Квантовая физика твердого тела

1.

1.Квантовые статистики.
2. Теплоемкость твердых тел.
3.Зонная теория твердых тел.
4.Электропроводность
полупроводников.
5.Контакт полупроводников.

2.

Квантовые статистики
Для описания системы большого
числа частиц используют:
а) классическую статистику
Максвелла-Больцмана;
б) квантовую статистику
Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.

3.

Состояние системы тождественных
(неразличимых) частиц в квантовой
механике описывают симметричными
( не изменяют знака при перестановке
a b и антисимметричными (изменяют
знак) функциями.
Вид полной волновой функции зависит
от проекции Lsz спина частицы на направление B и не изменяется при
любых внешних воздействиях.

4.

Различают:
1.Фермионы – частицы с нечетным
0
1
1
е
,
p
,
n
полуцелым спином ( 1 1
0 ,
2
ядра с нечетным числом фермионов).
Систему тождественных фермионов
описывают антисимметричной
волновой функцией (статистика
Ферми - Дирака).

5.

2. Бозоны – частицы, у которых
спин 0 или четный полуцелый
2
(фотон, -мезоны, ядра с четным
числом фермионов).
Система тождественных бозонов
описывается симметричной
волновой функцией (статистика
Бозе - Эйнштейна).

6.

Функция заполнения ячеек фазового
пространства ( x, y, z, px , p y , pz , объем 3 )
или средняя заселенность частицами
состояний с данной энергией Wi
1
f Wi
,
e kT 1
- химический потенциал,
k - постоянная Больцмана,
T - термодинамическая температура.
Для системы тождественных фермионов
0 f 1;
Для системы тождественных бозонов
f 0.

7.

При e
Wi
kT
1 квантовые распределения
Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна переходят
в классическое распределение МаксвеллаБольцмана.
Систему частиц называют вырожденной,
если ее свойства не могут быть описаны
классической статистикой.
Температура вырождения
2
2/3
0
n
Tв
,
3mk
где
n0 -концентрация частиц,
m -масса частицы.

8.

Электронный газ в металле всегда
вырожден
4
Т в 2 10 К ,
электронный газ в полупроводниках
не вырожден при Т Tв
4
Т в 10 К ,
фотонный газ вырожден при любой
температуре.
Следовательно, для получения формулы
Планка r ,T f , T нужно использовать
Статистику Бозе – Эйнштейна.

9.

В расположении частиц в кристаллах
– дальний порядок.
Узлы кристаллической решетки –
средние положения, у которых
частицы совершают колебания.
Пространственные решетки (14 решеток Браве) различаются видами
переносной симметрии.

10.

11.

1. Ионные – гранецентрированные
или объемно центрированные
решетки, вставленные одна в
другую; ионная (гетерополярная)
связь ( NaC , CsC ,...).
2. Атомные – в узлах нейтральные
атомы удерживаются ковалентными (гомеополярными) связями
(Ge, Si, ZnS ,...).

12.

13.

3. Металлические
– в узлах решетки положительные ионы металла, свободные
электроны обеспечивают
хорошую электропроводность
Cu, Ag , Au, Pt,...
4. Молекулярные–в узлах решетки
нейтральные молекулы, связанные ван-дер-ваальсовыми силами
(парафин, лед, Br2 , I 2 ,...)

14.

15.

Теплоемкость твердых тел
Определяется энергией тепловых колебаний частиц в узлах кристаллической
решетки.
Молярная теплоемкость с атомной
кристаллической решеткой
dU
Дж
СV
3R 25
dT
моль К
не зависит от температуры – закон
Дюлонга – Пти.
Выводы теории и эксперимента
не совпадают!

16.

Теория Эйнштейна
Кристалл - система N независимых
квантовых гармонических осцилляторов.
Средняя энергия, приходящаяся на одну
степень свободы осциллятора
1
h
W h h / kT .
2
e
1
нулевая энергия
Внутренняя энергия одного моля
h
U U 0 3 h / kT .
e
1

17.

Молярная теплоемкость
h / kT
dU
e
h
CV
3 R
.
h / kT
2
dT
1)
kT (e
h - характеристическая
Обозначим E
2
k температура Эйнштейна.
E /T
e
E
CV E / T
.
2
1)
T (e
2
Нулевая молярная внутренняя энергия
3 h
3
U0
R R E .
2 k
2

18.

CV
3R
При h kT
Ag
2R
Cu
(область высоких
температур)
CV 3R.
R
0
100
200
300 T,K
При h kT (область низких температур)
E E / kT
CV 3R e
.
T
2

19.

