Электротехника. Литература

1.

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
Лектор
Доцент кафедры Электротехника
К.т.н. Поляков Сергей Владимирович

2.

ЛИТЕРАТУРА
•Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Ч. I.
Линейные электрические цепи. М.: Энергия. 1978. 529 с.
•Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники.
Электрические цепи: Учебник. – 10-е изд. – М.: 2002. –638 с.: ил.
•Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. Учеб. для вузов. –
6-е изд. перераб. – М.:Высш. шк., 2000. – 542 с.: ил.
•Нейман Л.Р., Демирчан К.С. Теоретические основы
электротехники, Ч. I, II. – М.: Энергия, 1981.
•Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. – 3-е изд.,
испр. – М.: Высш. шк., 2000 – 575 с.: ил.
•Теоретические основы электротехники / Под ред. П. А. Ионкина. Ч
I, II. – М.: Высш. шк., 1975.

3.

Электрическая цепь, её элементы и параметры
• 1.1. Электрический ток
• Электрический ток - это явление направленного движения свободных
носителей электрического заряда.. направление, обратное
направлению движения электронов, и было выбрано в качестве
положительного направления электрического тока в приемнике, т.е.
от «плюса» к «минусу».
• Численно ток определяется как предел отношения количества
электричества, переносимого заряженными частицами через
поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени t
при .
q
t 0 t
i lim
• (1.2)
• где – сумма положительных и отрицательных зарядов, переносимых в
противоположные стороны через рассматриваемое поперечное
сечение проводника. Ток измеряется в амперах [А].

4.

• 1.2. Напряжение
• Электрический потенциал точки электрического поля – это работа,
совершаемая силами поля при переносе единичного положительного
заряда из данной точки поля в бесконечность. Единица измерения [Вольт]
Напряжение – величина численно равная
работе, совершаемой электрическим полем
A
lim
(1.3) при переносе единичного положительного
q 0 q
заряда из точки а в точку b. Единица измереuab
ния – [Вольт].
Для участка цепи (рис.1.1) напряжение
i
b
а
между точками a и b может быть определено,
как разность потенциалов a и b.
Рис.1.1.
b
U Е dl
a
(1.4)

5.

• 1.3. Мощность и энергия
• При перемещении по участку электрической цепи элементарного
электрического заряда dq под действием напряжения U силами электрического поля совершается работа. Единица измерения – [Джоуль]
d A U dq
• Учитывая, что , d q i d t получим
dA
U i
dt
(1.5)
d A U i dt
• Мощность
• Единица измерения – [Ватт]. Мощность Р
величина алгебраическая и может быть
положительной (при совпадающих по направлению U и i ) или
отрицательной (если направления U и i противоположны). В первом
случае ( P > 0 ) элемент электрической цепи потребляет энергию
(является приемником), во втором ( P < 0 ) – отдает энергию (является
источ ником).
Энергия, поступившая в приемник за время от t1 до t2 , определяется и
измеряется в джоулях [Дж].
t2
P
(1.6)
W
t1
Pdt
(1.7)

6.

1.4. Пассивные и активные элементы электрической цепи
1.4.1. Резистор. Сопротивление электрическое
Резистором называется элемент электричесi
b кой цепи, в котором происходит необратимое
а
преобразование электрической энергии в
u
тепловую.R..iuРис.1.2
Рис.1.2.
.
Условное изображение резистора приведено на рис.1.2.
R
u (1.8) Эта формула определяет закон Ома, установленный в
R
1826г. Величина сопротивления измеряется в омах [Ом].
i
Величину обратную сопротивлению называют прово1
(1.9) димостью. Размерность проводимости – [Симменс]
G
R
Мощность, поступающая на резистор
PR u i R i 2 G u 2
WR
(1.10)
t
t
t
0
0
0
2
2
P
dt
i
R
dt
Gu
R
dt
Электрическая
энергия, поступающая в
резистор R за время t и
превращающаяся в
тепло

7.

• 1.4.2. Индуктивность. Катушка индуктивности
• Индуктивная катушка - элемент электрической цепи, способный
накапливать энергию магнитного поля.
k k (1.12) Потокосцеплением называется сумма магнитных потоков ( k), сцепленных (пронизываюk
щих) с определенным числом витков k.
(1.13) Индуктивность всегда больше нуля и измеряется
L
в генри [Гн].
i
По закону электромагнитной индукции измеd
(1.14) нение потокосцепления пронизывающего витки
eL
катушки индуктивности вызывает появление в
d t
ней электродвижущей силы (ЭДС)
Падением напряжения на катушке индуктивdi
uL e L L (1.15) ности называется величина
dt
Положительное направление uL совпадает по
направлению с положительным направлением i.

8.

• На рис.1.3 приведено условное обозначение элемента индуктивности и положительного направления тока i, падения напряжения
UL и ЭДС самоиндукции eL
L
..i
UL
eL
Рис.1.3.
pL uLi
(1.16)
di
PL L i
dt
• Мгновенная мощность, поступающая в
катушку индуктивности, равна (1.16)
• Мощность связана с процессом изменения
энергии магнитного поля.
• Энергия, накопленная в магнитном поле катушки индуктивности,
начиная с момента времени t=0 при i=0
t
t
W L PL dt L idi
0
0
L i2
2
2
2L
(1.17)

9.

• 1.4.3. Емкость. Конденсатор
• Конденсатор – элемент электрической цепи, способный накапливать
энергию в электрическом поле. Конденсатор характеризуется емкостью.
• Емкость - отношения заряда q к напряжению на
этом элементе. Емкость измеряется в фарадах (Ф),
q
C
(1.18) причем емкость всегда больше нуля.
uC
du C
dq
(1.19) • Ток – производная заряда во времени,
i
C
отсюда
dt
dt
t
1
1
du C idt • проинтегрировав
uC
idt (1.20)
C
C
• или
1t
uс uс 0 i dt
C0
(1.21)

10.

..i
C
Условное обозначение емкости и
положительные направления тока и
напряжения приведены на рис.1.4.
uc
Рис.1.4.
Мощность, поступающая в емкость, равна
Когда заряд положителен и возрасd uс
(1.22) тает, то ток положителен, и в емкость
pс uс i C uс
поступает электрическая энергия
dt
извне. Когда заряд положителен,
но убывает, т.е. ток отрицателен, то энергия, ранее накопленная в
электрическом поле емкости, возвращается во внешнюю цепь. Энергия
электрического поля в произвольный момент времени t (при условии,
что при t=0 емкость не была заряжена) определится
t
uс
Cuс2 q 2
WC Pс d t Cuс d uс
2
2C
0
0

11.

1.4.4. Источник электродвижущей силы (ЭДС)
uЕ
iRвн
+
–
+
+
i
E
Rвн
–
Рис.1.5. Схема замещения реального источника ЭДС
• Идеализированный источник ЭДС – активный элемент
электрической цепи,. напряже-
ние, на зажимах которого не зависит от протекающего сквозь него тока.
Величина работы, затрачиваемой сторонними силами на перемещение
единицы положительного заряда от зажима (–) к зажиму (+), называется
электродвижущей силой (ЭДС) источника и обозначается e(t).
u
• Стрелка источника ЭДС показывает
a
Uхх
направление возрастания потенциала.
Условно положительное направление
б
падения напряжения на источнике ЭДС
будет встречным относительно стрелi
ки. Идеализированный источник ЭДС
Рис.1.6. Внешняя характеристика источ-ника
– источник бесконечной мощности.
ЭДС: идеального (а) и реального (б).
При U = const и неограниченном росте
тока (короткое замыкание) I мощность
Р , так как Р = UI.
Для реального источника ЭДС характерно снижение величины выходного
напряжения с ростом тока

12.

• 1.4.5. Источник тока
ui +
J
–
i
+
Рис.1.7. Идеальный источник тока
iвн
i
u
Gвн
J
Рис.1.8. Схема замещения
реального источника тока
i
б
a
e
Iхх
Рис.1.9. Внешняя характеристика источника тока: идееального (а) и реального (б).
Идеализированный источник тока – активный элемент электрической цепи, ток которого
не зависит от напряжения на его зажимах.
Стрелка источника тока показывает направление
протекания тока. Положительное направление
падения напряжения на источнике тока будет
встречным относительно стрелки (рис.1.7).
Идеализированный источник тока – источник
бесконечной мощности (рис.1.9 кривая а). Для
реального источника ЭДС характерно снижение величины тока с ростом сопротивления во
внешней цепи (рис.1.6 кривая 2б). Это снижение объясняется наличием у источника внутренней проводимости Gвн. Различают источники постоянного тока и источники, ток
которых есть функция времени.

13.

Электрическая цепь и электрическая схема
Электрической цепью называют совокупность устройств и объектов,
образующих пути для протекания электрического тока.
Элемент электрической цепи – отдельное устройство, входящее в
состав электрической цепи и выполняющее в ней определенную
функцию.
Активные элементы электрических цепей – источники
электрической энергии, преобразующие в электрическую энергию другие
виды энергии (механическую, химическую и др.).
Пассивные элементы электрических цепей – элементы
электрической цепи, преобразующие электрическую энергию в другие
виды энергии.
Все элементы электрических цепей разделяют на две группы:
линейные и нелинейные.

14.

Электрической схемой называется графическое изображение
электрической цепи.
Рис. 1.10

15.

Ветвь – совокупность последовательно соединенных элементов электрической цепи, через которые протекает один и тот же ток (рис.1.10).
Рис. 1.11а

16.

Рис. 1.11б
Рис. 1.11в

17.

Рис. 1.11г
Рис. 1.11д

18.

Рис. 1.11е
• Итого, рассматриваемая схема содержит 6 ветвей

19.

• Узел – место соединения трех и более ветвей.
Рис. 1.12
• Итого, рассматриваемая схема содержит 3 узла.

20.

Контур – любой замкнутый путь вдоль ветвей электрической цепи.
.
К
о
н
т
у
р
1
Рис. 1.13а

21.

К
о
н
т
у
р
2
Рис. 1.13б

22.

Конту 3
Рис. 1.13в
Контур 4
Рис. 1.13г

23.

Контур 5
Контур 6
Контур 5
Рис. 1.13д

24.

Контур 7
Контур 8
Рис. 1.13е

25.

