Неопределённый интеграл

1. Неопределённый интеграл.

2. Вопросы лекции

Свойства неопределенного
интеграла
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных
дробей
Интегрирование
тригонометрических функций

3. Свойства неопределенного интеграла

Производная
из
интеграла
равна
функции, т.е. если
неопределенного
подынтегральной
, то и
F (x) f(x)
f(x)dx F(x) C f(x)

4. Свойства неопределенного интеграла

d
f(x)dx f(x) dx

5. Свойства неопределенного интеграла

dF
(
x
)
F
(
x
)
C

6. Свойства неопределенного интеграла

[ f ( x) f
1
2
( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx

7. Свойства неопределенного интеграла

f (x) f (x) dx f (x) f (x)
1
2
1
2
f (x) f (x) dx f (x)dx f (x)dx f (x) f (x)
1
2
1
2
1
2

8. Свойства неопределенного интеграла

a
f
(
x
)
dx
a
f
(
x
)
dx

9. Свойства неопределенного интеграла

a f ( x)dx a f ( x)
a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)

10. Метод интегрирования по частям.

Пусть
u u ( x),
v v ( x) дифференцируемые функции
известно
d (uv) (uv) dx
тогда
d (uv) (u v uv ) dx
проинтегрируем
d (uv) (u v uv ) dx
d (uv) u v dx uv dx
m.k . u dx du; v dx dv

11.

то
d (uv) v du u dv
uv C v du u dv
u dv uv v du
Если интеграл, стоящий справа, проще интеграла,
стоящего слева, то применение формулы имеет смысл.

12.

13.

Некоторые типы интегралов, решаемые
методом интегрирования по частям.
10.
P( x) ln x dx
P( x) arcsin x dx
u
P( x) arctan x dx
u
P( x) arccos x dx
u
где Р(х)- многочлен
u
P( x) arc cot x dx
u

14.

2 0.
ax
P
(
x
)
e
dx
u
P( x) sin ax dx
P( x) cos ax dx,
u
a 0
u
u=P(x) - многочлен
Если Р(х) выше первой степени, то операцию
интегрирования по частям следует применять несколько раз.
30.
ax
e
cos bx dx
ax
e
sin bx dx
, a2 b2 0
Формула применяется два раза, причем оба раза за u
выбирается
либо
показательная
функция,
либо
тригонометрическая.

15.

16.

17.

1 2
1
x 5 x cos 2 x 2 x 5 cos 2 x dx
2
2
u 2 x 5
du 2 dx
dv cos 2 x dx
1
v sin 2 x
2
1 2
1 1
2
x 5 x cos 2 x 2 x 5 sin 2 x sin 2 x dx
2
2 2
2
5x x 2
2x 5
1
cos 2 x
sin 2 x cos 2 x C
2
4
4
1 10 x 2 x 2
2x 5
cos 2 x
sin 2 x C
4
4

18. Пример 4. Вычислить интеграл

u e3 x
du 3e3 x dx
3x
e
sin 2 x dx
dv sin 2 x dx
1
v cos 2 x
2
1 3x
3 3x
e sin 2 x dx 2 e cos 2 x 2 e cos 2 x dx
3x
u e3 x
du 3e3 x dx
dv cos 2 x dx
1
v sin 2 x
2

19.

1 3x
3 1 3x
3 3x
e cos 2 x e sin 2 x e sin 2 x dx
2
2 2
2
1 3x
3 3x
9 3x
e cos 2 x e sin 2 x e sin 2 x dx
2
4
4
Пусть
F ( x) e3 x sin 2 x dx
тогда
1 3x
3 3x
9
F ( x) e cos 2 x e sin 2 x F ( x)
2
4
4

20.

13
1 3x
3 3x
F ( x) e cos 2 x e sin 2 x
4
2
4
2 3x
3 3x
F ( x) e cos 2 x e sin 2 x C
13
13
Ответ:
2 3x
3 3x
e sin 2 x dx 13 e cos 2 x 13 e sin 2 x C
3x

21. Пример 5. Вычислить интеграл

x t
x t
e
2
dx d t 2
dx
dx 2te dt 2 te dt
t
u t
du dt
dx 2t dt
x
e
x
t
dv e t dx
t
v e
2 tet et dt 2tet 2et C 2et t 1 C
2e
x
x 1 C

22. Интегрирование рациональных дробей

• Всякую рациональную функцию можно
представить в виде рациональной дроби,
т.е. в виде отношения двух многочленов
Q x B0 x B1 x ....Bm
n
n 1
f x A0 x A1 x ... An
m
m 1

23. Интегрирование рациональных дробей

• Правильные рациональные дроби вида:
A
x a
x
A
k
x a
Ax B
2
px q
k
Ax B
x 2 px q

24. Интегрирование рациональных дробей

A
dx
A
ln
x
a
c
x a

25. Интегрирование рациональных дробей

k
x a C
A
1
dx
A
x
a
dx
A
C
k 1
x a k
k 1
x a 1 k
k 1

26. Интегрирование рациональных дробей

x
2
Ax B
dx
px q
A
2 x p B Ap
2
2
dx
2
x px q
A
2x p
Ap
dx
dx
B
2
2 x 2 px q
2
x
px
q
A
Ap
dx
ln x 2 px q B
2
2
2
2
p
p
q
x
2
4
A
2 B Ap
ln x 2 px q
arctg
2
4q p 2
2x p
4q p 2
C

27. Интегрирование рациональных дробей

x
Ax B
2
px q
k
dx
A
2 x p B Ap
A
2x p
Ap
dx
2
2
dx
dx
B
2 x 2 px q k
2 x 2 px q k
x 2 px q k
dt
t k 1
1
k
dx
t
dt
C
C
2
k 1
x 2 px q k
tk
k 1
( x px q) (1 k )
2x p