Неопределенный интеграл по частям

1. Неопределённый интеграл.

2. Метод интегрирования по частям.

Пусть
u u ( x),
v v ( x) дифференцируемые функции
известно
d (uv) (uv) dx
тогда
d (uv) (u v uv ) dx
проинтегрируем
d (uv) (u v uv ) dx
d (uv) u v dx uv dx
m.k . u dx du; v dx dv

3.

то
d (uv) v du u dv
uv C v du u dv
u dv uv v du
Если интеграл, стоящий справа, проще интеграла,
стоящего слева, то применение формулы имеет смысл.

4. Пример 1. Вычислить интеграл

x
x
e
dx
Пример 1. Вычислить интеграл
u x
du dx
dv e dx
x
v e
x
x e dx xe e dx xe
x
x
x
x
e C
x

5.

Некоторые типы интегралов, решаемые
методом интегрирования по частям.
10.
P( x) ln x dx
P( x) arcsin x dx
u
P( x) arctan x dx
u
P( x) arccos x dx
u
где Р(х)- многочлен
u
P( x) arc cot x dx
u

6.

2 0.
ax
P
(
x
)
e
dx
u
P( x) sin ax dx
P( x) cos ax dx,
u
a 0
u
u=P(x) - многочлен
Если Р(х) выше первой степени, то операцию
интегрирования по частям следует применять несколько раз.
30.
ax
e
cos bx dx
ax
e
sin bx dx
, a2 b2 0
Формула применяется два раза, причем оба раза за u
выбирается
либо
показательная
функция,
либо
тригонометрическая.

7. Пример 2. Вычислить интеграл

u ln x
dx
du
x
ln x dx
dv dx
v x
dx
ln x dx x ln x x x x ln x dx x ln x x C

8. Пример 3. Вычислить интеграл

x 5 x sin 2 x dx
2
x
5
x
sin
2
x
dx
x
5x sin 2 x dx
u x 2 5 x
du 2 x 5 dx
dv sin 2 x dx
1
v cos 2 x
2
1 2
1
x 5 x cos 2 x 2 x 5
cos 2 x dx
2
2

9.

1 2
1
x 5 x cos 2 x 2 x 5 cos 2 x dx
2
2
u 2 x 5
du 2 dx
dv cos 2 x dx
1
v sin 2 x
2
1 2
1 1
2
x 5 x cos 2 x 2 x 5 sin 2 x sin 2 x dx
2
2 2
2
5x x 2
2x 5
1
cos 2 x
sin 2 x cos 2 x C
2
4
4
1 10 x 2 x 2
2x 5
cos 2 x
sin 2 x C
4
4

10. Пример 4. Вычислить интеграл

u e3 x
du 3e3 x dx
3x
e
sin 2 x dx
dv sin 2 x dx
1
v cos 2 x
2
1 3x
3 3x
e sin 2 x dx 2 e cos 2 x 2 e cos 2 x dx
3x
u e3 x
du 3e3 x dx
dv cos 2 x dx
1
v sin 2 x
2

11.

1 3x
3 1 3x
3 3x
e cos 2 x e sin 2 x e sin 2 x dx
2
2 2
2
1 3x
3 3x
9 3x
e cos 2 x e sin 2 x e sin 2 x dx
2
4
4
Пусть
F ( x) e3 x sin 2 x dx
тогда
1 3x
3 3x
9
F ( x) e cos 2 x e sin 2 x F ( x)
2
4
4

12.

13
1 3x
3 3x
F ( x) e cos 2 x e sin 2 x
4
2
4
2 3x
3 3x
F ( x) e cos 2 x e sin 2 x C
13
13
Ответ:
2 3x
3 3x
e sin 2 x dx 13 e cos 2 x 13 e sin 2 x C
3x

13. Пример 5. Вычислить интеграл

x t
x t
e
2
dx d t 2
dx
dx 2te dt 2 te dt
t
u t
du dt
dx 2t dt
x
e
x
t
dv e t dx
t
v e
2 tet et dt 2tet 2et C 2et t 1 C
2e
x
x 1 C