Контур 9
Рис. 1.13ж
• Схема содержит 9контуров

26.

Пример 1.1
По схеме рис. 1.11 определить число ветвей, число узлов и число независимых
контуров
b
Э1
Э4
a
Э7
Э6
c
Э5
Э2
Э3
d
Рис. 1.14
• Рассматриваемая схема содержит четыре узла, семь контуров, шесть
ветвей.

27.

Пример 1.2
По схеме рис. 1.11 определить число ветвей, число узлов и число
независимых контуров
R1
.
R2
b
E2
E1
R3
R5
a
R4
c
d
R6
Рис.1.15.
Цепь содержит шесть ветвей, имеет четыре узла - a, b, c, d.количество
контуров - 7

28.

1.6. Законы электрических цепей
1.6.1. Закон Ома
Для пассивного участка электрической цепи
uab
a
+
=
i
a
b
+
=
R
a
i
R
b
uab
б
Рис.1.16
uab i R;
uab a b
i
R
R
(1.24)
Падение напряжения на участке аb электрической цепи - напряжение,
которое необходимо приложить к данному участку электрической цепи с
сопротивлением R, что бы по нему протекал ток i.
Напряжение, приложенное к участку аb электрической цепи. При этом
положительное направление напряжения uab указывается от точки с
большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом

29.

Для участка цепи, содержащего ЭДС
ucb
с
+
=
b
i
R
c
a
+
=
uca
a
i
R
b
a
ucb
б
uab
Рис.1.17
Ток течет в направлении от большего потенциала к меньшему: c > a
(рис.1.17). Источник ЭДС, за счет преобразования других видов энергии,
напротив, поддерживает движение электронов в противоположном
направлении b < а. Следовательно, направление падения
напряжения на источнике ЭДС будет обратным по сравнению с
направлением протекающего по нему тока.
Если участок ас рассматривается как источник ЭДС для внешней
цепи, то направление Uaс будет встречным относительно тока
(рис.1.17а).
Если под напряжением Uaс понимают падение напряжения на
участке ас (приложенное к участку ас напряжение), то его направление и
направление протекающего тока будут совпадать (рис.1.17б).

30.

i
uса Е
R
с b E
R
(1.25)
При определения тока участка цепи можно воспользоваться несложным правилом: в числителе – все что способствует нарастанию тока
(ЭДС, напряжение на концах участка – совпадение их направлений с
направлением тока) берут со знаком ‘+’ , все что препятствует (встречные направления) – со знаком ‘–’; в знаменателе – суммарное
сопротивление ветви:
для рис.1.17а
для рис.1.17б
а с E uca E
i
R
R
c a E uca E
i
R
R
В общем случае для любого участка цепи
uca E c a E
i
R
R
(1.26)

31.

1.6.2. Первый Закон Кирхгофа
R1
i1
i3
R2
i2
i4
R3
R4
Рис.1.18.
Первый закон Кирхгофа основан на том, что в узле электрический
заряд не накапливается и не расходуется.
Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
i 0
(1.27)
Для схемы, представленной на рис.1.18
i1 i2 i3 i4 0
При составлении уравнения согласно первому закону Кирхгофа (1.27)
подходящие к узлу токи берутся с одним знаком (например, положительным), а отходящие – с противоположным ему знаком (например,
отрицательным).

32.

1.6.3. Второй закон Кирхгофа
u4
i2
i1
E2
R1
R5
i3
R3
u2
R2
i4
Направление
обхода
u3
R4
E1
u4
Рис.1.19.
Алгебраическая сумма
падений напряжений на
элементах контура равна
алгебраической сумме ЭДС
включенных в данный
контур.
U E
(1.28)
При составлении уравнения согласно второму закону Кирхгофа для рас-
сматриваемого контура произвольно выбирают направление его обхода.
Правило знаков: Если направление падения напряжения на пассивном
элементе совпадает с направлением обхода контура, то в уравнении
(1.28) оно учитывается со знаком ‘+’, то же и для источников ЭДС.
для схемы (рис. 1.16) уравнение, составленное согласно второму закону
Кирхгофа запишется
или
u1 u2 u3 u4 E1 E 2
i1 R1 i 2 R2 i3 R3 i 4 R4 E1 E 2

33.

34.

2. Линейные электрические цепи
синусоидального тока
2.1. Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи
Рассмотрим основные способы представления синусоидальных величин
u U m sin t U
i I m sin t i
e E m sin t е
e, u, i– мгновенные значения ЭДС,
напряжения и тока;
Im , Um , Em– амплитудные значения
соответствующих величин;
2
2 f
T
кая) частота;
– круговая (цикличес-
1
– частота – физическая величина, определяющая число коле
f
T
баний в единицу времени (Гц);
Т– период– время одного полного колебания (с)
i , u , е– начальные фазовые углы

35.

i u
Um
Im
Т/2
i
/2
Т
t
ωt
u
Рис.2.1.
• Процесс изменения мгновенного значения синусоидальной величины может
рассматриваться либо относительно времени (по оси абсцисс откладывается t),
либо относительно полного фазового угла (по оси абсцисс откладывается t). На
рис.2.1 представлены два синусоидальных сигнала – ток и напряжение.
Начальный фазовый угол тока i – положительны; для синусоиды
напряжения u отрицательный.

36.

• 2.2. Представление синусоидальной величины комплексными
числами.
• 2.2.1. Определение комплексного числа
Комплексным числом Z a , jb
называется упорядоченная пара
действительных чисел а и b где
• a = Re( Z ) – действительная часть комплексного числа Z,
• b = Im( Z ) – мнимая часть комплексного числа Z,
j
– мнимая единица ( j 2 = –1).
Z1 4 j 3
Z2
Z3
действительная часть комплексного числа
мнимая часть комплексного числа
3 j 5 действительная часть комплексного числа
мнимая часть комплексного числа
действительная часть комплексного числа
j2
мнимая часть комплексного числа
Z4 4
действительная часть комплексного числа
мнимая часть комплексного числа
Re( Z1 ) = 4;
Im( Z1 ) = 3.
Re( Z1 ) = -3;
Im( Z1 ) = 5.
Re( Z1 ) = 0;
Im( Z1 ) = -2.
Re( Z1 ) = 4;
Im( Z1 ) = 0.

37.

+j
b
Z
0
+1
Рис. 2.2.
a
Комплексные числа графически
изображаются в виде точки на
комплексной плоскости (рис.2.2) с
координатами: a – на оси
действительных значений, j b – на оси
комплексных значений, либо
радиусом-вектором (далее –
комплексный вектор).
Комплексный радиус-вектор – направленный отрезок прямой, начало
которого совпадает с началом координат, а координатами его конца
являются комплексные числа.
Применяются три формы представления комплексного значения:
алгебраическая форма;
тригонометрическая форма;
показательная форма.

38.

2.2.2. Алгебраическая форма представления комплексного числа
Комплексное число представленное в алгебраической форме имеет вид
, (2.3)
Z a jb
Длина или модуль комплексного вектора определяется по его проекциям
на оси исходя из прямоугольного треугольника (рис.2.2)
Z Z M a 2 b 2 . (2.4)
Аргументом комплексного числа называется угол между
действительной осью и комплексным вектором.
Если > 0, то угол отсчитывается в направлении против движения
часовой стрелки, если < 0, – наоборот.
Аргумент связан с действительной и мнимой частями комплексного
числа соотношением
b
arctg
a
b
arctg a ,
arctg b ,
a
a 0
(2.5)
a 0

39.

Если два комплексных числа отличаются только знаком перед мнимой
частью, то такие комплексные числа называются сопряженными. Для
любого комплексного числа Z а jb существует сопряженное
комплексное число, обозначаемое Z a jb
Для каждого из заданных комплексных чисел найти модуль, аргумент и
сопряженное комплексное число.
Z1 4 j 3
сопряженное комплексное число Z *
1 4 j3
модуль комплексного числа Z 1M
аргумент комплексного числа
Re Z 1 2 Im Z 1 2
4 2 32 5
Im Z 1
3
1 arctg
arctg 36,87
ReZ 1
4
Z 2 3 j 5 сопряженное комплексное число
модуль комплексного числа Z 2 M
3 2 52
Z*2 3 j 5
5 ,83
3
30,96
аргумент комплексного числа 2 arctg
5

40.

*
Z
Z 3 j 2 сопряженное комплексное число
3 j2
2
Z
2
2
модуль комплексного числа
3M
2
90
аргумент комплексного числа 3 arctg
0
Z 4 4 сопряженное комплексное число отсутствует так
как рассматриваемое число действительное
2
Z
4
4
модуль комплексного числа
4M
0
arctg
0
аргумент комплексного числа
4
4

41.

2.2.3. Тригонометрическая форма представления комплексного
числа
Проекции комплексного вектора на действительную и мнимую оси
определяются
а Z M cos ; b Z M sin
(2.6)
Подставив эти значения в (2.3), получим тригонометрическую форму
записи комплексного числа
Z Z M cos j Z M sin
(2.7)
2.2.4. Показательная форма представления комплексного числа
Показательная форма удобна для выполнения операций умножения и
деления над комплексными числами.
j
Используя формулу Эйлера
e
cos j sin
можно комплексного числа, записанные в тригонометрической форме,
,представить в показательной форме
Z Z M cos j sin
(2.8)

42.

Пример 2.3
Задано комплексное число Z 10 3 j10
.Представить данное число в тригонометрической и показательной формах
и. изобразить его на комплексной плоскости.
+j
Решение
10
Z
Z 10 3 j10– алгебраическая форма. Проекция
на ось действительных значений равна
, на ось
10
3
+ мнимых значений – 10 (рис.2.3). Модуль комплекс0
Рис. 2.3.
ного числа – ZM определяется формулой (2.4)
Z M ( 10 3 )2 10 2 20
Аргумент комплексного числа определяется формулой (2.5)
10
1
1 arctg
arctg
30
10 3
3 6
Тригонометрическая форм согласно формуле (2.7)
Z 20 cos j 20 sin
6
6
Показательная форма
Z ZM e
j
20е
j 30o

43.

