Дискретное преобразование Фурье и Z-преобразование

1. Тема: Дискретное преобразование Фурье и Z-преобразование.

Тема: Дискретное
преобразование Фурье и Zпреобразование.
Кафедра Радиоэлектроники.
Преподаватель:
Лазаренко
Сергей Валерьевич.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

2.

Учебные вопросы:
1. Спектральная плотность
дискретного сигнала.
2. Дискретное преобразование Фурье
и его основные свойства.
3. Быстрое преобразование Фурье.
4. Z-преобразование.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

3.

1. Спектральная плотность дискретного сигнала.
На практике, как правило, отсчеты дискретных сигналов берут во времени через
равный промежуток ∆, называемый интервалом (шагом) дискретизации:
t0 t 1 t1 t0 ... tm tm 1 ...
(1)
Операцию дискретизации, т.е. перехода от аналогового сигнала x(t) к
дискретному сигналу xД(t), можно описать, введя в рассмотрение т.н.
дискретизирующую последовательность
t
t k
k
(2)
где δ(t-k∆) - дельта – функция.
Импульсный модулятор представляет собой
устройство с двумя входами, на один из которых
подается аналоговый сигнал x(t) . На второй вход
поступают короткие синхронизирующие импульсы с интервалом повторения ∆.
Обозначим частоту повторения импульсов через ɷ1=2П/∆.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

4.

Описанный принцип позволяет записать следующую математическую модель
дискретного сигнала, полученного путем импульсной модуляции
x Д t x t k
x k t k
(3)
k
Фактически это есть произведение двух сигналов x(t) и η(t),. Найдем
спектральную плотность S XД этого дискретного сигнала в предположении,
что известна спектральная плотность сигнала x t S X .
Для этого вначале вспомним, что спектральная плотность произведения двух
сигналов есть свертка спектральных плотностей этих сигналов
1
S XД
S S X d (4)
2
где S - спектральная плотность сигнала (2).
Для нахождения S представим η(t) рядом Фурье, учитывая, что ∆ - период
следования δ- импульсов:
t
e jk 1t
A
k
k
e
A
k
j
2 k
t
(5)
k
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

5.

Kоэффициенты ряда A k определяются обычным образом
2
A 1 t e j
k
2 k
t
1
dt
(6)
2
При выводе выражения (6) учтено фильтрующее свойство δ- функции. С учетом
полученного результата формула (5) приобретает вид:
1
t
e
j
2 k
t
(7)
k
Учитывая, что преобразованию Фурье присуще свойство линейности,
спектральную плотность сигнала (7) можно определить, суммируя
2 k
спектральные плотности S 1 функций вида j t .
e
S 1 e
j
2 k
t
j t
e
j 2 k t
dt e
2
dt 2 k .
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
(8)

6.

Проверить правильность выражения (8) можно, определив
обратное преобразование Фурье.
2
2
Таким образом, имеем
S
k
(9)
k
Подставив (9) в (4), получим окончательно
1
S XД
2
2
k
k
1
2
S X k
k
.
2
S X d
(10)
Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет
собой результат суммирования бесконечного числа "копий" спектра
исходного сигнала. Эти копии располагаются на оси частот через
промежутки 2П/∆, равные частоте дискретизации ɷ1.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

7.

2. Дискретное преобразование Фурье и его
основные свойства.
При исследовании сигналов с помощью цифровых ЭВМ непрерывный сигнал
x(t) на интервале времени наблюдения [0,T] задается своими отсчетными
значениями x0,x1,…,xN-1 взятыми соответственно в моменты времени 0, ∆, 2∆, ...,
(N-1)∆. Полное число отсчетов N=T/∆. Массив этих чисел является
единственной информацией, по которой можно судить о спектральных
свойствах сигнала x(t).Такому сигналу можно сопоставить некоторую
математическую модель, раскладывая которую в ряд Фурье, можно найти
соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих
коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

8.

Воспользуемся моделью сигнала в виде последовательности δ-импульсов
N 1
N 1
k 0
k 0
x Д t x k t k xk t k
(11)
Эта модель отличается от (3) ограниченным количеством отсчетов (сигнал
рассматривается в пределах "периода" Т). Представим сигнал (11) комплексным
рядом Фурье
x Д t
A e
n
j
2 n
t
n
T
j
1
(12) где коэффициенты An
x Д t e
T0
2 n
t
T
dt (13)
Подставим в выражение (13) значение xД(t) (11), и учтем что T=∆N.
1
A n
N
N N 1
x t k e
0 k 0
k
j
2 n
t
N
dt
Введем безразмерную переменную ξ=t/∆. Тогда t=∆ξ, dt=∆dξ. При t=0 ξ=0, при
t=T ξ=N
При этом получим
N
2 n
2 nk
N 1
N 1
A 1
n
N
x k e
k 0
k
0
j
N
1
d
N
x e
k 0
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
k
j
N
(14)

9.