Теория Дебая
Кристалл – система сильно связанных,
N частиц, имеет широкий спектр частот
колебаний.
В кристалле распространяются упругие
волны, имеющие квантовые свойства.
Квант энергии упругой волны с частотой
- это квазичастица фонон.
W h ;
h -энергия и импульс
p
фонона,
-скорость распространения упругой
(звуковой) волны.

20.

Спин фонона равен нулю (статистика
Бозе - Эйнштейна), химический потенциал
для фононного газа 0 (фононы
испускаются и поглощаются, но их
число не постоянно).
Внутренняя энергия кристалла (энергия
фононного газа)
max
3
12 Vh
d
U
,
3
h / kT
e
1
0
1/ 3
3 N - верхняя граница частот
где max
4 V фононов.

21.

Характеристическая температура Дебая
h max
TD
k
.
Область высоких температур Т Т D
U 3NkT,
CV 3R.
Область низких температур
9
U 0 R D ,
8
T TD
4 5 k 4V 4
U
T .
2 3
5h
Молярная теплоемкость
3
4
12 R T
-предельный закон Дебая.
CV
5 D

22.

Зонная теория твердых тел
Твердое тело - периодическая структура,
электроны находятся в электрическом
поле положительных ионов.
Уравнение Шредингера для системы множества частиц решают в приближении:
а) сильной связи - валентные электроны
переходят от одного атома к другому при
их сближении на расстояния порядка
размеров атома;
б) слабой связи – свободные электроны
движутся в периодическом поле кристаллической решетки.

23.

Энергетические спектры изолированного
атома - дискретны, их энергия зависит от
n, .
В газах расстояние между атомами L d .
U
L
0
Потенциальный барьер
r для валентных электронов широкий, вероятность просачивания
сквозь него равна нулю,
в газе нет свободных
электронов.
Без внешних воздействий газ-диэлектрик.

24.

10
В кристалле L ~ d ~ 10
поля перекрываются.
м , электрические
U
0
Потенциальные
кривые
r
накладываются,
потенциальный
барьер снижается,
электрон переходит
к соседнему атому
(туннельный эффект).

25.

Энергетический уровень валентного электрона изолированного атома в кристалле
расширяется, образуя широкую полосу –
зону разрешенных значений энергии (~ эВ)
разрешен- W
W
разреные зоны
шенные
зоны
запрещенгибридная
ные зоны
зона
Зона проводимости заполнена
электронами при Т=0К частично
или свободна.
Валентная зона заполнена электронами
при Т=0К полностью.

26.

Электрические свойства твердых тел
согласно зонной теории:
W
W
W
W
ЗП
ВЗ
заполнена
частично
ЗП
перекрыты
ВЗ
металл (проводник)
ЗП
ВЗ
полупроводник
ЗП
ВЗ
диэлектрик
Ширина запрещенной зоны: E П / П E ДИ .

27.

Проводимость полупроводников
1.Собственная проводимость (чистые П/П)
W
ЗП
_
EF
ВЗ
При Т=0К и Е=0 чистый полупроводник –
диэлектрик.
При Т>0 и Е>0 дырки движутся по полю,
электроны – против поля.

28.

Носители тока – электроны и дырки,
их концентрации одинаковы.
Уровень Ферми E F расположен в середине запрещенной зоны.
EF - энергия возбуждения электронов и
дырок в собственном П/П.
Удельная проводимость собственных П/П
0е
Е / 2 kT
,
где 0 постоянна для данного П/П.
Е -энергия активации (ширина запрещенной зоны.

29.

2. Примесная проводимость П/П n типа
W
ЗП
донорный
уровень
ВЗ
Основные носители – электроны в зоне
проводимости, положительные заряды
локализуются на неподвижных атомах
мышьяка, в проводимости не участвуют,
неосновные - дырки в валентной зоне.

30.

2. Примесная проводимость П/П p типа
W
ЗП
ВЗ
акцепторный
уровень
Основные носители – дырки в валентной
зоне, избыточный отрицательный заряд
связан с атомом индия и по решетке не
перемешается, неосновные - электроны в
зоне проводимости.

31.

Запирающий слой при контакте
полупроводников p- и n-типов

32.

Вольт-амперная
диода.
характеристика кремниевого
Использованы различные шкалы для положительных и отрицательных напряжений

33.

о
р
с
т
р
у
к
т
у
р
ы
p
–
n
–
p
Транзистор структуры n–p–n
Транзистор структуры p–n–p