Элементы математического анализа

1. Элементы математического анализа

Лекционное занятие
В группах 12ПОэ, 12ЭТТМКн
Преподаватель Усенко Т.И.

2. План

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Последовательность
Понятие функции
Различные способы задания функции
Предел функции
Теоремы о пределах функции
Два замечательных предела
Бесконечно большие и малые функции
Понятие сложной и обратной функции
Понятие неявно заданной функции

3. Последовательность

х1, х2, х3, х4,…, хn,…
{Xn} – символ последовательности
Пример
{2n}: 2, 4, 8, …., 2n,…
Х
0
2
4
8

4. Арифметические действия над числовыми последовательностями

1.
2.
3.
4.
m {Xn} = {mXn}
{Xn} + {Yn} = {Xn + Yn}
{Xn} - {Yn} = {Xn - Yn}
{Xn} · {Yn} = {Xn · Yn}
Xn Xn
5.
Yn Yn

5. Ограниченные и не ограниченные последовательности

Xn ≤ M
(-∞; M]
( X n ≥ m)
( [m; ∞) )
________________________________________________________________________
m ≤ Xn ≤ M
[m; M]
____________________________________________________________________________________
| Xn | > A
Xn > A или Xn > - A
(- ∞; ∞ )

6. Примеры

1) 1, 2, 3,…, n,...
2) -1, -2, -3, …, -n, …
3) 1, ⅟2, ⅓, … , ⅟n, …
4) -1, 2, -3, …, (-1)n·n

7. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

{Xn}
A > 0, N при n > N
{n}: 1, 2, 3, …, n, …
Последовательность
| Xn | > A
__________________________________________________________________________________________
Последовательность {an}
Ɛ > 0, N при n > N
| an | < Ɛ
{⅟n}: 1, ⅟2, ⅓, … , ⅟n, …

8. Свойства

1. Если {Xn} б. б., то
2. Если {an} б. м., то
{⅟Xn} б. м.
{⅟an}
б. б.
3. Если {Xn} +{an} б. м. , то {Xn + an} б. м.
4. Если {Xn} +{an} б. б. , то {Xn + an} б. б.
5. Если {Xn} ·{an} б. м., то {Xn · an} б. м.
6. Если {Xn} огр-ная, {an} б. м., то {Xn · an} б. м.

9. Сходящиеся последовательности

a – предел последовательности {Xn}
Ɛ > 0, N при n > N
| Xn - a | < Ɛ
Xn
a
lim
x
a
n
n

10. Свойства

1. Если {an} б. м. и an = с, то с = 0.
2. Сходящаяся последовательность имеет
только один предел
3. Если {Xn} +{Yn} сх-ся , то {Xn + Yn} an.
lim
Xn lim
Yn
Xn Yn lim
n
n
n
4. Если {Xn} ·{an} сх-ся, то {Xn · an} сх-ся.
lim
X
Y
lim
X
lim
Y
n
n
n
n
n
n
n
5. Если Xn
Yn
сх-ся, то
Xn
Y
n
сх-ся.
Xn
lim
n
Yn
Xn
lim
n
Yn
lim
n

11. Понятие функции

Множество
f : {<x; y>}
X Є X, y Є Y
y = f (x), y = g (x), y = y (x), y = F(x)

12. Свойства

1) f(x) = C
2) y = f(x), xЄ X
f(x) ≤ M (f(x) ≥ m)
3) y = f(x)

13. f(x) = n!