0
+j
10 3
Z
10
+
Пример 2.4
Задано комплексное число Z 10 3 j10
– алгебраическая форма. Проекция на ось
действительных значений равна 10 3, на ось
мнимых значений равна –10 (рис.2.4).
Рис. 2.4.
Модуль ZM определяется как (рис.2.5)
Z M ( 10 3 )2 10 2 20
Аргумент комплексного числа определяется формулой (2.5)
10
1
1 arctg
arctg
30
6
10 3
3
Тригонометрическая форм согласно формуле (2.7)
Z 20 cos
Показательная форма
Z ZM e
6
j
j 20 sin
20е
j 30o
6

44.

-
+j
0
Пример 2.5
Задано
комплексное
число Z 10 3 j10
Изобразить данное число на
комплексной плоскости и
представить его в тригонометрической и показательной
формах.
+
Z
-10
Рис. 2.4.
Модуль ZM определяется как (рис.2.5)
Z M ( 10 3 )2 10 2 20
Аргумент комплексного числа определяется формулой (2.5)
10
1
1 arctg
arctg
210
6
10 3
3
Тригонометрическая форм согласно формуле (2.7)
Z 20 cos
Показательная форма
Z ZM e
6
j
j 20 sin
20е
j 210o
6

45.

Взаимные преобразования различных форм представления комплексного числа
Формы
в из
Алгебраическую
Тригонометрическую
Алгебраическую
Тригонометрическую
Показательную
Z M a 2 b2
Z a jb
а Z M cos ;
b Z M sin
а Z M cos ;
b Z M sin
Z
Z M cos
j Z M sin
b
arctg
,
a 0
a
arctg b , a 0
a
ZМ
Z M a 2 b2
Показательную
b
arctg
, a 0
a
arctg b , a 0
a
ZМ
Z Z M e j

46.

Пример 2.6
Произвести сложение и вычитание и построить вектор, соответствующий
сумме (разности) следующих комплексных чисел: Z 1 1 j 3 и Z 2 3 j 2
Решение
Сумма двух комплексных чисел Z 1 и Z 2 определяется следующим
образом
Z Z 1 Z 2 1 j 3 3 j 2 1 3 j 3 2 4 j
Графически вектор суммы двух комплексных чисел Z 1 и Z 2 определяется диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых
векторах, как на сторонах (рис. 2.6а).

47.

2.2.5. Основные математические операции над комплексными числами
Сложение (Вычитание)
Заданы два комплексных числа Z 1 и Z 2
Для сложения (вычитания) достаточно сложить (вычесть) соответственно
действительные и мнимые их части. Для этой цели наиболее удобно представлять комплексные числа в алгебраической форме Геометрический
смысл этих операций сводится к сложению (вычитанию) векторов
Z1 и
Z 2 , построенных на комплексной плоскости.
Зададимся двумя комплексными числами : Z1 a jb и Z 2 c jd
Сумма : Z1 Z 2 ( a c ) j ( b d )
Разность : Z1 Z 2 ( a c ) j ( b d )
Сумма сопряженных комплексных чисел – действительное число.
Z1 Z1 a j b a j b a a j b b 2a
(2.9)
Пример 2.6
Произвести сложение и вычитание и построить вектор, соответствующий
сумме (разности) следующих комплексных чисел: Z 1 1 j 3 и Z 2 3 j 2

48.

Сумма двух комплексных чисел Z 1 и Z 2 определяется следующим
образом
Z Z 1 Z 2 1 j 3 3 j 2 1 3 j 3 2 4 j
Графически вектор суммы двух комплексных чисел определяется
диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах
Z 1 и Z 2 , как на сторонах (рис. 2.6а).
+j
+j
–Z2
Z1
Z
Z1
Z
0
0
+1
Z2
Z2
б Z = Z1 – Z2
a Z = Z1 + Z2
Рис. 2.6.
+1

49.

Разность двух комплексных чисел Z 1 и Z 2 определяется как
Z Р Z 1 Z 2 1 j 3 3 j 2 1 3 j 3 2 2 j 5
Графически вектор разности двух комплексных чисел Z Р определяется
диагональю параллелограмма, построенного на векторах Z 1 и Z 2 ,
как на сторонах (рис. 2.6б).
Умножение (Деление)
Для умножения (деления) комплексных чисел наиболее удобно
представлять их в показательной форме.
Чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа нужно
перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) аргументы.
j 2
j 1
Заданы два комплексных числа Z 1 Z1M e и Z 2 Z 2 M e
Произведение этих чисел определится формулой
Z Z1 Z 2 Z1M Z 2 M e j 1 2
(2.10)
Z1 a jb
Если комплексные числа заданы в алгебраической форме
и
Z 2 c ,jd то для выполнения операции умножения возможен либо
переход к показательной форме, либо как умножение двух многочленов
с учетом, что j 2 1

50.

Z Z 1 Z 2 a j b c j d a c j 2b d j b c a d
a c b d j b c a d
(2.11)
Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля
комплексного числа
2
2
2
2
2
Z1 Z1 a jb a jb a b j ab ab a b Z1 (2.12)
Частное от деления Z 1 на Z 2 , если они заданы в показательной форме,
определится формулой
Z
Z1
Z
1M e j 1 2
Z2
Z2M
(2.13)
Если комплексные числитель и знаменатель заданы в алгебраической форме,
то для выполнения операции деления возможен либо переход к
показательной форме, либо формирование в знаменателе действительного
числа (домножение и знаменателя, и числителя на сопряженное знаменателю комплексное число).
Z 1 a j b c j d a c bd j a d bc a c bd
a d bc
j
Z 2 c jd c jd
с2 d 2
с2 d 2
с2 d 2
(2.14)

51.

• Пример 2.7
• Найти произведение и частное двух комплексных чисел: Z 1 j 2 и
Z2 3 2 j3 2
• 1. Произведение и частное двух комплексных чисел Z 1 и Z 2
• проведем согласно формулам (2.11) и (2.14)
Z 1 Z 2 j 2 3 2 j 3 2 6 2 j 6 2 6 2 1 j
Z1
j2
3 2 j3 2 j 6 2 j26 2 6 2 j 6 2
2
2
j
Z и2 3 2 j 3 2 3 2 j 3 2
36
6
6
18 j 218
Z2
2. Представим комплексные числа
иZ 1 в показательной
форме, используя
формулы (2.4) и (2.5) для определения
, модуля и аргумента.
Действительная часть комплексного числа Z 1 j 2 равна 0, а мнимая -( 2).
Находим модуль и аргумент Z 1
0
Z1M 2 , 1 arctg
2
Зная модуль и аргумент, запишем
Z 2 2e
j
2
2

52.

Действительная часть комплексного числа Z 2 3 2 j 3 2 равна 3 2
а мнимая 3 2
Находим модуль и аргумент Z 2
Z1 M
3 2 3 2
2
2
6, 1 arctg
Зная модуль и аргумент, запишем
Z2 6 e
Произведение
Z 1 Z 2 2e
Zи1
j
j
3 2
4
3 2
4
Zопределим
2
согласно формуле (2.10)
2 6e
Частноеот деления
j
Z1и
j
3
j
j
4
2
4 12 e
12 e 4
Z 2определим согласно формуле (2.11)
j
j
2
2
1
4
4
e 2
e
Z1
2e
Z2
j
4
6e
6
3

53.

2.1. Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи
В качестве основного электрического сигнала промышленных и бытовых электросетей выбрана синусоидально
изменяющаяся величина: ток, напряжение, ЭДС. Такой выбор
обоснован тем, что получение и преобразование переменного
тока значительно проще и дешевле, нежели постоянного.
Рассмотрим основные способы представления
синусоидальных величин.
;
;
, (2.1)
e где:
E m sin t е u U m sin t U i I m sin t i
e, u, i– мгновенные значения ЭДС, напряжения и тока;
Im , Um , Em – их амплитудные значения;
ω – круговая (циклическая) частота;
f– частота –величина, определяющая число колебаний в
секунду (Гц);
Т– период – время одного полного колебания (с);
i , u , е– начальные фазовые углы

54.

Анализируя несколько гармонических сигналов, в большинстве
случаев. опускают конкретные значения начальных фазовых углов,
рассматривая лишь их соотношения – фазовые сдвиги.
На рис.2.1 представлены два синусоидальных сигнала – ток и напряжение. Начальные фазовые углы тока i и напряжения u – положительны.
Угол фазового сдвига между этими сигналами можно определить как
= u – i ;
>0
(2.2)
i, u
Um
Im
i
Т/2
Т
/2
u
Рис.2.1.
t
t

55.

•2.3. Представление синусоидальных функций
вращающимися векторами
•Любая синусоидальная величина в электротехнике может
быть представлена вращающимся на комплексной плоскости
вектором. Рассмотрим синусоидальный сигнал а
•a = Am sin ( t + a),
(2.15)
который может быть любым исследуемым электрическим
сигналом (Е, U, I).
•Нетрудно заметить, что мгновенное значение синусоидальной функции а, есть не что иное, как проекция вектора,
вращающегося в комплексной плоскости со скоростью , на
ось мнимых значений.
•Наглядно представление синусоидального сигнала
вращающимся вектором показано на рис. 2.7.

56.

а
a(t)
ao
ao
a(t)
а
t+ а
t
Am
t
а
Рис. 2.7
В электротехнике вектор представляет собой радиус-вектор, вращающийся с частотой . Длина вектора в масштабе равна амплитуде
синусоидального сигнала: ЭДС, напряжения или тока. Угол поворота
вектора за время t можно определить как угол t , отсчитанный
от горизонтальной оси. При этом проекция вращающегося вектора на
мнимую ось равна мгновенному значению этого сигнала.

57.

