Нахождение частных производных и полного дифференциала функции

1. Тема: Нахождение частных производных и полного дифференциала функции.

2. Основные понятия:

Частную производную по х обозначают
одним из следующих символов
z
f
; z x ;
; f x
x
x
Аналогично определяется частная
производная по у и вводятся её
обозначения.
Полный дифференциал функции z f х; у
Вычисляется по формуле
f
f
df
x
dx
y
dy

3. Основные понятия:

Частные производные вычисляются по тем же правилам, что
и вычисление производных функций одной переменной,
когда находим частную производную по х, то переменная у
считается константой (постоянным числом)
Частной производной второго порядка от функции f х; у ,
дифференцируемой в обл. D, называется первая
производная от соответствующей частной производной.
f xx ;
f xy ;
f yx ; f yy
f f f f
;
;
;
2
x
x y y x y y
2
2
2
2

4. Основные понятия:

Теорема о смешанных частных производных:
Если в некоторой окрестности точки М0(х0;у0) функции
имеет смешанные частные производные
f х; у
2 f 2 f
;
x y y x
Причём эти производные непрерывны в точке М0, то они равны в
этой точке
2 f
2 f
x y y x

5. Задание 1: Найдите частные производные первого порядка функции

z х; у x y 2 xy 5
z
2
3x 2 y
x
z
2 y 2 x
y
3
2

6. Задание 2: Найдите полный дифференциал функции

z х; у е
ху
z
z
dz dx dy
x
y

7. Задание 2: Найдите полный дифференциал функции

z х; у е
z
ху
ху
е ху х у е
x
z
z
z
ху
dz dx dy
х е
x
y
y
ху
dz у е dx х е dy
ху
dz е
ху
ху
уdx хdy

8. Задание 3: Найдите полный дифференциал функции

z
z
z х; у x y
2
dz
2
x
dx
y
dy

9. Задание 3: Найдите полный дифференциал функции

z
z
dz
z х; у x 2 y 2
z
1
2x
2
2
x 2 x y
x
x2 y2
z
1
2y
2
2
y 2 x y
dz
dz
x
x y
2
2
xdx ydy
x2 y2
dx
y
x2 y2
y
x y
2
2
dy
x
dx
y
dy

10. Задание 4: Найдите все частные производные второго порядка для функции

z х; у у 4 х у 6 xy 2 х у 5
5
2
4
3

11. Задание 4: Найдите все частные производные второго порядка для функции

z х; у у 5 4 х 2 у 4 6 xy3 2 х у 5
z
4 у 4 2 x 6 y 3 2 8 у 4 x 6 y 3 2
x
z
5 у 4 4 х 2 4 у 3 6 x 3 y 2 1 5 у 4 16 х 2 у 3 18 xy2 1
y

12. Задание 4: Найдите все частные производные второго порядка для функции

z х; у у 5 4 х 2 у 4 6 xy3 2 х у 5
z
8 у 4 x 6 y 3 2
x
2z
4
3
4
8
у
x
6
y
2
8
у
х
2
х
2z
8 у 4 x 6 y 3 2 у 8 x 4 у 3 6 3 y 2 32 ху3 18 y 2
х у

13. Задание 4: Найдите все частные производные второго порядка для функции

z х; у у 5 4 х 2 у 4 6 xy3 2 х у 5
z
5 у 4 16 х 2 у 3 18 xy2 1
y
2 z
4
2 3
2
3
2
2
5
у
16
х
у
18
xy
1
5
4
у
16
х
3
у
18 x 2 y
у
2
у
20 у 3 48 х 2 у 2 36 xy
2 z
5 у 4 16 х 2 у 3 18 xy2 1 х 16 у 3 2 х 18 y 2 32 ху3 18 y 2
у х

14. Задание 5: Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Задание 5:
Показать, что функция z х; у sin 2x 3 y
удовлетворяет уравнению
2 f
2 f
x y y x

15. Задание 5: Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Задание 5:
Показать, что функция z х; у sin 2x 3 y
удовлетворяет уравнению
2 z
2 z
x y y x
z
cos 2 x 3 y 2 x 3 y x 2 cos 2 x 3 y
x
z
3 cos 2 x 3 y
y

16. Задание 5: Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Задание 5:
Показать, что функция z х; у sin 2x 3 y
удовлетворяет уравнению
2 z
2 z
x y y x
z
2 cos 2 x 3 y
x
2z
2 cos 2 x 3 y у 2 sin 2 x 3 y 3
х у
6 sin 2 x 3 y

17. Задание 5: Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Задание 5:
Показать, что функция z х; у sin 2x 3 y
удовлетворяет уравнению
z
3 cos 2 x 3 y
2 z
2 z
x y y x
y
2z
3 cos 2 x 3 y х 3 sin 2 x 3 y 2
у х
6 sin 2 x 3 y
Вывод : Смешанные производные второго порядка равны.

