Методы решения СЛАУ

1.

2.

m – уравнений,n – неизвестных

3.

4.

5.

Прямые
(точные)
Методы
решения
СЛАУ
Итерационные
- метод Крамера,
- метод Гаусса,
- метод обратной матрицы,
- метод квадратных коней,
…
- метод простой итерации,
- метод Зейделя,
…

6.

7.

Дано:
Решение:

8.

• Если m=n и detА 0, то система имеет
единственное решение.
• Вычисление обратной матрицы для n>4 требует
много времени.

9.

Пример.
Решить систему уравнений:
Решение:

10.

Решение:

11.

12.

Пример.
Решить систему уравнений:
Решение:

13.

Решение:

14.

Решение:

15.

Решение:

16.

Решение:

17.

Решение:

18.

Решение:

19.

Решение:

20.

Пример:
detA 0,
при больших n вычисление определителей
трудоемко.

21.

алгоритм последовательного исключения
неизвестных.
Прямой ход:
-

22.

алгоритм последовательного исключения
неизвестных.
Прямой ход:
-

23.

алгоритм последовательного исключения
неизвестных.
Прямой ход:
-

24.

алгоритм последовательного исключения
неизвестных.
Прямой ход:
-

25.

Пример.
Решить систему уравнений:
Решение:

26.

Решение:

27.

Решение:

28.

Решение:

29.

Решение:

30.

Решение:

31.

алгоритм последовательного исключения
неизвестных.
Обратный ход:
-

32.

Решение:

33.

Решение:

34.

Решение:

35.

Решение:

36.

Необходимое и достаточное условие
применимости: ведущие элементы ≠0

37.

За ведущий элемент выбирается наибольший по
модулю и не принадлежащий столбцу
свободных членов элемент в каждой строке.
Метод Гаусса – частный случай метода главных
элементов.

38.

Применим, если det A≠0

39.

Дано:
Решение:
,

40.

Дано:
Решение:
,
Тогда

41.

42.

43.

44.

45.

Пример.
Решить систему уравнений:
Решение:

46.

Дано:
Решение:
где А – квадратная матрица.
нижняя
треугольная матрица
верхняя
треугольная матрица
с единичной диагональю

47.

Дано:
Решение:
где А – квадратная матрица.
нижняя
треугольная матрица
Тогда
верхняя
треугольная матрица
с единичной диагональю

48.

Дано:
Решение:
где А – квадратная матрица.
нижняя
треугольная матрица
Тогда
верхняя
треугольная матрица
с единичной диагональю

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

Пример.
Решить систему уравнений:
Решение:

56.

Решение:

57.

Решение:

58.

Решение:

59.

60.

.
Дано:
где А –матрица с ненулевыми диагональными коэффициентами.
Решение:
1. Приведем систему к виду
(*)
2. Строим последовательные приближения:
...

61.

Пример.
Решить систему уравнений:
Решение:
Приведем систему к виду (*):

62.

Решение:
Строим последовательные приближения:

63.

Если требуется точность m верных десятичных знаков,
то:
1) вычисления ведем с m+1 десятичными знаками,
2) последовательные приближения вычисляем до
3) результат округляем до m верных знаков.
,

64.

Если требуется точность m верных десятичных знаков,
то:
1) вычисления ведем с m+1 десятичными знаками,
2) последовательные приближения вычисляем до
3) результат округляем до m верных знаков.
,

65.

66.

.
Процесс хорошо сходится , если элементы матрицы
малы
по абсолютной величине.
Начальное приближение может быть выбрано произвольно.

67.

68.

.
Процесс хорошо сходится , если элементы матрицы
малы
по абсолютной величине.
Начальное приближение может быть выбрано произвольно.
Теорема
(достаточное условие сходимости)
Если для приведенной системы (*) выполнено
по меньшей мере одно из условий:
или
то процесс итерации сходится к единственному решению
этой системы, независимо от выбора начального приближения.

69.

Теорема.
Процесс итерации для приведенной СЛАУ сходится к
единственному ее решению, если

70.

Следствие.
Процесс итерации для приведенной СЛАУ сходится к
единственному ее решению, если в

71.

.
Дано:
Решение:
1. Выбираем начальное приближение
2. Строим последовательные приближения c учетом уже вычисленных:
...

72.

.
Пример:
Решение:
1. Выбираем начальное приближение
2. Строим последовательные приближения:
и т.д.

73.

.