• Пример 2.8
Заданы два электрических сигнала
e1 E1m sin t 1
e 2 E 2 m sin
t 2
где E1m и E2m – амплитуды;
– круговая частота переменного тока;
1 , 2 – начальные фазовые углы ЭДС.
Определить сумму этих ЭДС.
Решение
Сложим сигналы e1 и e2 как две тригонометрические функции
e e1 e2 E1m sin t 1 E 2 m sin t 2
E1m sin t cos 1 E1m cos t sin 1 E 2 m sin t cos 2
E 2 m cos t sin 2 E1m cos 1 E 2 m cos 2 sin t
E1m sin 1 E 2 m sin 2 cos t
Обозначим постоянные выражения в скобках
E1m cos 1 E 2 m cos 2 E m cos
E1m sin 1 E 2 m sin 2 E m sin
В итоге получим

58.

e Em cos sin t Em sin cos t Em sin t
Таким образом, сумма двух синусоидальных ЭДС представляет
собой также синусоиду той же частоты, амплитуда которой равна
E m E12m E 22m 2 E1m E 2 m cos 2 1
а фазовый
сдвиг
E sin 1 E 2 m sin 2
arctg 1m
E1m cos 1 E 2 m cos 2
+j
Е
Е2
e
e2
2
e1
1
Рис.2.8.
Е1
+1
Теперь рассмотрим процесс суммирования тех
же синусоидальных ЭДС
при представлении их
Вращающимися векторами. Такое изображение
синусоидальных величин
(рис.2.8) называется
векторной диаграммой.
Все операции над векторами проводятся по известным законам
векторной алгебры

59.

2.4. Векторные диаграммы
В установившихся режимах, то есть режимах, при которых амплитуды и
частота синусоидальных сигналов остаются неизменными, соотношени
мгновенных значений токов и напряжений также остаются неизменным
Следовательно, неизменным останется и расположение соответствующи
комплексных векторов.
Поэтому, векторные диаграммы, в большинстве случаев, строятся относ
тельно нулевого момента времени (составляющая t равна нулю), то ест
с учетом только лишь начальных фазовых углов соответствующих
электрических сигналов..
Рассмотрим вектор I , изображающий ток в цепи:
Мнимая часть этого вектора характеризует мгновен- I I e j t i
ное значение тока I I e j
m
зует мгновенное значение тока
t iМнимая
j t
m
часть этого вектора характери-
i
i Im I m e
I m sin t i
Напряжение U изображается вектором
j t u
U Ume

60.

Мгновенное значение напряжения
u Im U m e
j t
U
m
sin t
Для момента времени t = 0,
I m e j i I m
,где I m
- комплексная амплитуда тока (комплексная величина
с модулем Im и начальным фазовым углом i).
Аналогично для вектора напряжения
U m e j U m ,
где U m -комплексная амплитуда напряжения (комплексная
величина с модулем Um и начальным фазовым углом ( i + )),

61.

Пример 2.9
Задано мгновенное значение тока
i 8 sin t 200
. Представить это значение в показательной форме комплексного числа.
Решение
I m I m e j
Показательная форма комплексного числа:
Im
Из условия: амплитудное значение тока
: 8
начальный
фазовый
200
угол
j 20 0
Im 8 e
.Следовательно, показательная форма тока:
Пример 2.10
j 30 0
Дан комплексный токI m 25 e
. Определить мгновенное значение тока и начальный фазовый угол.
Решение
j t
eна
I m
Для перехода к мгновенному значению надо умножить
и взять коэффициент при мнимой части от полученного произведения
j t 30 0
j 30 0
j
0
i Im 25 e
e Im 25 e
25 sin t 30

62.

2.5. Действующие значения ЭДС, напряжения и тока
Действующее значение – среднеквадратичное значение изменяющейся
во времени величины за период, например переменного тока, действие
которого при протекании его через некоторое сопротивление идентично
действию постоянного тока определенного значения.
1T 2
1T 2
1T 2
(2.16)
I
E
U
i dt .
e dt
u dt
T0
T0
T0
Среднее за период T значение мощности, характеризуемое
выделением
тепла в цепи с 1сопротивлением
r, имеет
T
1T 2
1 T выражение
(2.17)
рср р dt i r dt r i 2 dt rI 2
T0
T0
T0
то есть получаем выражение для средней мощности переменного
тока такое же, как для постоянного тока.
Определим связь действующего значения E синусоидальной ЭДС
e Em sin t e с амплитудой Em.
Имеем
1T 2
1 T 1 cos(2 t 2 e )
2
E
dt
E m sin t e dt E m
T0
T0
2

63.

T
так как cos 2 t 2 e dt 0, то E
0
Em
2
(2.18)
Аналогично
E
U
Im
E m
U m
I
(2.19)
2
2
2
Большая часть электроизмерительных приборов определяют
действующие значения энергетических величин.
Пример 2.11
Найти комплекс действующего значения синусоидальной функции време
i 10 2 cos t 30 А.
Решение
Учитывая, что косинус функция четная, выражение перепишем в виде
i 10 2 cos t 30 10 2Sin t 30 10 2Sin t 120 А.
2
Амплитуда синусоидального токаI m 10 2
Отсюда:
I Ie
j i
j120
10e А.
i 1200
начальная фаза

64.

Пример 2.11
Найти комплекс действующего значения синусоидальной функции врем
i 10 2 cos t 30 А.
Решение
Учитывая, что косинус функция четная, выражение перепишем в виде
i 10 2 cos t 30
10 2Sin t 30 10 2Sin t 120 А.
2
Амплитуда синусоидального токаI m 10 2
Отсюда:
I I e j i 10e j120А.
i 1200
начальная фаза

65.

66.

а
i
2.6. Элементы цепи синусоидального тока
2.6.1. Резистор в цепи синусоидального тока
R
b
Пропустим через активное сопротивление
uab
Рис.2.9.
R переменный электрический ток:
i I m sin t i
.По закону Ома для мгновенных значений:
u iR RI m sin t i
или
u U m sin t u
где U m RI m , u = i .
Начальные фазовые углы тока и напряжения одинаковы, то есть
совпадают по фазе (фазовый сдвиг = u – i равен нулю) и могут
быть представлены двумя синусоидами с совпадающими начальными
точками (рис.2.10).
:

67.

Перейдем от синусоидальных величин к комплексным
I I m e j t e j i
U R U m e j t e j u
U
1
R
G
I
R
(2.21)
Так как начальные фазовые углы тока и напряжения одинаковы,
то на комплексной плоскости ток и напряжение представляются
двумя совпадающими по направлению векторами (рис.2.11).
i, u
i
+j
U
u=
i
/
2u
Т
t
t
I
u=
i
Рис.2.11.
Рис.2.10.
+

68.

Мгновенная мощность переменного тока является величиной
периодической, величина ее определяется по формуле:
Um Im
p u i U m I m sin t
1 cos 2 t
(2.22)
2 больше единицы, то
не может быть
2
Так как cos 2 t
мгновен- ная мощность, поступающая в сопротивление всегда
положительна и меняется с удвоенной частотой от 0 до UmIm.
Учитывая выраже-ние (2.22) выражение мгновенной
мощности, можно записать:
P U I 1 cos 2 t
,
(2.23)
где U, I действующие значения напряжения и тока.
Среднее значение мощности за период или просто мощность
.переменного тока:
(2.24)
1T
P u i dt U I
T0
Часто эту мощность называют
активной и измеряют в ваттах.
Энергия, потребляемая от источника питания за время от 0
до t :
t
t
W t p dt UI 1 cos 2 t dt ;
0
0
(2.25)
1
1
W t UI t
sin 2 t
sin 2 .
2
2

69.

Электрическаятока
ёмкость С [Фарад] –
2.6.2. Ёмкость в цепи синусоидального
а
способb ность элемента электрической цепи
накапливать энергию в электрическом
поле
Подключим обкладки конденсатора к
источu U mпеременного
sin t u напряжения: (2.26)
нику
C
i
uab
Рис.2.12.
.
Учитывая (1.18 и 1.19) определим ток, протекающий по соединительным проводам:
i
dq
du
C
CU m cos t
dt
dt
(2.27)
или, преобразуя функцию косинуса в функцию синуса
(2.28)
i CU m sin t u I m sin t i
2
I-m амплитуда, i u – начальный фазовый угол тока
где
.
2
емкостного элемента

70.

Следовательно, напряжение емкостного элемента отстает от тока
на фазовый угол 2 (рис. 2.13).
Амплитудное и действующее значение тока и напряжения связан
между собой соотношением подобным закону Ома.
I m CU m X c U m
(2.29)
1
где X C
– емкостное сопротивление.
C
BC С
Величину обратную емкостному сопротивлению
будем называть емкостной проводимостью.
i
+j
I
u
Т
i
u
/2
= u –
t
t
i
u
+1
U
Рис. 2.14.
Рис. 2.13.

71.

Перейдем от синусоидальных величин к комплексным числам:
U U m e j t e j u
I I m e j t e
j ( u )
2
U m e j t e j i
U m e j t e j u
U
1 j2
1
XC
e
j
I
C
C
j ( u )
j t
2
Im e
e
1
1
BC
j C
1
XC
j
C
Так как начальные фазовый угол тока опережает фазовый угол
напряжения на
, то на комплексной плоскости ток и напряжение
2
представляются перпендикулярными векторами (рис.2.14).
На рис.2.13 представлены временные зависимости напряжения
и тока емкостного элемента. Первая часть периода – напряжение
увеличивается, то есть, конденсатор заряжаетсяdu 0
dt

72.

Направление тока совпадает с направлением внешнего
напряжения.
T
t
При достижении напряжением своей максимальной величины при
4
du
зарядка конденсатора прекращается 0 , ток равен нулю.
dt
du
Вторая часть периода – напряжение начинает уменьшаться
0
dt
конденсатор разряжается из-за избытка зарядов на обкладках,
возникающий ток будет отрицателен. При U = 0 , ток имеет
отрицательный максимум, т.к. изменение заряда в этот момент
происходит наиболее интенсивно. В третью четверть периода
(U<0) происходит заряд конденсатора в противоположном
du
0
направлении
, ток остается того же направления до момента
dt
прекращения зарядки конденсатора
u U mи так далее.

73.

2.6.3. Индуктивность в цепи синусоидального тока
L
а
i
b
uab
Рис.2.15.
Индуктивность [Генри] – способность элемента
электрической цепи накапливать энергию в магнитном поле. Пропустим через индуктивный элемент переменный электрический ток
i I m sin t i
.
(2.31)
Падение напряжения на индуктивном элементе определяется согласно
формул (1.11 1.14):
di
d
u e L
L LI m cos t i
(2.32)
dt
dt
или, преобразуя функцию косинуса в функцию синуса,
(2.33)
u LI m sin t i U m sin t u
2
где
U m – амплитуда,
u i – начальный фазовый угол падения напряжения.
2
Следовательно, напряжение индуктивного элемента опережает ток на
фазовый угол (рис. 2.16).
2

74.