Из (14) следуют основные свойства ДПФ.
2.1 Дискретное преобразование Фурье есть линейное преобразование, т.е. сумме
сигналов отвечает сумма их ДПФ.
, A , ... A N 1 , вычисляемых по
2.2 Количество различных коэффициентов A0 , A
2
1
формуле (14), равно числу N отсчетов за период: при n=N коэффициент AN=A0
(показать).
2.3 Коэффициент A0 (постоянная составляющая) является средним значением
всех отсчетов
1 N 1
A0 xk (15)
2 kN
N k 0
1 N 1 j 2 N
1 N 1
k
A
x
e
x
1
(16)
2.4 Если N - четное, то N
k
k
2
N
N
k 0
k 0
2.5 Если N - четное и xk - вещественные числа, то коэффициенты ДПФ, номера
которых располагаются симметрично относительно N/2, образуют комплексносопряженные пары. Действительно,
A N n
1
N
N 1
xk e
k 0
j
2 k N n
N
1
N
N 1
j 2 k
x
e
k e
j
2 nk
N
(17)
k 0
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

10.

Второй сомножитель в правой части выражения (17) всегда равен 1,
Следовательно,
2 nk
N 1
*
j
1
N
A
xk e
An (18)
N n
N k 0
Если на основании совокупности отсчетов x0,x1,…,xN-1 некоторого сигнала
, ... A N 1 , то по ним всегда можно
найдены коэффициенты ДПФ A0 , A 1 , A
2
восстановить исходный сигнал x(t) с ограниченным спектром, который был
подвергнут дискретизации. Ряд Фурье такого сигнала принимает вид конечной
суммы:
N
2
4
x t A0 2 A1 cos
1 2 A2 cos
2 ... AN cos
N
T
T
2
2
T
,
где φi=arg Ai - фазовый угол коэффициента ДПФ.
Формула (13) позволяет ввести в рассмотрение обратное ДПФ. Если положить
t=∆k и учесть, что суммируется конечное число членов ряда, то получим
N 1
e
xk t A
n
j
2 kn
N
n 0
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

11.

3. Быстрое преобразование Фурье.
Разобьем входную последовательность {xk} на две части с четными и нечетными
номерами:
N
k 0, 1, 2, ..., 1
xk чт x2k
xk нч x2 k 1 (19)
2
и представим n-ный коэффициент ДПФ в виде
1
A n
N
1
N
1
N
N 1
x e
2
nk
N
k
k 0
k четные
N
1
2
x
k 0
2k
N
1
2
x
k 0
j
2k
e
e
j
j
2
n 2k
N
4
nk
N
1
N
1
N
N 1
x e
k 0
k нечетные
x
1
e
N
2
nk
N
k
N
1
2
k 0
j
2 k 1
e
N
1
2
j n 2
N
j
x
k 0
2
n 2 k 1
N
2 k 1
e
j
4
nk
N
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

12.

Непосредственно видно, что первая половина коэффициентов ДПФ исходного
N
сигнала с номерами от 0 до 1 выражается через коэффициенты ДПФ двух
2
частных последовательностей:
A n A nЧЧ e
j
2
n
N
A nНН
n 0, 1, 2, ...,
(20)
N
1
2
Теперь учтем, что последовательности коэффициентов, относящихся к четной и
нечетной частям входного массива, являются периодическими с периодом N/2:
A nЧЧ A
N
n ЧТ
2
A nНН A
n
N
НЧ
2
Кроме того, входящий в формулу (20) множитель при n> N/2 можно
преобразовать так:
2 N
2
2
e
j
n
N 2
e
j
e
j
N
n
e
j
N
n
Отсюда находим выражение для второй половины множества коэффициентов
ДПФ:
2
A n A nЧЧ e
j
N
n
A nНН
(21)
n 0, 1, 2, ...,
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
N
1
2

13.

4. Z-преобразование.
Определение Z-преобразования. Пусть {xk} =(x0,x1,x2,…) - числовая
последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчетные значения
некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по
отрицательным степеням комплексной переменной z:
x1 x 2
X ( z ) x0 2 ... x k z k
z z
k 0
(22)
На основании формулы (22) можно непосредственно найти Z – преобразования
дискретных сигналов с конечным числом отсчетов. Так, простейшему
дискретному сигналу с единственным отсчетом {xk} ={1,0,0,…} соответствует
X(z)=1. Если же, например, {xk} ={1,1,1,0,0,…}, то
1 1 z 2 z 1
X ( z) 1 2
z z
z2
Сходимость ряда. Если в ряде число слагаемых бесконечно велико, то
необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного
переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда
удовлетворяют условию
k
(23)
xk MR0
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

14.

