Признаки существования предела

1.

Если числовая последовательность
a
n
монотонна и ограничена, то она имеет
предел.

2.

Возможны два случая:
1
Последовательность
ограничена сверху:
не
убывает
и
a1 a2 ... an M
2
Последовательность
ограничена снизу:
не
возрастает
m a1 a2 ... an
и

3.

Если в некоторой окрестности точки
х0 (или при достаточно больших
значениях х) функция f(x) заключена
между двумя функциями φ(х) и ψ(х),
имеющими одинаковый предел,
равный А, то функция f(x) имеет
тот же предел А.

4.

Пусть при x x0
существуют пределы
lim ( x) A
x x0
lim ( x) A
x x0
Следовательно, для любого, сколь угодно малого
числа ε>0, найдется такое положительное число δ,
что при всех х, таких что |x-x0|<δ, одновременно
выполняются неравенства:
( x) A
( x) A

5.

или
A ( x) A , A ( x) A
Т.к. по условию функция f(x) заключена между
функциями φ(х) и ψ(х), то
A f ( x) A
Т.е.
f ( x) A
А это и означает по определению предела
функции в точке, что
lim f ( x) A
x x0