Логарифмические уравнения

1. «Логарифмические уравнения»

«ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ»

2.

Определение
Уравнение, содержащее
переменную под знаком
логарифма, называется
логарифмическим log x b
a

3.

Основные методы решения
логарифмических уравнений
1) по определению логарифма
2) потенцирования
3) введения новой переменной
4) логарифмирования обеих частей
уравнения
5) Приведения логарифмов к одному
основанию

4.

Этапы решения уравнения
•Найти область допустимых
значений (ОДЗ) переменной
•Решить уравнение, выбрав метод
решения
•Проверить найденные корни
непосредственной
подстановкой в исходное уравнение
или выяснить, удовлетворяют ли
они условиям ОДЗ

5.

Виды простейших логарифмических
уравнений и методы их решения
Уравнение
Решение
а) log a x b, a 0 и a 1
б) log a f ( x ) b, a 0 и a 1.
в) log a f ( x ) log a g( x ) ,
a 0 и a 1.
г) log g ( x ) f ( x ) b
x ab
f ( x) ab
f ( x ) 0,
g ( x ) 0,
f ( x ) g ( x ).
g( x ) 0,
g( x ) 1,
f ( x ) g ( x )b

6.

уравнения вида
loga f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.
решаются по определению
логарифма с учётом области
определения функции f(x).
Уравнение равносильно следующей
системе
f ( x) 0,
b
f ( x) a .

7.

Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.
Данное уравнение равносильно
следующей системе
b 0,
f ( x) 0, f ( x) 1,
c
f ( x) b.

8.

Метод потенцирования применяется
в том случае, если все логарифмы,
входящие в уравнение, имеют
одинаковое основание. Для
приведения логарифмов к общему
основанию используются формулы:
1
log a x
log x a

9.

log2х – 2 logх2 = –1
Решение: ОДЗ: x > 0, х ≠ 1
Используя формулу перехода к
новому основанию, получим

10.

Обозначим

11.

Введение новой переменной
2
A loga
f ( x) B loga f ( x) C 0,
где a > 0, a 1, A, В, С – действительные
числа.
Пусть t = loga f(x), t R. Уравнение
примет вид t2 + Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga
f(x). Учитывая область определения, выберем
только те значения x, которые удовлетворяют
неравенству f(x) > 0.

12.

Пример 1.
Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0.
Решение. Область определения
уравнения – интервал (0; ).
Введём новую переменную t = lg x, t R.
Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0.
Его корни t1 = –2, t2 = 3.

13.

Вернёмся к первоначальной
переменной lg x = –2 или lg x = 3,
х = 10 –2 или х = 10 3.
Оба значения x удовлетворяют
области определения данного
уравнения (х > 0).
Ответ. х = 0,01; х = 1000.

14.

Пример 2. Решить уравнение
2
2
3
2 log3 x log ( x) 4
Решение. Найдём область определения
уравнения
x 0, x 0,
x 0.
2
x 0; x 0;
Применив формулу логарифма степени,
получим уравнение
2
3
4 log3 | x | log ( x) 4.

15.

Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно
2
3
4 log3 ( x) log ( x) 4.