Математический анализ

1.

16+ Математический анализ

2.

• Бронштейн Ефим Михайлович
• Кафедра вычислительной математики и
кибернетики
• каб. 6-414а
• E-mail: [email protected]
2

3.

Литература
• 1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы
математического анализа. Т.1-2.
• 2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального
и интегрального исчисления. Т.1-3
• 3. Решетняк Ю.Г. Курс математического
анализа. Т. 1-4
• 4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу
математического анализа.
• 5. Демидович Б.П. Сборник задач и
упражнений по математическому анализу.
3

4.

НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И
ОБОЗНАЧЕНИЯ
, ,
, , , , , ,
{x:R(x)}
Необходимо - достаточно - iff
4

5.

ЗАГАДКА
• Продолжите последовательность
О,Д,Т,Ч,П,Ш,…
5

6.

ЧИСЛА
• Натуральные (N)
Принцип математической индукции
Утверждение R(n) для натуральных чисел.
- R(1) истинно
- R(n) - истинно R(n+1) – истинно
Тогда R(n) истинно для всех натуральных n
6

7.

• Примеры
- 1+2+…+n=n(n+1)/2
- При x 0 справедливо неравенство
Бернулли
(1+x)n 1+nx
7

8.

• Целые (Z)
Можно вычитать
• Рациональные (Q)
можно делить (не на 0!) p/q
Не существует рационального числа,
квадрат которого равен2.
8

9.

Вещественные (R)
a0,a1a2…an…
1,000…00..
0,999…999…
Арифметические операции, сравнение
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество X ограничено
сверху, если M x X (x<M)
Аналогично определяется ограниченность снизу
Ограниченность это и то, и другое
9

10.

Пусть множество X ограничено сверху
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число M называется
верхней гранью множества, если
x X (x≤M)
У ограниченного множества верхних граней
бесконечно много
10

11.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Точной верхней гранью
ограниченного сверху множества X
называется минимальная из верхних
граней.
• Обозначение: sup X (супремум)
• Аналогично точная нижняя грань inf X
(инфимум)
11

12.

• Иначе:
1. x X (x≤sup X)
2. >0 x X (x sup X )
Максимальный элемент множества max X
Минимальный элемент множества min X
МАКСИМАЛЬНЫЙ И МИНИМАЛЬНЫЙ
ЭЛЕМЕНТЫ ОГРАНИЧЕННОГО МНОЖЕСТВА
МОГУТ НЕ СУЩЕСТВОВАТЬ {x: 0<x<1}
12

13.

• ТЕОРЕМА 1 (О точных гранях)
У всякого ограниченного сверху множества
ВЕЩЕСТВЕННЫХ чисел существует sup.
• У всякого ограниченного снизу множества
ВЕЩЕСТВЕННЫХ чисел существует inf.
• Если sup X X, то max X=sup X
• Если inf X X, то min X=inf X
13

14.

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ МНОЖЕСТВ
(a,b) иное обозначение ]a,b[ - интервал
[a,b] – отрезок, (a,b] - полуинтервал
( ,+ ) ( ,a) ( ,a]
(a,+ ) [a,+ )
Окрестность точки a – любой интервал,
содержащий число a
• -окрестность a ( >0): (a , a+ )
• Проколотая -окрестность (без a)
• Важное неравенство: |a+b|≤|a|+|b|
|a b|≤|a|+|b|
14

15.

• ТЕОРЕМА 2. Принцип вложенных отрезков.
(Следствие из теоремы о точных гранях)
Пусть [a1,b1] [a2,b2] … [an,bn] …
Тогда [an,bn] .
Доказательство. A={a1, a2,…, an…}
Sup A.
ДЛЯ ИНТЕРВАЛОВ НЕВЕРНО!
15

16.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ
ПРЕДЕЛЫ
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Пусть каждому натуральному
числу ставится в соответствие некоторое
вещественное число хn . Множество
занумерованных вещественных чисел
x1, x2,…, хn,… называется последовательностью.
Элементы (или члены) последовательности
{хn}.
Примеры: {1/n}, {( 1)n}, {с}
16

17.

• Арифметические операции над
последовательностями {хn}, {yn}:
{хn+yn}, {хn-yn}, {хnyn}, {хn /yn} (при делении
нужны оговорки), в частности {схn}
• Ограниченные последовательности
- сверху: M n хn<M
- снизу: m n хn>m
- просто: M n |хn |<M
17

18.

• Примеры:
1)Последовательность —1, —4, —9, ... , —п2, ...
Ограничена сверху и не ограничена снизу.
2)Последовательность 1, 1/2, 1/3, ... , 1/п, ...
ограничена.
3) Последовательность
1, 2, 1, 3, ... , 1, п, 1, (п + 1), ...
не ограничена.
18

19.

Бесконечно большие (ББ)
последовательности
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Последовательность {хn}
называется бесконечно большой, если
M N n>N |хn|>M.
Обозначение: limn хn= или хn
Если хn>0 при достаточно больших n, то
хn +
Если хn<0 при достаточно больших n, то
хn
19

20.

• ПРИМЕРЫ
Если хn=n, то хn + (N= M )
Если хn= n, то хn
Если хn=n( 1)n, то хn
• Связь с неограниченными
последовательностями
20

21.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ (БМ)
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Последовательность { п}
называется бесконечно малой, если
>0 N n>N | n|< .
Обозначение: limn n=0 или n 0
21

22.

ПРИМЕРЫ (ВАЖНЫЕ)
1. Последовательность q, q2, q3, ... , qn, ...
- при |q| > 1 является бесконечно большой,
- при |q| < 1 — бесконечно малой.
2. Последовательность 1, 1/2, ... , 1/п, ... бесконечно малая.
22

23.

