Частные производные и их геометрические интерпретации. Полный дифференциал функции нескольких переменных

1.

1.2. Частные производные и их геометрические
интерпретации. Полный дифференциал функции
нескольких переменных.
1. Частные производные и их геометрические интерпретации.
2. Полный дифференциал функции нескольких переменных и
его приложения в приближенных вычислениях.

2.

Дадим аргументу х приращение Δх, а аргументу у
приращение Δу.
Тогда функция z получит значение
f ( x x, y y )
Величина
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
называется полным приращением функции в
точке (х,у).

3.

Если задать только приращение х или у, то
x z f ( x x, y) f ( x, y)
y z f ( x, y y ) f ( x, y )
- частные приращения функции.

4.

Полное приращение функции в общем случае
не равно суме частных приращений:
z x z y z

5.

Найти полное и частные приращения
функции
z x y

6.

x z ( x x) y x y
x y x y x y x y
y z x ( y y ) x y
x y x y x y x y

7.

z ( x x) ( y y ) x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y
Действительно
z x z y z

8.

Частной производной функции нескольких
переменных по одной из этих переменных
называется предел отношения
соответствующего частного приращения
функции к приращению рассматриваемой
независимой переменной, при стремлении
приращения переменной к нулю.
z x , z y ,
z
,
x
z
,
y
f x ( xy),
f y ( xy)

9.

xz
f ( x x, y ) f ( x, y )
z x lim
lim
x 0 x
x 0
x
yz
f ( x, y y) f ( x, y)
z y lim
lim
y 0 y
y 0
y

10.

Из определения частной производной следует, что
для нахождения производной
z x
нужно считать постоянной переменную у, а для
нахождения производной z y
нужно считать постоянной переменную х.
При
нахождении
частных
производных
сохраняются
известные
ранее
правила
дифференцирования.

11.

12.

Найти частные производные
функции
y
z x ln y
x

13.

z
y
z x
ln y 2
x
x
z x 1
z y
y y x

14.

Введем понятие частных производных второго
порядка.
Если частные производные
z
z x
x
и
z
z y
y
сами являются дифференцируемыми функциями,
то можно найти их частные производные,
которые называются частными производными
второго порядка:

15.

z
z xx f xx ( xy) 2
x
2
z
z yy f yy ( xy) 2
y
2

16.

Можно
также
производные:
определить
смешанные
z
z xy f xy ( xy)
x y
2
z
z yx f yx ( xy)
y x
2

17.

Если частные производные второго порядка
функции z=f(x,y) непрерывны в точке (х0,у0),
то в этой точке смешанные производные
равны:
f xy ( x0 , y0 ) f yx ( x0 , y0 )

18.

Вычислить частные производные
второго порядка функции
z 3x x sin y
2
в точке (1,0).

19.

z
z x
6 x sin y
x
z
z y
x cos y
y
z
z xx
6
2
x
z
z yy 2 x sin y
y
2
2 z
z xy
cos y
x y
2
2 z
z yx
cos y
y x

20.

z xx (1,0) 6
z xy (1,0) 0
z yy (1,0) 0
(1,0) 0
z yx

21.

Дифференциалом функции называется
сумма произведений частных
производных этой функции на
приращения соответствующих
независимых переменных.

22.

dz z x x z y y
dz z x dx z y dy
z
z
dz
x
y
x
y

23.

Функция z=f(x,y) называется
дифференцируемой в точке (x,y), если
ее полное приращение можно
представить в виде:
z dz x y

24.

Где dz – дифференциал функции;
( x, y )
( x, y )
- бесконечно малые величины при
x 0
и
y 0
Таким
образом,
дифференциал
функции
нескольких переменных – это главная, линейная
относительно приращений Δх и Δу часть полного
приращения функции.

25.

Для
функции
одной
переменной
существование конечной производной
y=f(x)
f (x )
и представление приращения функции в виде
y dy ( x) x
являются равнозначными утверждениями.
Для
функции
нескольких
переменных
существование частных производных является
необходимым но не достаточным условием
дифференцируемости функции.

26.

Если частные производные функции
z=f(x,y) существуют в некоторой
окрестности точки (x,y) и непрерывны
в самой точке (x,y), то функция
z=f(x,y) дифференцируема в этой точке.