Амплитудное и действующее значения тока и напряжения связаны меж
собой соотношением подобным закону Ома.
2.34)
Um L Im X LIm
где Х L L– индуктивное сопротивление.
1
B
Величину обратную индуктивному сопротивлению L
L
будем называть индуктивной проводимостью.
Перейдем от синусоидальных величин к комплексным числам:
I I m e j t e j i
U U m e j t e
j ( i )
2
j t
XL
I m e j t e j u
j ( i )
2
e
U Um e
I
I m e j t e j i
1
1
1
BL
j
X L j L
L
Um
e
Im
j
2
2.34)
j L

75.

На рис. 2.16 представлены временные зависимости тока и напряжения на
индуктивном элементе.
Так как начальные фазовый угол напряжения опережает фазовый угол
тока на
, то на комплексной плоскости ток и напряжение представляются
2
перпендикулярными векторами (рис.2.17).
i, u
i
+j
u
u i
= u– i
/2
Т
t
t
U
u
i
+1
i
Рис.2.16.
Рис.2.17.

76.

+j
U
+j
R
U
u
I
u=
C
+j
I
i
i
u
+1
+
i
L
+1
U
I
или, приняв i равным 0, получим
R
+j
L
+j
+j
U
I
+
I
C
I
u=-π/2 +1
u= π/2
U
u
+1
U

77.

2.7. Последовательное соединение элементов R, L, C
Рассмотрим схему с последовательным соединением элементов
(рис.2.18а).
U
R1
L
UR
UL
Z
C
UC
I
U
I
а
б
Рис. 2.18. Схема последовательного соединения R, L, C
элементов
электрической цепи (а) и эквивалентная ей схема (б)
Согласно второму закону Кирхгофа, входное напряжение электри
кой цепи может быть представлено суммой падений напряжений
отдельных ее элементах.
U U R U L UC
(2.36)

78.

Так как соединение элементов последовательное, то ток для всех
элементов цепи один. Определим падение напряжения на каждом
из элементов цепи. Согласно формулам (2.21, 2.30, и 2.35) получи
U R R I; U L j L I; U C j
Выражение (2.36) запишется:
1
I
.
C
(2.37)
1
I
C
1
C , получим:
U I R j L I j
Учитывая, что Х L Lи
XC
U I R j I X L j I X C I R j X L X C I Z
(2.38)
где Z R j X L X C – полное комплексное сопротивление участка
электрической цепи (рис.2.18б).
Из (2.38) получим выражение:
I
U
Z
которое определяет закон Ома в комплексной форме.
(2.39)

79.

Построение векторной диаграммы токов и напряжений для участка
электрической цепи с последовательным соединением элементов
(рис.2.19) начинаем с вектора тока I
Начальный фазовый сдвиг вектора токаI при построении диаграммы, может быть принят любым, в данном примере принимаем i = 0.
Вектор падения напряжения на активном сопротивлении UR совпадает
по направлению с вектором тока. Вектор, соответствующий падению
напряжения на индуктивности UL, опережает вектор тока на 900, а вектор
UC – отстает на 900.
Сложив вектора UR, UL и UC, получим вектор U (рис. 2.20).
+j
+j
UL
UL
UR
0
UC
Рис.2.19
i
UC
u
+
UR
Рис.2.20
i
+

80.

В результате построений получается так называемый треугольник напряжений (рис.3.7), из которого, определяется модуль полного напряжения
U U R2 (U L U C ) 2
и величина фазового сдвига между напряжением и током
(2.40)
U U
C
u i arctg L
UR
напряжений
Если каждую сторону треугольника
разделить на
модуль тока, то получим подобный треугольник – треугольник
сопротивлений (рис.2.21).
(2.41)
+j
Z
u
X
UL – UC
UR
i
Рис. 2.21
+1
R
Рис. 2.22
S
P
Рис. 2.23
Q

81.

По величине угла фазового сдвига различают типы нагрузок:
- индуктивная нагрузка; 0 - активно-индуктивная нагрузка
2
2
0 - активная нагрузка;
0 - активно-емкостная нагрузка
- емкостная нагрузка;
2
2
Если каждую сторону треугольника напряжений (рис.2.22) умножить
на модуль тока, то получим подобный треугольник мощностей
(рис.2.23), в котором:
P = I UR
– активная мощность [Вт];
Q = I (UL – UC) – реактивная мощность [ВАР] (вольт-ампер реактивный);
S=IU
– полная мощность [ВА] (вольт-ампер).
В большинстве случаев при нахождении тока удобнее пользовать
показательной формой представления полного комплексного
сопротивления
U
Z
I
где Z R 2 ( X L X C ) 2
U j ( u i )
e
I
Z e j ,
(2.42)
–полное сопротивление;
X L XC
– фазовый сдвиг между напряжением и током.
arctg
R

82.

Отличительной особенностью цепей содержащих индуктивные и емкостные
элементы является их взаимное преобразование энергии: энергии магнитного
поля индуктивного элемента в энергию электрического поля емкостного
элемента и наоборот. Следовательно, возможны такие режимы работы электрической цепи, при ко- торых индуктивные и емкостные элементы “будут работать друг на друга”, иными словами, взаимное преобразования энергий полей
будет полным. Такие режимы работы электрической цепи получили названия
резонансных режимов.
При резонансе напряжений модуль
+j
,
UL
UC
.
i
U = UR
Рис. 2.24
+
входного напряжения будет определяться лишь активной составляющей, а фаз
вый сдвиг между током и напряжением
будет равен нулю. При этом величина
тока, ограниченного лишь активной составляющей сопротивления, будет макс
мальной:
Z min R 2 ( X L X C ) 2 R
U U
I max
Z R

83.

Явление резонанса в электрической цепи, содержащей последователь
соединение элементов R, L, C, может быть достигнуто изменением инд
тивности или емкости реактивных элементов, или изменением частоты
питающего напряжения. На рис.2.25 представлены зависимости сопро
лений реактивных элементов от изменения частоты.
XL = L
X,
Ом
XL – XC
рез
, рад/с
XC =
1
ωC
Рис. 2.25. Зависимость реактивных
сопротивлений от частоты

84.

При нулевой частоте питающей сети сопротивление емкостного элемента
1 бесконечно
ХС
С
сопротивле-
велико,
а
реактивная
L
составляющая
ния индуктивного элемента
, напротив, равна нулю. Фазовый сдвиг
между напряжением и током и модуль полного сопротивления, будут
определяться только емкостным сопротивлением (рис.2.25, 2.26, 2.27).
По мере увеличения частоты емкостное сопротивление будет снижаться
нуля, а сопротивление индуктивного элемента – увеличиваться. Вследст
чего будет изменяться характер нагрузки от активно емкостного до актив
-индуктивного, в предельных режимах активная составляющая несущест
на относительно сопротивления реактивного элемента. Частотные харак
ристики падений напряжений на последовательно соединенных элемент
электрической цепи и характеристика тока в цепи
I представлены на
рис.2.28
U
I
2
1
R2 L
C
где U = const, R = const, L = const, C = const .

85.

Z,
Ом
Z
R
, рад/с
I, U
UC
I
UL
рез
XL – XC
Uсет
UR
и
Рис. 2.26. Зависимость модуля полного
сопротивления от частоты
,
рад
, рад/с
рез
Рис. 2.27. Зависимость фазы от частоты
рез
, рад/с
Рис. 2.28. Зависимость падений
напряжений на элементах цепи и
протекающего по ним тока от
частоты

86.

При 0
ток
поскольку сопротивление конденсатора
I 0
I 0
бесконечно велико, следовательно,
, так
. При ток
UC U
как бесконечно возрастает сопротивление индуктивного элемента
xL L
следовательно, U L U
При резонансе реактивные составляющие напряжения взаимно скомпенси
рованы U L U С , следовательно, ток в цепи будет определяться лишь током,
который протекает по активному сопротивлению под действием приложенного
к нему напряжения сети
UR U
I
R
R

87.

2.8. Параллельное соединение элементов R, L, C
IR
R
u
IС
IL
L
i
С
u
Y
i
а
б
Рис. 2.29. Схема параллельного соединения элементов
R, L, C (а) и эквивалентная ей схема (б)
Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для схемы (рис.3.29а):
(2.42)
I IR IL IC
Так как соединение элементов параллельное, то напряжение
для всех
.
элементов цепи одно и то же. Определим токи в каждом из элементов
цепи. Согласно формулам (2.21, 2.30, и 2.35) получим:
1
I R G U; I C j C U; I L j
U
(2.43)
L
Выражение (2.43) запишется:
1
I U G j C U j
U
L

88.

1
Учитывая, что
, получим:
L
I UG jU BC jU BL U G j BC BL U Y
BC Cи
BL
(2.44)
где Y G j BC BL – полная комплексная проводимость участка
электрической цепи содержащего параллельное соединение элементов
R, L, C (рис.2.29б).
Из (2.44) получим выражение:
(2.45)
I U Y
которое определяет закон Ома в комплексной форме.
+j
+j
IC
IC
IL
I
IR
0
U
IR
IL
Рис. 2.30
Рис. 2.31
U
+1

89.

Построение векторной диаграммы токов и напряжений для участка электрической цепи с параллельным соединением элементов начинаем с вектора –
Напряжения U (рис.2.30). Начальный фазовый сдвиг вектора напряжения
U
при построении диаграммы, может быть принят любым, в данном пример
принимаем U = 0. Вектор тока активного сопротивления IR совпадает по
направлению с вектором падения напряжения. Вектор, соответствующий
U
току емкости IC, опережает вектор напряжения
на 900, а вектор тока
Uна 900. Сложив вектора
индуктивности IL – отстает вектора напряжения
IG, IL и IC получим вектор I (рис. 2.31). В результате построений получается треугольник токов (рис.2.33), исходя из которого, определяется
индуктивности IL – отстает вектора напряжения
I
I R2 (I C I L )2
и угол фазового сдвига между напряжением и током
I IL
i u u i arctg C
IR
(2.46)
(2.47)
Если каждую сторону треугольника токов (рис.2.32) разделить на модуль
входного напряжения, то получим подобный треугольник – треугольник
проводимостей (рис.2.33).

