическое обследование строго по расписанию работы кабинета и интервалом 7 минут. Составить функцию
Нормальный закон распределения или распределение Гаусса
Нормальное распределение
Параметры нормального распределения
Нормальная функция распределения
Свойства функции Ф(t)
Таблицы нормального распределения
Пример 1
Пример 2
Правило 3-х сигм
Математическая статистика.
Основные задачи, которые стоят перед математической статистикой
Сбор экспериментальных данных.
Статистические характеристики совокупности
Ошибка среднего арифметического
Интервальные оценки параметров Доверительный интервал
Распределение Стьюдента (малые выборки)
Алгоритм обработки результатов прямых измерений
Алгоритм обработки результатов прямых измерений
Алгоритм обработки результатов прямых измерений
Контрольные вопросы.
2.66M
Категория: МатематикаМатематика

Случайная величина

1. Случайная величина

• Случайная величина – это переменная,
которая принимает свои значения в
зависимости от случайных обстоятельств.
• .Дискретная случайная величина
(точечная) принимает отдельные
• числовые значения (кубик: 1,2,3,4,5,6)
• Непрерывная случайная величина
принимает любые значения из
некоторого интервала
(рост студентов).

2. Закон распределения случайной величины

Это связь между возможными значениями
случайной величины и вероятностями, с
которыми она эти значения принимает,
в виде 1) таблицы 2) графика 3) функции
распределения
• Дискретная случайная величина.
• Таблица
Условие нормировки
X
x1
x2
P(x)
P(x1) P(x2)

xn
P(xn)

3.

4. Функция распределения F(x0)

• это вероятность того, что случайная
величина X принимает значения, меньшие
или равные x0.
F ( x0 )
P( x )
i
i
( xi x0 )

5. Свойства функции распределения

1). F(x) неубывающая: F(x2)≥F(x1)
если x2≥x1
2).F(-∞)=0;
F(+∞)=1
Вероятность попадания значения
случайной величины в заданный интервал

6.

Пример
X
2
4
6
8
10
P(x)
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
F(x)
0,1
0,3
0,7
0,9
1
F(4)=P(X≤4)=P(2)+P(4)=0,1+0,2=0,3 F(8)=P(X≤8)=P(2)+P(4)+P(6)+
P(8)==0,1+0,2+0,4+0,2=0,9
P(4<X≤8)=F(8)-F(4)=0,9-0,3=0,6

7. Непрерывная случайная величина

1) Таблица:
Интервальный ряд распределения.
X
Δx1
Δx2
Δxk
P(Δx)
P(Δx1)
P(Δx2)
P(Δxk)

8.

9. Функция плотности вероятности

10.

f ( x)dx 1
Условие
нормировки

11. Числовые характеристики случайной величины.

1) Математическое ожидание. Это среднее значение случайной величины
• Дискретная величина
• Пусть проведено n испытаний, случайная величина приняла значение
• x1 -- m1 раз, x2 -- m2 раз И так далее
x1 x2 xn x1 m1 x2 m2 k
X
xi p ( xi )
n
n
i 1
При n
X M [ x]
математическое ожидание
Непрерывная величина

12. Числовые характеристики случайной величины.

• 2) Дисперсия (рассеивание). Это математическое ожидание (среднее
значение) квадрата отклонения случайной величины X от её
математического ожидания
Дискретная величина
Для удобства
вычислений
Непрерывная величина

13. Числовые характеристики случайной величины

• Если X и Y независимые случайные
величины,то
Так как размерность дисперсии не совпадает с размерностью
самой случайной величины (например, метры и квадратные
метры), используют
3) Среднеквадратическое или стандартное отклонение

14. Законы распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение

• Пусть производится N независимых
опытов(бросаем кубик 4 раза)
• В каждом опыте с одной и той же
вероятностью р может наступить событие А
(выпадание грани 6 ; р=1/6)
• Случайная величина - это число k наступлений события A в N опытах (грань 6
выпадает в 4 опытах 2 раза)

15. Биномиальное распределение

• Вероятность такой случайной величины
вычисляют по формуле P N , k C k p k q N k
N
N
!
k
где q=1-p ; C N
; к!=1•2• • •к факториал
k! N k !
Таблица биномиального распределения
k
0
1
...
N
P
P(N,0)
P(N,1)
...
P(N,N)

16.

17. Задача господина де Мере

P N , k CNk p k q N k
0
4
4
4! 1 1
1 2 3 4 5
625
P(4,0)
0,482
1
0 ! 4! 6 6 1 1 2 3 4 6 1296
1
4!
1 1
P(4,1)
1
01! (4 1) ! 6 6
Сколько раз из
4 бросаний выпадет грань 6
Вероятность
этого события
0
625
1296
4 1
1
500
1296
1
1296
1 2 3 4 1 5
500
0,385
1 1 2 3 6 6 1296
1
2
150
1296
3
20
1296
3
4
1
1296

18. Распределение Пуассона Редкие события

• Если количество испытаний достаточно велико (N), а
вероятность появления события в отдельно взятом
испытании p весьма мала (0,05-0,1 и меньше), то
вероятность того, что в данной серии испытаний
событие появится ровно k раз, можно приближенно
вычислить по формуле Пуассона:,
k
P k e , k 0,1,2...
k!
где
параметр распределения- среднее число событий

19.