18. Задание : Дана функция Найдите полный дифференциал и частные производные второго порядка

Задание :
Дана функция z х; у х 2 у 4 х у 6 у 2 5
Найдите полный дифференциал и частные
производные второго порядка

19. Задание : Дана функция Найдите полный дифференциал и частные производные второго порядка

Задание :
Дана функция z х; у х 2 у 4 х у 6 у 2 5
Найдите полный дифференциал и частные
производные второго порядка
z
2 ху 4 у
х
z
1
2х
2
2
х 4х
6 2у х
12 у
y
2 у
у
2 2х
dz 2 ху 4 у dx х
12 у dy
у

20. Задание : Дана функция Найдите полный дифференциал и частные производные второго порядка

Задание :
Дана функция z х; у х 2 у 4 х у 6 у 2 5
Найдите полный дифференциал и частные
производные второго порядка
z
2 ху 4 у
х
z
1
2х
х2 4х
6 2 у х2
12 у
y
2 у
у
2z
2
ху
4
у
2у
2
х
х
2 z 2 2 х
1 3 / 2
х
12 у 2 х у 12
2
у
у
2
у
2 z
2 z
x y y x

21. Задание 6: Дана функция Проверить, является ли она решением уравнения

Задание 6:
х
Дана функция z х; у
у
Проверить, является ли она решением
2 z z
уравнения
х
0
x y
y
2 z z
Покажем, что х
x y y

22. Задание 6: Дана функция Проверить, является ли она решением уравнения

Задание 6:
х
Дана функция z х; у
у
Проверить, является
ли она решением
2
z z
2 z z
уравнения х x y y 0. Покажем, что х x y y
1
1
z х
х
1)
х х 2 2
y у у
у
у у
у
2z
2z х
1
1
2)
2 2 х х 2
х у у x у х
у
у
1
х
3) х 2 2 верно.
у
у
х
Вывод : Данная функция z
является решением ур я.
у

23. Задание 7: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Задание 7:
х
Проверить, удовлетворяет ли функция z х; у 3 у 2 х
z 2 z
уравнению х z.
x
3 y

24. Задание 7: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Задание 7:
х
Проверить, удовлетворяет ли функция z х; у 3 у 2 х
z 2 z
уравнению х z.
x
3 y
z х 1 3 y 2 x 2 x
3y
1)
2
2
x 3 y 2 x x
3 y 2 x
3 y 2 x
z х
3x
1
x 3 y 2 x y
2)
y 3 y 2 x y
3 y 2 x 2
3y 2x
3y
2 3 x
х
х
3) х
верно.
2
2
2
3 y 2 x 3 3 y 2 x
3 y 2 x 3 y 2 x

25. Задание 7: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Задание 7:
Проверить, удовлетворяет ли функция
u х; у; z x y z x y z
уравнению u u u
x
y
z
0.

26. Задание 7: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Задание 7:
Проверить, удовлетворяет ли функция
u х; у; z x y z x y z
уравнению u u u
x
y
z
0.
u х; у; z x y z x y z
xz x yz xy y z
2
xyz x 2 y y 2 z xy2 xz2 x 2 z yz 2 xyz
xy x y y z xz x z yz
2
2
2
2
2
2

27. Задание 7: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Задание 7:
Проверить, удовлетворяет ли функция
u х; у; z x y z x y z
уравнению u u u 0.
x
y
z
u
y 2 2 xy z 2 2 xz
x
u
2 xy x 2 2 yz z 2
y
u
y 2 2 xz x 2 2 yz
z

28. Задание 8: Показать, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа

Задание 8:
Показать, что функция
z х; у ln x 2 y 2
удовлетворяет уравнению Лапласа
2 z 2 z
2 0
2
x y

29. Задание 8: Показать, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа

Задание 8:
Показать, что функция
z х; у ln x 2 y 2
удовлетворяет уравнению Лапласа
z
2x
2
2
x x y
z
2y
2
2
y x y
2 z 2 z
2 0
2
x y

30. Задание 8: Показать, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа

Задание 8:
Показать, что функция
z х; у ln x 2 y 2
удовлетворяет уравнению Лапласа
2 z 2 x2 y 2 4x2 2 y 2 x2
2
2
2
2
2
2 2
x
x y
x y
2 z 2 x2 y2 4 y2 2 x2 y2
2
2
2
2
2
2
2
y
x y
x y
2 z 2 z 2 y 2 2x2 2x2 2 y 2
2
0
2
2
x
y
x2 y2
2 z 2 z
2 0
2
x y

31. Задание 9 (дома): Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Задание 9 (дома):
y
Показать, что функция z х; у x sin x
z
z
2y
z
удовлетворяет уравнению 2 x
x
y

32. Спасибо за внимание! Автор: Якунина Татьяна Валерьевна.