90.

+j
IR
–
I
U
+1
IC – IL
G
BC – BL
Y
Рис. 2.33
Рис. 2.32
В большинстве случаев при решении задач удобнее пользоваться показа
ной формой представления полной комплексной проводимости:
I
I j ( i u )
(2.48)
Y
e
Y e j
U
U
где Y G 2 ( BC BL ) 2– абсолютное значение полной проводимости;
arctg
B L BC
– угол сдвиг между синусоидами напряжения
G
и тока.

91.

В цепи с параллельным соединением индуктивности и емкости при равен
их реактивных проводимостей имеет место резонанс токов (рис.2.34) –
явление равенства реактивных составляющих тока общей ветви. При рез
нансе токов модуль тока общей ветви будет определяться лишь активной
составляющей, а фазовый сдвиг между напряжением и током будет равен
нулю. При этом его величина, будет минимальной, так как полная проводи
мость участка электрической цепи будет минимальной:
Y G 2 ( BC BL ) 2 G min
I U Y U G min
IC
IL
.
I = IR
Рис. 2.34
U
+1

92.

Явление резонанса в электрической цепи, содержащей параллельное соединение элементов R, L, C, может быть достигнуто, так же как и при последовательном их соединении, изменением L, С или изменением частоты питающего напряжения. На рис.2.35 представлены зависимости модулей проводимостей реактивных элементов от изменения частоты.
B
Cм
рез
, рад/с
Рис. 2.35. Зависимость модулей
реактивных проводимостей от частоты

93.

При нулевой частоте питающей сети проводимость емкостного элемента
равна нулю, а реактивная составляющая проводимости
В
С
C
индуктив1
В
ного элемента L L
бесконечно велика. Фазовый сдвиг между напря-
жением и током и модуль полной проводимости будут определяться лишь
индуктивным элементом (2.36).
,
рад/с
рез
, рад/с
Рис. 2.36. Зависимость фазы от частоты
для участка с параллельным
соединением реактивных элементов

94.

По мере увеличения частоты емкостная проводимость будет увеличиваться,
а проводимость индуктивного элемента снижаться вплоть до нуля, тем
самым изменяется характер нагрузки от активно-индуктивного до активноемкостного. В предельных режимах активная составляющая несущественна
относительно проводимости реактивного элемента, однако, в режиме резонанса именно активная составляющая проводимости будет способствовать
протеканию тока. На рис.2.37 представлены зависимости токов ветвей от
частоты питающей сети.
I
IC
IL
I
IR
рез
, рад/с
Рис. 2.37. Зависимости токов от
частоты

95.

2.9.1. Мгновенная мощность, полная мощность
Мгновенная мощность – мощность участка электрической цепи, определяемая произведением мгновенных значений протекающего по нему тока i и
приложенного к нему напряжения u:
s = u i [ВольтАмпер].
(2.49)
Пусть ток опережает напряжения по фазе на угол :
u U m sin t
i I m sin t
Тогда мгновенная мощность переменного тока :
Um Im T
s ui
2 Sin t Sin t dt
2T 0
Um Im T
Cos Cos 2 t dt
2T 0
2U 2 I
cos UI cos(2 t )
2
где I, U – действующие значения тока и напряжения.
(2.50)

96.

В данной формуле (2.34) первое слагаемое является постоянным для данной
цепи и не зависит от времени. Это слагаемое принято называть активной составляющей (активной мощностью).
Второе слагаемое характеризует обмен энергиями между источником и потребителем. Такой процесс возможен лишь при наличии реактивных элементов в
цепи, способных накапливать энергию в виде полей и отдавать ее обратно в
цепь. Поэтому второе слагаемое принято называть реактивной составляющей
мощности (реактивной мощностью).
Полная мощность:
S = P +j(QL – QC)
(2.51)

97.

2.9.2. Активная мощность
При наличии в цепи только активной нагрузки (угол разности фаз межд
током и напряжением = 00) выражение (2.50) примет вид :
P UI cos 0 UI cos(2 t 0) UI cos(2 t ) [Ватт] .
(2.52)
Получаем пульсирующую с двойной частотой мощность (рис. 2.38).
i u
р
Т
t
/2
3 /2 t
u
,
i (2.54)
Рис.2.38.
На практике чаще используется среднее за период значение активной составляющей мощности:
1T
1T
(2.53)
Pср р dt UI cos UI cos(2 t ) dt UI cos
Т0
Т0
P UI cos I 2 R U 2G
Мощность активного сопротивления:
Активная мощность электрической цепи всегда положительна

98.

2.9.3. Реактивная мощность
При наличии в цепи только реактивной нагрузки (угол разности фаз межд
током и напряжением = 900) выражение (2.50) примет вид:
Q UI cos900 UI cos(2 t 900 ) UI sin(2 t ) [ВАР].
(2.55)
Получаем синусоидально изменяющуюся мощность, частота которой вдв
больше частоты тока и напряжения (рис. 2.39).
i u
р
i
u
Т
t
t
Рис.2.39.
Q = U I sin .
(2.56)

99.

Реактивная мощность индуктивного элемента:
QL UI sin( ) I 2 Х L U 2 ВL
где
(2.57)
Х L L – индуктивное сопротивление;
1
ВL
– индуктивная проводимость
L
Реактивная мощность емкостного элемента:
QC UI sin( ) I 2 Х C U 2 ВC
1
– емкостное сопротивление;
C
1
Вc
C– емкостная проводимость.
xс
где Х с
(2.58)

100.

2.9.4. Коэффициент мощности
Составляющие мощностей могут быть сведены к треугольнику мощностей
(рис.2.40). Важное практическое значение имеет сos – коэффициент мощности, определяющий долю активной энергии, идущей на выполнение полезной работы (получение тепловой, механической и других энергий) к полной
мощности, потребляемой из сети:
S = UI
Q = UI sin
P = UI cos
Рис. 2.40.
P
cos
S .
(2.59)
Чем выше коэффициент мощности того или
иного электротехнического устройства, тем
экономичнее его работа.

101.

102.

Методы расчета линейных электрических цепей
Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Идея метода: преобразовать (свернуть) исходную схему в более простую, для которой несложно
определить величину входного тока. Токи ветвей исходной схемы определяются при обратном
преобразовании (развертке) упрощенной схемы.
Принцип эквивалентности
Два участка электрической цепи являются эквивалентными, если при одном и том же
приложенном к его концам напряжении по участку протекает один и тот же ток
a
uca uab
ia
uca
a
uab
b
ubc
А1
ic с
b
ib
ib
ia
А2
ic
с
ubc
а
б
Эквивалентные участки электрической цепи электрической цепи А1 (а) и А2 (б)

103.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Последовательное соединение пассивных элементов
Особенность последовательного соединения элементов: ток, протекающий по последовательно
соединенным элементам один и тот же.
R1 R 2
Rn
RЭ
U
I
а
U
I
б
Схема последовательного соединения
резистивных элементов
электрической цепи (а) и
эквивалентная ей схема (б)
Согласно второму закону Кирхгофа для схемы а входное напряжение исходной схемы равно сумме
падений напряжений на элементах
U R1 I R2 I Rn.I R1 R2 Rn I
Для схемы б :
U Rэ I
Исходя из сопоставления этих формул, эквивалентное сопротивление последовательно
соединенных элементов:
n
RЭ R1 R2 Rn
Rk
k 1
Эквивалентное сопротивление последовательного соединения равно сумме сопротивлений
последовательно соединенных резистивных элементов.

104.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Параллельное соединение пассивных участков электрической цепи
Особенность параллельного соединения
соединенных элементов одно и тот же.
I
U
элементов:
G2
Gn
U
на
зажимах
G
GЭ
G1
напряжение
параллельно
1
[См]
R
Схема параллельного соединения
резистивных элементов
электрической цепи (а) и
эквивалентная ей схема (б)
I
б
а
Согласно первому закону Кирхгофа:
I I1 I 2 I n
По закону Ома токи ветвей, могут быть представлены как:
где Gn – проводимость n-ой ветви.
I1 G1 U; I 2 G2 U ; I n Gn U
Подставив полученные выражения в уравнение для токов и выполнив элементарные
преобразования, получим:
I G1U G2U GnU G1 G2 Gn U
Таким образом, эквивалентная проводимость участка электрической цепи, содержащего
параллельное соединение элементов, определяется суммой проводимостей каждого элемента в
n
отдельности.
GЭ Gk
k 1

105.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Взаимные преобразования схем соединения «Звезда» и «Треугольник»
а
U ca
U ca
I ca
R ca R ab
Ic
С
а
Ia
U ab
Ib
U bc
Ra
Ua
Uc
I bc R bc Iab
В
U ab
Rb
Ib
U bc
С
а
Ub
Rc
Ic
Соединение резистивных
элементов по схеме
"треугольник" (а) и
эквивалентная ей схема
соединения "звезда" (б)
Ia
В
б
Рассмотрим преобразование “треугольника” в “звезду”.
Для “треугольника” запишем уравнение баланса напряжений (второй закон Кирхгофа):
U ab U bc U ca I ab Rab I bc Rbc I ca Rca 0
Исключим из этого уравнения токи Ibс и Iса , выразив их через ток Iab и входные токи (первый
закон Кирхгофа):
I R I I R I I R 0
ab
ab
U ab I ab Rab
U ab U a U b
ab
b
bc
Rca Rab
Ia
Rab Rbc Rca
Ra I a
ab
a
ca
Rbc Rab
Ib
Rab Rbc Rca
Rb I b

106.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Взаимные преобразования схем соединения «Звезда» и «Треугольник»
а
U ca
I ca
R ca R ab
Ic
С
а
Ia
U ca
U ab
Ib
В
а
Ra
Ra
Ua
Uc
I bc R bc Iab
U bc
Ia
Rca Rab
Rab Rbc Rca
Ic
С
Gab
Ub
Rc
Rb
U bc
б
Ga Gb
Ga Gb Gc
Rbc Rab
Rb
Rab Rbc Rca
Gb Gc
Gbc
Ga Gb Gc
Rbc Rca
Rс
Rab Rbc Rca
Gc Ga
Gca
Ga Gb Gc
U ab
Ib
В

107.

