Дифференциальные уравнения равновесия. Силы давления. Лекция №2

1.

ЛЕКЦИЯ №2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ.
СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ

2.

ПЛАН ЛЕКЦИИ
1. Дифференциальные уравнения равновесия
жидкости (уравнения Эйлера).
2. Основное уравнение гидростатики, поверхности
равного давления.
3. Относительное равновесие жидкости.
4. Силы давления жидкости на плоские и
криволинейные поверхности.

3.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ
p а f (dx , dy , dz )
р х1 р a ( p x) (dx 2)
р х 2 р a ( p x) (dx 2)
М ma dxdydz a
p x1dydz p x 2 dydz Xdxdydz 0
Х (1 ) ( p x)
Y (1 ) ( p y )
Z (1 ) ( p z )

4.

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
ГИДРОСТАТИКИ
( Xdx Ydy Zdz ) (1 ) (
p
p
p
dx dy dz ) 0
x
y
z
dp ( Xdx Ydy Zdz )
Z g
X Y 0
p gz C
z z0;
p p0
С p 0 gz 0
z p g z 0 p 0 g const
p p 0 gh

5.

ПОВЕРХНОСТЬ УРОВНЯ
Поверхностями
уровня называют
поверхности,
которые проходят
через точки с
одинаковым
гидростатическим
давлением
dp ( Xdx Ydy Zdz )
dp const 0
Xdx Ydy Zdz 0
X Y 0
Z g
z const

6.

ПРЕДЕЛЫ ИЗМЕНЕНИЯ
ДАВЛЕНИЯ

7.

ЭПЮРЫ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО
ДАВЛЕНИЯ
Распределение избыточного
давления вдоль плоской
вертикальной стенки при
одностороннем воздействии
жидкости
р gh
Fэп 1 2( gh )
2

8.

ЭПЮРЫ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО
ДАВЛЕНИЯ
Распределение избыточного и
полного давления вдоль
плоской наклонной стенки при
двустороннем воздействии
жидкости
р gh 1
p 1 p 0 gh 1
р 2 gh 2

9.

ЭПЮРЫ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО
ДАВЛЕНИЯ
Равновесие несмешивающихся
жидкостей
Котангенс угла наклона линии
давления прямо пропорционален
плотности жидкости
p 1 p 0 1 gh 1
p 2 p 1 2 gh 2 р 0 1 gh 1 2 gh 2
p 3 p 2 3 gh 3 р 0 1 gh 1 2 gh 2 3 gh 3

10.

ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ПОКОЙ
ЖИДКОСТИ
Х а; Y 0; Z g
adx gdz 0
ax gz const
ax gz
а g z x tg

11.

ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ПОКОЙ
ЖИДКОСТИ
Р а m r
2
Р х m 2r cos(r, x)
Р y m 2 r cos(r , y )
Х 2 x; Y 2 y; Z g
2dx 2dy gdz 0
r 2 gz const
2
2
h в R 2g
2
2
hв h R 2g
2
max
2

12.

ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ПОКОЙ
ЖИДКОСТИ
Vц Vж Vп
Vц R h
2
Vж R h0
2
Vп R 4g Vп R hв 2
2
2
4
R h R h 0 R hв 2
2
2
2
h в 2 h h 0
rб 2g h 0 h 2
rм 2g h 0 h 2

13.

СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ

14.

СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
dP pdF (p 0 gh )dF p 0 dF gh dF
P p 0 dF gh dF p 0 F g sin l dF
F
F
F
l dF l
C
F
F
P p 0 F g sin l C F p 0 F gh C F
P (p 0 gh C ) F p C F
l D l C I 0 (F l C )

15.

СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
I 0 bh 12 I 0 r 4 I 0 bh 36
3
4
3

16.

СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
P g h 2 bh 1 2 gh2b
3
h 2bh
2
hD
h
2
2 12bh
3
Fэп 1 2 gh
P Fэп b
2

17.

ГИДРОСТАТИЧЕСКИЙ
ПАРАДОКС
Р р F (p 0 gh ) F
Сила давления на дно сосуда, заполненного жидкостью,
не зависит от формы сосуда и формы его дна

18.

СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Р P P P
2
x
2
y
Pх gh Fyoz
/
c
Py gh Fxoz
//
c
Pz gVтд
2
z

19.

СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Р P P
2
x
2
z

20.

СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Вертикальная составляющая
силы давления
Горизонтальная составляющая
силы давления
dPz dP sin
dPх dP cos
dPz gh dFz
dPх gh dFх
dFz dF sin
dFх dF cos
Pz gh dFz
Pх gh dFх
F
F
Vтд h dFz
Pх gh c Fx
F
Pz gVтд
h D h c I 0 h c Fx

21.

СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Одностороннее воздействие жидкости
Вакуум
Избыточное давление
Pх р cи Fx
Pх gh c Fx
P g (h c Fx ) V
2
2
Pх р cв Fx
Pz gVтд
tg V (h c Fx )

22.

ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ
ДАВЛЕНИЯ
Пьезометр
Ртутно-чашечный манометр

23.

ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ
ДАВЛЕНИЯ
Вакуумметр
Ртутно-чашечный вакуумметр

24.

ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ
ДАВЛЕНИЯ
Дифференциальный манометр
( раб ж)
Дифференциальный манометр
( раб ж)

25.

ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ
ДАВЛЕНИЯ
Пружинный манометр
р
Мембранный манометр
р