Цифровая обработка сигналов и изображений. Дискретное преобразование Фурье и его свойства

1. Цифровая обработка сигналов и изображений

2. Дискретное преобразование Фурье и его свойства

3. Ортогональность сигналов

Множество непрерывных функций действительного переменного
{Un(t)} = {U0(t), U1(t), …} называется ортогональным на интервале
[t0; t0+T], если
t 0 T
c, m n,
t U m (t )U n (t )dt 0, m n.
0
При c = 1 множество {Un(t)} называется ортонормированным.
Для вычисления сигнала через коэффициенты разложения используется:
x(t ) anU n (t ).
n 0

4.

Ортогональность сигналов
Коэффициенты разложения an из указанного соотношения можно определить, если
умножить обе его части на Un(t) и проинтегрировать в интервале [t0; t0+T]:
t 0 T
x(t )U m (t ) an
n 0
t0
В силу условий ортогональности получим
1
an
C
t 0 T
x(t )U
t0
n
(t )dt
t 0 T
U
t0
n
(t )U m (t )dt

5.

Теорема Парсеваля
Для доказательства теоремы Парсеваля возведем обе части соотношения в квадрат:
x(t ) U n (t ) a a p aqU p (t )U q (t ).
2
2
n 0
2
n
p 0 q 0
Проинтегрируем обе части:
1
2
2 1
2
x(t ) an U n (t ) dt a p aq U p (t )U q (t )dt.
TT
TT
n 0
p 0 q 0
T
По условию ортогональности:
1
C 2
2
x(t ) dt an .
TT
T n 0

6.

Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье
Впервые в 1807 году французский математик и физик Жан Батист
Жозеф Фурье показал, что любую произвольную функцию x(t ) можно
представить в виде бесконечной суммы синусных и косинусных членов:
n 1
n 1
x(t ) a0 an cos n 0t bn sin n 0t
где 0 (рад/с) – основная угловая частота, которая связана с
периодом T функции соотношением n 0 . Частоты T 2 0
называют гармониками, так как они кратны основной частоте.
В данном случае речь идет о системе ортогональных функций вида
1, cos n 0t, sin n 0t
a0
1
x(t )dt;
TT
an
2
x(t ) cos n otdt;
TT
bn
2
x(t ) sin n otdt
TT

7.

Ряд Фурье
Коэффициенты {a0, an, bn} можно вычислить с учетом ортогональности множества
функций {cos n 0t, sin n 0t} на периоде T:
T 2 , m n,
T cos n 0t cos m 0tdt 0, m n;
(1)
cos n 0t sin m 0tdt 0, m, n;
(2)
T
T 2 , m n,
T sin n 0t sin m 0tdt 0, m n.
(3)
С учетом этих соотношений получаем:
a0
1
x(t )dt ;
T T
(4)
an
2
x(t ) cos n 0tdt;
TT
(5)
bn
2
x(t ) sin n 0tdt.
T T
(6)

8.

Сумма синусов и косинусов
=
3 sin(x)
A
+ 1 sin(3x)
B
+ 0.8 sin(5x)
C
+ 0.4 sin(7x)
D
A+B
A+B+C
A+B+C+D

9. Семейство преобразований Фурье

9
t
t
Cигнал непрерывный и апериодический
Cигнал непрерывный и периодический
N=8
t
Отсчет N-1
Отсчет 0
Cигнал дискретный и апериодический
Cигнал дискретный и периодический
t

10. Прямое и обратное непрерывное преобразование Фурье

x(t) – исходная функция времени
Прямое преобразование Фурье
x( j ) x(t )e j t dt
0
(отображение исходной функции времени в спектральную
область)
1
x
(
t
)
Обратное преобразование Фурье
2
(восстановление функции по её спектру)
j t
x
(
j
)
e
d
0

11. Основная идея дискретного преобразования Фурье

1 N 1
C x (k )
X (m)W k m
N m 0
N 1
X (m) C x (k )W km
k 0
k 0, N 1
i 2 / N
i 1 W e
Обозначения:
X(m) – значение сигнала в момент времени n;
C x (k ) – значение спектра сигнала в точке 2πk;
N – количество отсчетов;

12. Дискретное преобразование Фурье

Таким образом, если {X(m)} означает последовательность X(m) конечных
действительных или комплексных чисел, где m = 0, ..., N-1, то дискретное
преобразование Фурье этой последовательности определяется как
1
C x (k )
N
N 1
X (m)W
km
, где k = 0, …, N-1, W=e-i2π/N
m 0
N 1
X (m) C x (k )W km .
k 0
Функции W km являются N-периодическими, т.е. Wkm=W(k+N)m=Wk(m+N). Следовательно,
последовательности {Cx(k)}, {X(m)} также являются N-периодическими, т.е.
X ( m) X ( SN m);
C x ( k ) C x ( SN k ).

13. Основные свойства ДПФ

Теорема линейности
Теорема комплексной сопряженности
Теорема сдвига
Теорема свертки
Теорема корреляции

14. Основные свойства ДПФ

Теорема линейности: ДПФ является линейным, т.е. если
X (m) Cx (k )
Y ( m) C y ( k )
Z (m) aX (m) bY (m)
то
C z (k ) aC x (k ) bC y (k )
Теорема комплексной сопряженности: если
X (m) X (0), X (1),..., X ( N 1)
- такая последовательность
действительных чисел, что N/2 – целое число и X (m) Cx (k ) , то
Cx (
N
N
l ) C x ( l ), l 0, N / 2
2
2
Теорема сдвига: если Z (m) Cz (k )
то C (k ) W kh C (k )
W e i 2 / N
z
x
и
Z (m) X (m h) , h 0, N 1,

15. Основные свойства ДПФ. Теорема свертки

Если X (m) и Y (m) - последовательность действительных
Y (m) C y (k ) , X (m) Cx (k ) , а свертка этих
чисел, при которых
последовательностей определяются как
1
Z ( m)
N
N 1
X (h)Y (m h), m 0,1,..., N 1
h 0
то C z (k ) C x (k )C y (k )
Суть:
свертка временных последовательностей эквивалентна
умножению их коэффициентов ДПФ

16. Основные свойства ДПФ. Теорема корреляции

Если X (m) и Y (m) - последовательность действительных
Y (m) C y (k ) , а корреляция
чисел, при которых
X (m) Cx (k ),
этих последовательностей определяются как
1
(
m
)
Z
N
то
N 1
X (h)Y (m h), m 0,1,..., N 1
h 0
C (k ) C x (k )C y (k )
Z

17. Теорема Парсеваля

Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье. То
есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата
результата преобразования
x(t ) dt
2
2
F{x(t )} dt ,
где F{*} обозначает непрерывное преобразование Фурье, которое связывает временной
или пространственный сигнал x(t) с его представлением в частотной области X(f).
В дискретном виде теорему записывают следующим образом:
N 1
i 0
1
x(i )
N
2
N 1
X (k )
2
,
k 0
где X(k) представляет собой дискретное преобразование Фурье сигнала x(i), имеющего
N отсчетов.