R5 R1
Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Rс Пример
R1 R2 3.2.
R3
В схеме (рис.3.11) при известных значениях сопротивлений и входного
напряжения определить ток нагрузки.
Решение.
Rн
Iн а
Для упрощения подобных “мостовых” схем
используется эквивалентное преобразование
Ra
R2
R1
треугольника сопротивлений (например,
R1, R2, R5) в “звезду”. Пунктиром впишем
R5
в треугольник аbc звезду (рис.3.11) и опреR
R
c
b
с
b делим сопротивления ее лучей для эквивалентной замены.
R4
R3 Согласно уравнениям (3.9, 3.10) сопротивления луча построенной “звезды”, исходящего из вершины “треугольника”, равна
d
отношению произведения сопротивлений
Рис.3.11
примыкающих сторон “треугольника” к
умме сопротивлений всех его сторон.
Ra
R2 R5
R5 R1
R1 R2
,R
,R
.
b
с
R1 R2 R3
R1 R2 R3
R1 R2 R3

108.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Rн
Iн
Rн
а
Iн
Ra
Rc
Ra
Rb
с
Uc
b
R4
а
Rb
+
R3
Rc
+
R4
R3
d
d
Рис.3.13
Рис.3.12
В преобразованной схеме (рис.3.12) сопротивления попарно Rc , R4 и Rb , R3
соединены последовательно. Образованные этими сопротивлениями ветви соеди
нены параллельно (рис.3.13). Ток нагрузки является входным током и может
быть определен как
U
Iн
Rc R4 Rb R3
Rн Ra
Rc R4 Rb R3

109.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Другим возможным вариантом решения подобной задачи является преобразование исходной схемы эквивалентной заменой одной из звёздочек (R1R4R5 или
R2R3R5) (рис.3.14) в схему соединения треугольником (рис.3.15).
Rн
Iн
Rн
а
R5
с
а
R ab
R1
R2
R1
Iн
R ab
b
с
R bd
R dc
R4
R3
R4
R bd
d
d
Рис.3.14
b
R dc
Рис.3.15

110.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Пример 3.1.
При заданных параметрах электрической цепи: значениях индуктивностей,
ёмкостей и активных сопротивлений, а так же параметрах питающей сети:
напряжении и частоте, определить токи в ветвях электрической цепи.
L2
R1
С1
u
С2
L1
R2
;
Рис. 3.4. Схема электрической цепи
Представим последовательные соединения сопротивлений в ветвях схемы их
полными комплексными сопротивлениями
(рис.3.4)
;
Z 1 R1 R1e j 0
1 1 j 2
e
Z 2 j
C1 C1
1
Z 4 R2 j L2
C
2
R22
1
L2
C
2
Z 3 j L1 L1 e
2
e
X
j arctg 2
R2
j
2

111.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Z1
I1
I2
Z2
u
I3
I4
Z4
Z3
Рис. 3.5. Схема электрической цепи
В полученной схеме (рис.3.4) параллельно соединенные сопротивления
Z2 и Z4 заменим их эквивалентом:
Z2Z4
Zэ
Z2 Z4
Для полученной схемы (рис.3.5), содержащей последовательно соединенные
сопротивления Z1, ZЭ и Z3, определим входной ток:
U
I1
Z1 Z э Z 3
определить напряжение U ab, под
Для определения токов I 2 и I 4 необходимо
.
действием которого они протекают.
U ab I 1 Z э

112.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Z1
a
I1
I4
ZЭ
u ab
u
I3
Z3
b
Рис. 3.6. Эквивалентная схема электрической цепи
Тогда токи второй и четвёртой ветвей определяются как:
U ab
I2
Z2
I4
U ab
Z4

113.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Взаимное эквивалентное преобразование схем последовательного и параллельного соединения элементов в цепях синусоидального тока
Часто при решении задач удобно вместо последовательного соединения активного и реактивного элементов рассматривать эквивалентное ему параллельное
соединение и наоборот (рис.3.7).
R1
L
C
UR
u
UL
IR
UC
i
R
u
IС
IL
L
С
i
а
б
Рис. 3.7. Схема участка электрической цепи с последовательным
(а) соединением элементов и эквивалентная ей схема с
параллельным (б) соединением элементов
Рассмотрим эквивалентный переход от схемы с последовательным соединением элементов R, L, C к схеме с их параллельным
соединением. Комплексное сопротивление исходной схемы
(рис.3.7а):

114.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Z R jX
Эквивалентная ей проводимость:
1
1
R jX
R
X
Y
j 2
(3.4)
Z R jX R jX R jX R 2 X 2
R X2
Комплексная проводимость и сопротивление эквивалентной схемы (рис.3.7б):
Y G ,jX
(3.5)
G jВ
В
1
1
G
Z эк
j 2
.
(3.6)
2
Y G jВ G jВ G эк jВ G 2 В 2
G В
Формулы перехода от последовательного соединения к параллельному (3.7) и
обратно (3.8) получаются из сопоставления выражений для сопротивлений (3.3)
и (3.6) и проводимостей (3.5) и (3.6)
G эк
R
R
R X
2
G эк
2
G эк
2
В эк
2
Bэк
X
X
R2 X 2
В эк
2
G эк
2
В эк
(3.7)
(3.8)

115.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
3.1.2. Взаимные преобразования источника ЭДС и источника тока
Определим формулы перехода от последовательной схемы замещения к парал. –
лельной, в общем случае:
i
i
J
iвн
Zвн
E
u
Zн
Zвн
u
Zн
Рис.3.20. Последовательная схема
Рис.3.19. Параллельная схема
замещения реального источника
замещения реального источника
E
1
Y вн
J
;
(3.15)
Z вн
Z вн
и от параллельной к последовательной:
J
E
Y вн
Z вн
1
Y вн
(3.16)

116.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Перенос источников ЭДС и источников тока
Идеализация источников электрической энергии, в некоторых случаях может
привести к появлению, так называемых, вырожденных источников. Таковыми
являются идеальные источники ЭДС, включенные в состав ветви, не содержащей пассивных элементов (рис.3.21а), и идеальные источники тока, параллельно которым не включены ветви, проводимость которых можно было бы
рассматривать как внутреннюю проводимость источника (рис.3.21б).
Вырожденные источники ЭДС и тока не могут быть взаимно преобразованы.
При этом схема, содержащая такие источники, является некорректной.
Устранение вырожденных источников возможно при их переносе.
J
Z1
а
а
iа i1
b
E
Z2
b
с
Z1
iс
Z2
i2
iа
б
a
Рис.3.22. Примеры схем, содержащих вырожденный источник
ЭДС (а) и вырожденный источник тока (б)

117.

Метод эквивалентного преобразования электрической цепи
Источник ЭДС на участке аb может быть перенесен в ветви 1 и 2 (рис.3.22а).
В результате один из узлов (а или b) будет устранен (рис.3.23б).
Z1
E
J
J
b
а
E
Z2
Рис.3.23. Перенос
вырожденного источника ЭДС
iа
i1
Z1
с
i2
b
Z2
iа
iс
Рис.3.24. Перенос вырожденного
источника тока
Вырожденный источник тока, включенный между узлами а и b (рис.3.22б),
может быть заменен двумя источниками тока, включенными между узлами
а и с и узлами с и d (рис.3.24).

118.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Идея метода: Токи ветвей исходной схемы определяются при решении
системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.
I1 а
I4
Общее число таких уравнений
должно соответствовать числу
R1
R4
R2
неизвестных токов, то есть числу
I5
Jветвей, не содер жащих источника
I
III
I2,3 II R5
тока.
E
Данная система уравнений будет иметь
однозначное решение в том случае, если
R3
уравнения системы будут независимыми.
b
Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа
составляются уравнения для всех кроме одного узлов схемы.
для узла а: I 1 I 2 , 3 I 4 0
для узла с: I 4 I 5 J 0
Выбранная система контуров будет независимой, если возможно перенумеровать контуры так, что бы каждый последующий контур содержал новую, не
вошедшую в состав предыдущих контуров, ветвь.

119.

метод интуитивного выбора
а
I1
R1
Для определения независимых контуров,
достаточных для расчета параметров электрической цепи, следует выбрать один из
ее контуров. Далее, последовательно размыкая одну из ветвей во вновь образованном контуре, в оставшейся части схемы
выбирают новый контур и так далее до тех
пор, пока в схеме не останется ни одного
контура.
I4
R4
R2
I5
J
I
R5
I2,3
E
R3
b
а
R1
I4
R1
R4
R2
а
I1
I4
R4
R2
I5
I5
J
I
I2,3
II
R3
R5
J
I
E
I2,3 II
R3
b
b
R5

120.

•метод формализованного выбора
•
Для выбора независимых контуров согласно данному методу по исходной схеме строится вспомогательная схема – граф электрической цепи, вершины которого, являющиеся узлами исходной
схемы, соединены ветвями – линиями, соответствующими ветвям схемы, но не содержащими элементов. Далее строится дерево графа – вспомогательная схема, содержащая все узлы графа, соединенные между собой ветвями, но не содержащая контуров, то есть между любой парой вершин
существует лишь единственный путь. Независимые контуры получаются добавлением к дереву
графа оставшихся ветвей.
a
a
с
с
4
4
для контура I
II
I
2
5 III
1
II
I
2
6
5
1
b
для контура II
b
Выбор независимых контуров
1
1
0
0
R1 R2 R3
0 R2 R3
I 1 R1 I 2, 3 R2 R3 E
1
1
0
R4
I 2, 3 R2 R3 I 4 R4 I 5 R5 0
0
I1
0
1
I 2 ,3
J
0
I4
E
R5
I5
0

121.

Метод контурных токов
Идея метода: Предполагается, что в каждом независимом контуре протекает свой
независимый контурный ток. Токи ветвей являются геометрическими суммами протекающих
по ним контурных токов.
I1
Z1
a I4
I11
I2
E1
c
Z5
I6
I7
E2
8
Z1
J
e
Z7
Исходная схема
электрической цепи
E1
I44
Z6
b
EЭ = J Z3
I11
Z3
Z4
Z2
I22
d
I33
а I4
I1
I3
Z4
Z2
I5
b
Z5
c
I22
I6
Z6
Z3
d
I33
I7
I2
E2
I3
e
Z7
Схема электрической цепи с
эквивалентным источником ЭДС
Можно перейти к эквивалентной схеме, заменив источник тока источником ЭДС. В качестве
внутренних сопротивлений и проводимостей используется пассивный элемент цепи (R3)

122.

