Решение логарифмических уравнений

1.

«РЕШЕНИЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ»
«ИЗОБРЕТЕНИЕ
ЛОГАРИФМОВ, СОКРАТИВ
РАБОТУ АСТРОНОМА,
ПРОДЛИЛО ЕМУ ЖИЗНЬ»
Французский математик
и астроном П. С. Лаплас

2.

ВЫЧИСЛИТЕ
ЗНАЧЕНИЯ
ВЫРАЖЕНИЯ
РЕШИТЕ
УРАВНЕНИЯ
log 2 8
log 5 x 2
lg100
log 51
1
log 9 x
2
log 2 x log 2 3 log 2 5
log 4 64
1
log 3
27
log2 5
2
10 lg15
log 3 ( x 2 1) 0.

3.

Свойства логарифмов
№
a≠ 1,a> 0,b> 0,c> 0
Название
Формулы
1.
Основное логарифмическое
тождество
a
2.
Логарифм единицы
loga 1= 0
3.
Логарифм числа а по основанию а
loga a= 1
4.
Логарифм произведения
5.
Логарифм частного
b
loga = loga b− loga c
c
6.
Логарифм степени
log a b r = rlog a b
loga b
=b
loga bc= loga b+ loga c

4.

Найдите ошибку!

5.

Самостоятельная работа
1 вариант
log 2 (4 x 5) log 2 (9 - 2x)
log 3 ( x 2 5 x 23) 0
lg( x 2) lg( x 2) lg( 5 x 10)
2 вариант
log 5 (3x 4) log 5 (12 - 5x)
log 3 ( x 2 3 x 7) 1
lg( x 1) lg( x 1) lg( 9 x 9)

6.

ПРОВЕРКА:
1 ВАРИАНТ
2 ВАРИАНТ
2
3
2
-3; 8
-5; 2
7
10

7.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком логарифма или в основании
логарифма называются
логарифмическими.
loga f ( x) =b
logf ( x) b=a

8.

Основные методы решения
логарифмических уравнений
1)по определению логарифма;
например, уравнение loga х = b (а > 0,
а≠ 1, b>0 ) имеет решение х = аb.
2) функционально-графический метод;
3) метод потенцирования;
если , loga f(х) = loga g(х),
то f(х) = g(х),
где f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

9.

4. Метод введение новой переменной
(метод подстановки).
5. Метод логарифмирования обеих
частей уравнения.

10.

Этапы решения уравнения
•Найти область допустимых
значений (ОДЗ) переменной;
•Решить уравнение, выбрав метод
решения;
•Проверить найденные корни
непосредственной
подстановкой в исходное уравнение
или выяснить, удовлетворяют ли
они условиям ОДЗ.

11.

Введение новой переменной

12.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0.
Решение: ОДЗ x > 0
Введём новую переменную t = lg x.
Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0.
Его корни t1 = –2, t2 = 3.
Вернёмся к первоначальной переменной:
lg x = –2 или lg x = 3,
2
x = 10 или x = 10
3
Оба значения x удовлетворяют
области допустимых значений данного
уравнения (х > 0).
Ответ: х = 0,01; х = 1000.

13.

Пример 2: lg x lg x 1
2
7
x
lg
10
x
Т.к. lg
lg x lg 10 lg x 1,
10
7
2
то lg x lg x 1
lg x 1
7
2
Пусть lg x t , t t 1
, где t 1
t 1
2
(t 1)(t t 1) 7
t 3 1 7
t3 8
Обратно : lg x 2
x 100
t 2

14.

Метод логарифмирования
ЕСЛИ В ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ
СОДЕРЖИТСЯ ЛОГАРИФМ, ТО ОБЕ
ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ
ЛОГАРИФМИРУЮТ ПО ТОМУ
ОСНОВАНИЮ, КОТОРОЕ СОДЕРЖИТСЯ
В ОСНОВАНИИ ЛОГАРИФМА,
НАХОДЯЩЕГОСЯ В ПОКАЗАТЕЛЕ
СТЕПЕНИ.

15.

Пример 1. x log3 x+1 = 9;
ОДЗ : x > 0 , x 1
Логарифмир уем обе части уравнения по основанию 3
log x+1
log 3 x 3
= log 3 9;
( log 3 x +1 )log 3 x = 2;
log 32 x + log 3 x 2 = 0;
пусть log 3 x = t, тогда t 2 + t 2 = 0;
t = 2,t 2 = 1;
1
Обратная замена : log 3 x = 2 или log 3 x = 1
x=
1
9
1
Ответ : ;3.
9
x = 3;

16.

x 0
ОДЗ :
x 1
log2 x
Прологарифмируем по основанию 2 : log 2 x
= log 2 4 x
Пример 2: x log2 x = 4 x.
log 2 x log 2 x = log 2 4x
log 22 x log 2 4 x = 0
log 22 x ( log 2 4 + log 2 x) = 0
log 22 x log 2 x log 2 4 = 0
log 22 x log 2 x 2 = 0
Пусть log 2 x = t, ттогд t 2 t 2 = 0.
t1 = 2, t 2 = 1
Обратно : log 2 x = 2 или log 2 x = 1
x1 = 4
x2
1
2

17.

x
log0,5
x
1
=
;
16
2log 52 x + 5log 5 x + 2 = 0;
x lgx = 100x;
x
log 2x 49 6log x 49 = 8;
log2
x+4
= 32.

18.

– Какие основные методы решения
логарифмических уравнений существуют?
– Какие логарифмические уравнения можно
решить методом подстановки?
– В чем сущность метода логарифмирования?
Каким образом определяем основание
логарифма?

19.

Домашнее задание
Критерии оценок: «3» - уровень 1;«4» - уровень 2; «5» - уровень 3.