• Если в биномиальном распределении зафиксировать k , а N
увеличивать таким образом, чтобы произведение оставалось
постоянным и равным , то получим распределение Пуассона
• Пример
k
P k e , k 0,1,2...
k!
• На 1000 человек в среднем приходится 1 алкоголик. Найти
вероятность того, что в городке с населением 8000
человек окажется 7 алкоголиков.
• Биномиальное распределение
7
(0,001) 7 (0,999) 8000 7
• P(8000,7) C8000
• Распределение Пуассона
8 7 e 8
P7
0,19
7!

20. Основные законы распределения непрерывной случайной величины

1.Равномерное или прямоугольное распределение.
Случайная величина называется равномерно распределённой
на интервале [c,d], если функция плотности распределения
её на этом интервале постоянна, а вне него равна нулю.
const , если c x d
f x
если x с, x d
0
d
d
d
d
d
f x dx f x dx const dx const dx const x const d с 1
с
с
c
const
c
1
d с
c

21. Равномерное распределение

Вероятность того что X попадёт в интервал
b
1
1
b a
P a x b
dx
x
d с
d с a d с
a
b

22. Больные попадают на флюорографическое обследование строго по расписанию работы кабинета и интервалом 7 минут. Составить функцию

плотности случайной величины t – времени ожидании приглашения в
кабинет больным, который наудачу подошёл к кабинету. Найти
вероятность того, что он будет ждать приглашения не более 3 –х минут.
Вычислим вероятность того, что пассажир будет ожидать приглашения
не более 3 минут:

23. Нормальный закон распределения или распределение Гаусса

f x
1
2
e
x a 2
2 2
aиσ
параметры
распределе
ния

24. Нормальное распределение

Условие
нормировки
f x dx 1
С изменением параметра а кривая смещается по оси х:

25.

С изменением параметра σ меняется форма кривой, но не
площадь под ней

26. Параметры нормального распределения

математическое ожидание
M X x f x dx
1
2
x
e
x a 2
2
2
dx a
дисперсия.
D x
x M x
2
f x dx
1
x a 2
2
x
a
e
2
2
2
dx 2
D – среднее квадратическое отклонение.

27. Нормальная функция распределения

F x P , x
x
f x dx
x
1
2
e
• Введём замену переменной:
t
x a
1
2
x M X
X
t
e
t 2
2
dt
1
dx
x M X
dt t
X
x a 2
2
2
dx

28. Свойства функции Ф(t)

0 0,5; 0; 1; t 1 t

29.

Вероятность попадания значений
случайной величины в интервал [a.b]

30. Таблицы нормального распределения

Таблицы нормального распределения

31. Пример 1

• Случайная величина распределена по нормальному
закону. Параметры распределения:a=4, σ=3. Найти
вероятность того, что случайная величина попадёт в
интервал от (- ∞ ) до 5
x a 5 4
t2
0,33
3
4
t1
3
5 4
P( x 5) F (5) F ( )
3
0,33 0 0,62

32. Пример 2

Случайная величина распределена по нормальному закону. Параметры распределения:a=4, 3
• Чему равно х, если
P( X x) 0,53
x a
x 4
P ( X x ) F ( x )
0,53
3
• По таблице находим: для
x 4
(t ) 0,53 t 0,08
0,08
3
0,24 x 4
x 4,24

33. Правило 3-х сигм

34.

35.

36. Математическая статистика.

Статистическая совокупность – это множество
объектов, обладающих общими признаками, которые
являются наиболее важными (типичными) для
характеристики этих объектов.
Объём совокупности n –это число членов совокупности
Генеральная совокупность – это совокупность всех
объектов, которые имеют типичную характеристику или
признак. Это все возможные значения случайной величины.
Объём генеральной совокупности).
Выборочная совокупность (выборка) – это отобранная
тем или иным способом часть генеральной совокупности
Варианта – это числовое значение изучаемого признака
( отдельные значения случайной величины )

37. Основные задачи, которые стоят перед математической статистикой

•Определение закона распределения случайной
величины по имеющимся статистическим данным (
по выборке – закон распределения для всей
генеральной совокупности).
•Определение неизвестных параметров
распределения ( по выборке оценить параметры
генеральной совокупности).
•Задача проверки правдоподобия выдвигаемых
статистических гипотез

38. Сбор экспериментальных данных.

1) Получаем статистический ряд –
совокупность числовых данных или выборку
объёмом n:
2) Производим ранжирование -- это
расположение всех имеющихся вариант
по возрастанию
Пример: при измерении частоты пульса у 10
пациентов получены следующие результаты:
90, 110, 65, 80, 90, 60, 70, 80, 70, 80
Ранжированный ряд имеет вид: 60, 65, 70, 70, 80,
80, 80, 90, 90, 110.