СВОЙСТВА БМП
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Сумма (разность) двух БМП есть БМП.
Алгебраическая сумма любого конечного числа БМП — БМП.
БМП ограничена.
Произведение ограниченной последовательности на БМП — БМП.
Произведение любого конечного числа БМП — БМП.
Если все элементы БМП { n} равны одному и тому же числу с, то с = 0.
{ п} – БМП, iff {| п|} – БМП
Если { п} – БМП и начиная с некоторого номера | п|≤| п|, то { п} – БМП.
Если { п}, { п} – БМП, то п =max{ п, п}– БМП.
Если {хп} — ББП то, начиная с некоторого номера п, определена
последовательность {1/хп}, которая является БМП.
11. Если все члены БМП { п} не равны нулю, то последовательность {1/ п} ББП.
12. Если { п}, { п} – БМП и начиная с некоторого номера п≤ п≤ п, то п – БМП.
23

24.

СХОДЯЩИЕСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Последовательность {хп}
называется сходящейся, если существует число
a такое, что {хп-a} – БМП.
a – предел последовательности,
обозначение: limn хn= a или хn a
БМП это сходящиеся последовательности,
предел которых 0
24

25.

• Иначе:
a >0 N n>N |хn-a|<
хn располагается в -окрестности числа
(точки) a
хп= a+ п, где п- БМП
25

26.

ПРИМЕР: n/(n+1) 1
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МОЖЕТ НЕ ИМЕТЬ
ПРЕДЕЛА. Пример {(-1)n}
26

27.

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
1. Сходящаяся последовательность имеет
единственный предел.
2. Сходящаяся последовательность ограничена.
(Обратное неверно.)
3. Сумма (разность) сходящихся последовательностей
{хп} и {уп} - сходящаяся последовательность.
предел которой равен сумме (разности) пределов
последовательностей {хп} и {уп}.
4. Произведение сходящихся последовательностей
{хп} и {уп} - сходящаяся последовательность.
предел которой равен произведению пределов
последовательностей {хп} и {уп}.
27

28.

Лемма. Если последовательность {уп} сходится и
имеет отличный от нуля предел Ь, то, начиная
с некоторого номера, определена
последовательность {1/уп} которая является
ограниченной.
5. Отношение двух сходящихся
последовательностей {хп} и {уп} если limn yn
0 - сходящаяся последовательность, предел
которой равен отношению пределов
последовательностей {хп} и {уп}.
28

29.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В
НЕРАВЕНСТВАХ
ТЕОРЕМА 3. Если последовательность {хп}
сходится и начиная с некоторого номера n
справедливы неравенства хп b, то
limn хn b.
ДЛЯ НЕСТРОГИХ НЕРАВЕНСТВ НЕВЕРНО!
Аналогично при ≤.
Следствие 1. Если все элементы сходящейся
последовательности {хп} находятся в сегменте
[а,Ь], то и ее предел также находится на этом
сегменте.
29

30.

Следствие 2. Если элементы сходящихся
последовательностей {хп} и {уп} начиная с
некоторого номера удовлетворяют
неравенству хп ≤уп , то их пределы
удовлетворяют такому же неравенству:
30

31.

ТЕОРЕМА 4. Пусть {хп} и {zn} — сходящиеся
последовательности, имеющие общий
предел а, и начиная с некоторого номера
элементы последовательности {уп}
удовлетворяют неравенствам хп≤уп≤zn.
Тогда последовательность {уп} сходится и
имеет предел а.
31

32.

МОНОТОННЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Последовательность {хп} называется неубывающей
(невозрастающей), если каждый последующий член этой
последовательности не меньше (не больше) предыдущего, т. е. хп+1 хп
(хп+1≤хп ).
• Неубывающие и невозрастающие последовательности вместе монотонные последовательности.
• Если хп+1>хп (хп+1<хп ).для всех п, то последовательность {хп}
называется возрастающей (убывающей).
• Возрастающие и убывающие последовательности - строго
монотонные.
• Невозрастающие последовательности ограничены сверху, а
неубывающие - снизу своими первыми элементами.
32

33.

• 1. Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, ... ,
1/п, 1/п, ... невозрастающая.
• 2. Последовательность 1,1,2,2,...,п,п,...
неубывающая.
• 3. Последовательность 1/2, 2/3, 3/4, ... ,
п/(п + 1), ... возрастающая.
33

34.

ТЕОРЕМА 5. Неубывающая (невозрастающая)
последовательность {хп}, ограниченная сверху (снизу),
сходится.
Замечание 1. Для монотонных последовательностей
ограниченность равносильна сходимости.
Замечание 2. Из сходимости монотонность НЕ СЛЕДУЕТ.
Дополнение к теореме 2 (принципу вложенных отрезков)
Если bп-aп 0, то общая точка отрезков единственная.
34

35.

• ПРИМЕР.
xn 2 2 ... 2
• X1=1, Xn+1=2Xn+1
35

36.

ТЕОРЕМА 6. Последовательность
1
xn 1
n
n
сходится.
К доказательству. Последовательность
1
yn 1
n 1
n
убывающая.
Предел последовательности из теоремы 6
обозначается e.
36

37.

• Подпоследовательность.
• ТЕОРЕМА 7.(Больцано-Вейерштрасса).
Из любой ограниченной
последовательности можно выделить
сходящуюся подпоследовательность.
37

38.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Последовательность {хп}
называется фундаментальной, если для
>0 N n>N p|хn-хn+p|<
ТЕОРЕМА 8. (Критерий Коши)
Последовательность сходится
Iff
она фундаментальная.
38

39.

ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ,
ПРЕДЕЛ
39