Рассмотрим, например, дискретный сигнал {xk} ={1,1,1,…}, образованный
одинаковыми единичными отсчетами и служащий моделью обычной функции
включения. Бесконечный ряд
1 1
2 ...
z z
является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых z в кольце
|z |>1. Суммируя прогрессию, получаем
1
z
X ( z)
1
z 1
(1 )
z
На границе области аналитичности при z=1 эта функция имеет единственный
простой полюс.
Аналогично получается Z-преобразование бесконечного дискретного сигнала{xk}
={1,a,a2,…}, , где a — некоторое вещественное число. Здесь
X ( z) 1
X ( z)
1
a
1
z
z
z a
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

15.

Z-преобразование непрерывных функций. Полагая, что отсчеты {xk} есть
значения непрерывной функции x(t) в точках t=∆k, любому сигналу x(t) можно
сопоставить его Z-преобразование при выбранном шаге дискретизации ∆:
X ( z ) x(k ) z k
k 0
Например, если x(t)=eat, то соответствующее Z-преобразование
z
X ( z ) e k z k
z e
k 0
является аналитической функцией при |z |>ea∆.
Пусть X(z) — функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой
области |z |>R0. Замечательное свойство Z-лреобразования состоит в том, что
функция X(z) определяет всю бесконечную совокупность отсчетов (x0,x1,x2,…).
Действительно, умножим обе части ряда на множитель zm-1:
z m 1 X ( z ) x0 z m 1 x1 z m 2 ... x m z 1 ...
а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в
качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую
целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X(z) .
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

16.

Воспользуемся фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:
2 j, если m 1,
z dz 0, если m 1.
m
(24)
Для доказательства этого найдем следующие интегралы:
dz
1
z
dz
m
z
dz
m
z
dz, m 1
Каждый из них находится заменой произвольного контура интегрирования на
окружность постоянного радиуса r, равного модулю переменной z, т.е.
фактически производится замена
j
j
z re ,
dz jre d
При этом, так как радиус есть величина постоянная, то интегрирование
производится по углу φ в пределах от 0 до 2П. Первый интеграл равен
2
2
j
j
dz
jr
e
d
re
0
0
(25)
0
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

17.

Второй интеграл вычисляется аналогично
2
2
m
m
jm
m jm
z
dz
jmr
e
d
r
e
0
0
(26)
0
Третий интеграл вычислится следующим образом:
2
j
r
e
1
z
dz j r 0 e j d 2 j
(27)
Не трудно убедиться, что четвертый интеграл так же, как первые два, равен нулю.
Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за
исключением слагаемого с номером m, поэтому
1
m 1
xm
z
X ( z )dz
2 j
(28)
Данная формула называется обратным z-преобразованием.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

18.

Основные свойства z-преобразования.
1. Линейность. Если {xk} и {yk} — некоторые дискретные сигналы, причем
известны соответствующие Z-преобразования X(z) и Y(z), то сигналу
{uk}={axk+βyk} будет отвечать преобразование U(z)=aX(z)+βY(z) при любых
постоянных a и β.
2. Z -преобразование смещенного сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал {yk},
получающийся из дискретного сигнала {xk} путем сдвига на одну позицию в
сторону запаздывания, т. е. когда yk=xk-1. Непосредственно вычисляя Z преобразование, получаем следующий результат:
Y ( z ) xk 1 z
k 0
k
z
1
n
1
x
z
z
X ( z)
n
n 0
Таким образом, символ служит оператором единичной задержки на
один интервал дискретизации в z-области.
3. Z -преобразование свертки. Пусть x(t) и y(t) — непрерывные сигналы,
для которых определена свертка
x-1
f (t )
x( ) y(t )d y( ) x(t )d
(29)
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.

19.

Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (29) принято
вводить дискретную свертку {fk} — последовательность чисел,
общий член которой
k 0
k 0
f m xk y m k y k xm k ,
m 0, 1, 2, ...
Вычислим Z -преобразование дискретной свертки:
F ( z ) x k y m k z m x k z k y m k z ( m k )
xk z
k 0
m 0 k 0
k
n
n 0
m 0 k 0
n
y
z
X ( z )Y ( z )
Итак, свертке двух дискретных сигналов отвечает произведение их
Z – преобразований.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.