39.

3) Составляем вариационный ряд (статистическое
распределение)
Дискретный вариационный ряд это таблица, состоящая
из двух строк : конкретных значений вариант Xi и частот mi
(сколько раз случайная величина принимала данное значение).
xi
60
mi 1
полигон
частот
65
70
80
90
110
1
2
3
2
1

40.

Для непрерывной случайной величины
составляется интервальный вариационный ряд:
Первая строка - интервалы изменения признака,
Вторая строка- частоты, относящиеся к данным интервалам
Число интервалов можно приблизительно определить по
формулам:
.
-берётся целая часть числа.
–(формула Брукса, 1963
Длина интервала ΔX рассчитывается по формуле:
Пример. Анализ веса 60-ти новорожденных дал следующие
результаты:min вес 1,5 кг, max вес 5 кг.
к=7

41.

Интервальный вариационный ряд:
вес
xi 1,5-2 2-2,5
(кг)
число
2
6
новорожд
енных mi
2,5-3
3-3,5
12
20
3,5-4 4-4,5 4,5-5
14
4
2
Гистограмма
:

42. Статистические характеристики совокупности

Генеральная совокупность (n→∞)
Выборка (n- конечно)
Математическое ожидание Среднее арифметическое
n
n
k
x
i 1
n
M X xi P xi
i 1
i
x
n
2
D X xi M X P xi
x
i 1
i 1
Среднее квадратическое
отклонение
X D X
i 1
i
n
Оценка дисперсии
Дисперсия
k
x
i
M X
n
2
n
S n2
x
i 1
i
x
2
n 1
Оценка среднеквадратического
отклонения
S n S n2

43. Ошибка среднего арифметического

Извлечём из генеральной совокупности N выборок
одинакового объёма n, тогда их средние
арифметические сами будут являться значениями
случайной величины и имеют отклонения
от
истинного значения М[X].
X x1 . x 2 , ...x N
Ошибка среднего арифметического
S x показывает
насколько близко получаемое по выборке среднее
арифметическое значение, приближается к истинному
среднему М[X] генеральной совокупности
2
n
Sn
Sx
n
x
i 1
i
x
n n 1

44. Интервальные оценки параметров Доверительный интервал

M X x x M X x
M X x
f x dx F M X x F M X x
M X x
P M X x x M X x

45.

Доверительным интервалом какого либо параметра, называют такой интервал, о котором можно
сказать, что с вероятностью РД он содержит в себе
этот параметр.
Доверительные интервалы
для нормального
распределения
PD
ΔX=t∙σ
(α=1-PD) (N→∞)
0,95
(0,05)
0,99
(0,01)
2∙σ
3∙σ
уровень значимости α=1-РД.

46. Распределение Стьюдента (малые выборки)

Доверительные интервалы для
нормального распределения и
распределения Стьюдента
PD
ΔX=t∙σ ΔX=tSt∙S
X
(α=1-PD ) (N→∞) (N=4)
0,95
(0,05)
2∙σ 2,78 S
X
0,99
(0,01)
3∙σ
n
4.60 S X
X t St PD , n S x t St PD , n
2
x x
i 1
n n 1

47.

Пример: При определении концентрации белка в растворе
были получены следующие результаты (в мг/л):110, 112, 115,
113,114. Найти 1) среднее значение,2) стандартное
отклонение и 3)доверительный интервал для Рд=0.95.

48. Алгоритм обработки результатов прямых измерений

• 1) Провести серию измерений,
x1 , x2 ,... xN , N 3.
не менее трех
• 2) Найти среднее арифметическое .
x1 x2 x3 ... x N
x
.
N
• 3) Вычислить доверительный интервал
N
xсл t St
x
i 1
i
x
2
N N 1
для заданной доверительной вероятности,
например, PD 0,95.

49. Алгоритм обработки результатов прямых измерений

• 4) Найти систематическую ошибку.
• а). если указан класс точности прибора:
xсист
Кл. т.
100%
хшкалы
xсист
Кл. т. хшкалы
100%
б). если класс точности не указан ( например, линейка или
термометр)
5) Вычислить общую ошибку:
.
xобщ x
2
сл .
х
Эту ошибку называют еще абсолютной ошибкой.
2
сист.

50. Алгоритм обработки результатов прямых измерений

• 6) Записать окончательный результат: .
x x xобщ , для PD 0,95
•7) Кроме абсолютной ошибки желательно также
найти коэффициент вариации (или относительную
ошибку, выраженную в процентах):
x
%
100 %.
x

51. Контрольные вопросы.


Биномиальное .распределение.
Распределение Гаусса:
а). Параметры распределения.
б). Нормированная случайная величина.
в). Правило трёх сигм.
Основные понятия математической статистики.
Схема предварительной обработки экспериментальных
данных.
Статистические характеристики совокупности.
Ошибка среднего арифметического.
Доверительный интервал и доверительная вероятность.
Распределение Стьюдента.
Обработка прямых измерений
English     Русский Правила