I1
Z1
а I34
Z4
b
Z2
I11
Z3
I6
I7
E2
3, 4
2
I
II
Z6
d
I33
1
I22
Z5
c
а
EЭ = J Z3
I2
E1
Метод контурных токов
e
d
5
c
6
e
III
7
Z7
Выбор независимых контуров
Схема электрической цепи с
эквивалентным источником ЭДС
для контура I :
для контура II:
I 11 Z 1 Z 2 Z 5 I 22 Z 2 I 33 Z 5 E 1
I 22 Z 2 Z 4 Z 3 Z 6 I 11 Z 2 I 33 Z 6 I 44 Z 3
Еэ
для контура III:
I 33 Z 5 Z 6 Z 7 I 11 Z 5 I 22 Z 6 E 2
По вычисленным значениям контурных токов определяются токи ветвей:
I 1 I 11
I 2 I 22 I 11
I 34 I 22
I 5 I 11 I 33
I 6 I 22 I 33
I 7 I 33

123.

Метод узловых потенциалов
Идея метода: определить потенциалы узлов схемы, зная которые можно по закону Ома вычислить
ток любой ветви электрической цепи.
a I
2
b
I4,5
Z2
Z1
J
Z3
I1
I6 Z6
с
Z4
I3
E
Z5
J I1 I 2 0
для узла b:
I 2 I 4,5 I 3 0
для узла с:
I 6 J I1 0
Представим токи ветвей через потенциалы их узлов
согласно закону Ома:
d = 0
для узла а:
J
для узла b:
a b
Z2
для узла с:
для узла а:
с а
Z1
с
Z6
b E
Z4 Z5
J
a b
Z2
b
Z3
c a
Z1
0
0
0

124.

Метод узловых потенциалов
a I
2
РЕШЕНИЕ
b
Z2
Z1
J
для узла а:
для узла b:
1
1
1
с
а
Z1
Z1 Z 2
b
1
1
1
b
Z
Z
Z
Z
4
5
3
2
1
Z2
a
Z2
1
1
1
a
с
Z1
Z 6 Z1
для узла с:
I4,5
J
Z4
Z3
I3
I1
I6 Z6
с
Z5
d = 0
E
Z4 Z5
J
По вычисленным значениям узловых потенциалов определяются токи ветвей:
I1
I2
с а
Z1
a b
Z2
I3
I 4,5
b
Z3
b E
Z4 Z5
I6
с
Z6
E

125.

Метод двух узлов (частный случай метода узловых потенциалов)
Идея метода: в схеме содержащей два узла соединение ветвей параллельное, следовательно, для
вычисления тока в каждой ветви достаточно знать определить узловое напряжение.
а
I1
I2,3
Z1
Z2
I4
Z4
Z3
E
Uab
J
U ab
b
I 2, 3
Z2 Z3
n
k 1
k 1
Ek Y k J k
p
Y k
k 1
U
I 1 ab
Z1
U ab
m
I4
U ab E
Z4

126.

Метод наложения (метод суперпозиций)
Идея метода: предполагают, что каждый источник создает свою составляющую тока в каждой
ветви, при этом полный ток ветви определяется геометрической суммой его составляющих от
каждого источника.
а
I1
I2
Z2
Z1
I3
J
I5
Z5
I4
с
Z3
E
Z4
b
а
а
I1 /
I2 /
Uba/
Z1
Z2
I3 /
Ubc
Z3
с
/
I5 /
Z5
I4 /
I1 /
I2 /
Uba/
Z1
Z2,3,4
E
I5 /
Z5
E
Z4
b
а
b
б
Первая вспомогательная схема с исключенным источником тока (а) и эквивалентная ей схема (б)

127.

Метод наложения (метод суперпозиций)
а
I1//
J
а
I2//
Uba//
I5//
Z2
Z1
I3//
Z5
с
Ucb//
Z3
I1//
I2//
Uba// J
Z1
Z2,3,4
I5//
Z5
I4//
Z4
b
а
b
б
Вспомогательная схема с исключенным источником ЭДС (а) и эквивалентная ей схема (б)

128.

Метод наложения (метод суперпозиций)
а
I1
I2
Z2
Z1
I3
J
I5
Z5
I4
с
Z3
=>
E
Z4
b
а
а
I1 /
I2 /
Uba/
Z2
Z1
I3
J
Z5
с
/
I1//
I5 /
I4
Ubc/
/
E
Z3
I2//
Uba//
Z2
Z1
I3//
+
Z5
с
Ucb//
Z3
Z4
I5//
I4//
Z4
b
b
а
а
Токи ветвей определяются суммой составляющих токов от каждого из источников :
I1 I1 I1
//
/
I2 I2 I2
/
//
I3 I3 I3
/
//
I4 I4 I4
/
//
I5 I5 I5
/
//

129.

Метод эквивалентного генератора (эквивалентного источника)
Идея метода: по отношению к любой ветви оставшаяся часть схемы (двухполюсник) может быть
представлена эквивалентным генератором (источником), ЭДС которого равна напряжению
холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление определяется входным
сопротивлением пассивного двухполюсника
а
а
I
Z
Uab
А
Z
А
E1
Uab
а
Z
Z
П
А
E2
E1
E2= E1
b
I //
I/
I
Uab
а
а
b
b
b
б
в
Обоснование метода эквивалентного источника
г
Полученная схема (б), согласно методу наложения (суперпозиций), может быть представлена
двумя вспомогательными схемами (в, г), одна из которых будет представлена активным
двухполюсником, содержащим все источники исходной схемы, и рассматриваемую ветвь со
встречно-, относительно протекающего по ней тока, направленным источником ЭДС.
/
U ba
Е1
/
I ab
Z ab
при
/
I ab
0
получим, что
/
Е 1 U ba
Х

130.

Метод эквивалентного генератора
(эквивалентного источника)
R/2
E2
Эквивалентные схемы с исключенной ветвью нагрузки
А
R/2
E1
с
а
R
E2
2R
R/2
2
1
2E
2
для узла а: а
с 1
R
R 2R
R
2R
R/2
b
и с исключенными источниками
П
RH
J
b=0
R/2
а
с
R
2R
R/2
b
b=0
IH
J
Uab X
R
а
E1
b
E
2
2R
2
1
2
2 E1
а J
для узла b: с
R
R R R
R
2
Исключив из схемы эквивалентного двухполюсника источники,
определим его входное сопротивление (ветви ас и bd
соединены параллельно):
R
R
R 2R
2
2
RЭ
R
R
R
R 2R
2
2
IН
U ab Х
RЭ RН

131.

R6 1 Ом
R2 3 Ом
R4 3 Ом
I1
I3
I2
U5 = 6 В
R5 2 Ом
E
Дано: R2 = 3 Ом; R4 = 3 Ом; R5 = 2 Ом; R6 = 1 Ом, U5 = 6 В.
Найти: все неизвестные токи, используя законы Кирхгофа,
метод контурных токов и метод узловых напряжений; составить
баланс мощностей.

132.

Расчет по законам Кирхгофа.
1) определяем топологию цепи
общее количество ветвей р* = 3
количество ветвей с источниками тока рит = 0
количество ветвей с неизвестными токами р = (р*– рит) = 3 – 0 = 3
количество узлов q = 2
количество независимых контуров n = p – (q – 1) = 3 – (2 – 1) = 2
2) составляем (q – 1) узловых уравнений по первому закону Кирхгофа
узел 1: I1 + I2 - I3 = 0
3) составляем n контурных уравнений по второму закону Кирхгофа
контур I: R2·I1 + (R4·+ R5)·I2 = Е
контур II: R6·I3 – (R4 + R5)·I2 = 0, или 9,6 - (R4 + R5)·I2 = 0
4) объединяем узловые и контурные уравнения в системе
I1 I 2 I 3 0
R2 I1 (R4 · R5 ) I 2 0
( R R ) I R I E
5
6
7
3
4

133.

5) Подставляем значения и учитывая, что
U5 6
3
R5 2
, решаем полученную систему
I2
I1 3 I 3 0
I1 3 3 2 3 0
3 2 3 I 1 E
3
I1 3 I 3 0
I1 3 15 0
15 I 1 6
3
I1 5
I2 3
I3 8
E 23

134.

Расчет методом контурных токов
R6 1 Ом
R2 3 Ом
I1
I11
I2
U5 = 6 В
R4 3 Ом
I22
R5 2 Ом
I3
E
1) определяем собственные и общие
2) сопротивления
R11 = R2 + R4 + R5 = 3 + 3 + 2 = 8 Ом
R22 = R2 + R6 = 3 + 1 = 4 Ом
R12 = R12 = R2 = 3 Ом
2) определяем контурные ЭДС
Е11 = 0 Е22 = Е В
3) составляем систему уравнений
Подставляем значения и, учитывая, что
I 2 I11
U5 6
3
R5 2
R11 I11 R12 I 22 E11
R21 I11 R22 I 22 E 22
, решаем полученную систему
8 3 3 I 22 0
3 3 4 I 22 ,E
I 22 8
E 23
4) определяем неизвестные токи
I1 = I22 – I11 = 8 – 3 = 5 А
I2 = I11 = 3 А
I3 = I22 = 8 А

135.

Расчет методом узловых напряжений
1) определяем собственные и общие проводимости
g11 =
1
1
1 1
1
1 23
0.158 См
R2 R4 R5 R6 3 3 2 1 15
2) определяем токи, обусловленные источниками энергии в цепи
E
J11
R6
3) составляем систему уравнений u10
Учитывая, что
, определим u10
I2
g11 J11
U5 6
3
R5 2
u10 I 2 R4 R5 3 5 15
u10 15
Ток I1 определим по закону Ома I1 R 3 5
2
Ток I3 определим по первому закону Кирхгофа
I 3 I1 I 2 3 5 8
Величину
определим из формулы
I3
E u10
R1
E I 3 R1 u10 8 15 23