Проводники в электрическом поле

1. Лекция № 3 ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

53
1

2. ВОПРОСЫ 8. Распределение зарядов в проводнике. Общая задача электростатики.

53
2

3. 9. Конденсаторы. Электроёмкость конденсаторов плоского, сферического, цилиндрического. Соединение конденсаторов параллельное и

последовательное.
10. Ёмкостные коэффициенты.
Энергия заряженного конденсатора.
Объёмная плотность электрической
энергии. Сила взаимодействия
обкладок конденсатора.
53
3

4. 8. Распределение зарядов в проводнике. Общая задача электростатики.

53
4

5. Если телу сообщить избыточный заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдалось равновесие. Это означает, поток вектора

электрической напряжённости через
любую замкнутую поверхность
внутри проводника равен нулю, то
есть, весь заряд распределился по
поверхности проводника внутри
проводника не может быть никаких
зарядов.
53
5

6. Даже если удалить полость внутри проводника, это никаким образом не повлияет на электростатическое поле, так как все заряды

находятся
снаружи.
53
6

7. Рассмотрим потенциал φ и поверхностную плотность заряда σ для шара:

1 q
q 4πε0 R
4πε0 R
q
q
1
1
σ
ε 0 σ ~
2
S 4πR
R
R
53
7

8. То есть, чем «острее» данный участок проводника, тем больше на нём скапливается зарядов. Этот вывод соответствует минимуму

энергии: чем дальше заряды друг от
друга, тем меньше сила
взаимодействия и меньше
потенциальная энергия.
53
8

9.

53
9

10. Большей плотности поверхностного заряда соответствует большая напряжённость поля и большее число силовых линий. Вблизи

проводника эквипотенциальные
линии повторяют поверхность тела.
53
10

11. Чем дальше от проводника, тем больше они напоминают сферу, то есть с ростом расстояния поле всё больше походит на поле от

точечного заряда.
53
11

12. Общая задача электростатики. Уравнения Пуассона и Лапласа.

53
12

13. В диэлектрическое среде заданы расположение и форма всех проводников. Известна диэлектрическая проницаемость среды ε между

проводниками и
объёмная плотность свободных
электрических зарядов во всех
точках диэлектриков.
53
13

14. Кроме того, известны: а) либо потенциалы всех проводников; б) либо заряды всех проводников; в) либо заряды некоторых

проводников и потенциалы всех
остальных проводников.
53
14

15. Требуется определить напряжённость электрического поля во всех точках пространства по поверхностям проводников.

53
15

16. Задача сводится к нахождению потенциала φ как функции пространственных координат (x, y, z). Найдём дифференциальное уравнение,

которому должна
удовлетворять эта функция.
53
16

17. Берём теорему Гаусса

ρ
div εE ,
ε0
ρ
div ε grad
ε0
53
17

18. Если диэлектрик однороден (ε не зависит от координат), то

ρ
divgrad
ε 0ε
53
18

19. Или уравнение Пуассона оператор Лапласа

Или уравнение Пуассона
ρ
ε 0ε
оператор Лапласа
2 2 2
x y z
2
2
2
2
53
19

20. Если нет свободных зарядов, то получаем уравнение Лапласа: Решение дифференциального уравнения единственное.

Если нет свободных зарядов, то
получаем уравнение Лапласа:
0
Решение дифференциального
уравнения единственное.
53
20

21. Зеркальное изображение электрических полей Пусть положительный точечный заряд +q находится на расстоянии r от безграничной

проводящей
незаряженной плоскости.
53
21

22. Этот заряд индуцирует на бесконечной проводящей плоскости заряд противоположного знака, где сплошными линиями показаны линии

напряженности электростатического
поля.
Сама проводящая плоскость
является эквипотенциальной с = 0.
53
22

23.

53
23

24. Метод электрического (зеркального) изображения основан на том, что замена любой эквипотенциальной поверхности электрического

поля
бесконечной проводящей плоскости
с тем же потенциалом не вызывает
изменения этого поля.
53
24

25. Если на расстоянии, равном расстоянию заряда +q, от плоскости слева поместить «фиктивный» отрицательный точечный заряд q*= q

Если на расстоянии, равном
расстоянию заряда +q, от плоскости
слева поместить «фиктивный»
отрицательный точечный заряд
q*= q [он является «зеркальным»
отражением заряда +q относительно
плоскости], то картина линий
напряженности слева от плоскости
зеркально совпадет с линиями
напряженности действительного
электрического поля справа.
53
25

26. В этом случае вектор напряженности результирующего поля зарядов +q и q во всех точках плоскости будет перпендикулярен ей

В этом случае вектор напряженности
результирующего поля зарядов +q и
q во всех точках плоскости будет
перпендикулярен ей (картина линий
напряженности точно такая же, как и
для электрического поля, созданного
системой двух равных по величине,
но противоположных по знаку
точечных зарядов).
53
26

27. Следовательно, электрическое поле справа от плоскости определяется только зарядами +q и q. Сила притяжения заряда +q к

Следовательно, электрическое поле
справа от плоскости определяется
только зарядами +q и q.
Сила притяжения заряда +q к
проводящей плоскости равна
кулоновской силе, которая действует
между зарядами +q и q по закону
Кулона, ( q зеркальное
изображение заряда +q).
Где расстояние между зарядами
равно удвоенному расстоянию 2r.
53
27

28.

53
28

29. 9. Конденсаторы. Электроёмкость конденсаторов плоского, сферического, цилиндрического. Соединение конденсаторов параллельное и

последовательное.
53
29

30. Рассмотрим проводник, изолированный от влияния других проводников и заряженных тел. При сообщении заряда q проводнику возникает

потенциал ,
пропорциональный этому заряду
( q).
53
30

31. Опыт показывает, что отношение заряда проводника к его потенциалу не зависит ни от заряда, ни от потенциала, является для

данного
проводника величиной постоянной,
которую называют электрической
ёмкостью проводника С (ёмкостью),
т.е.
С = q / .
53
31

32. Найдем емкость проводящего шара радиуса R. Потенциал на поверхности заряженного шара можно найти следующим образом (φ∞=0)

Найдем емкость проводящего шара
радиуса R. Потенциал на
поверхности заряженного шара
можно найти следующим образом
E d Er dr
R
R
q
q
d
r
2
4π ε 0εR
R 4π ε 0 εr
(φ∞=0)
53
32

33. Отсюда, ёмкость металлического шара или сферы: С = q/φ =40R, где  – диэлектрическая проницаемость окружающей среды, R –

Отсюда, ёмкость металлического
шара или сферы:
С = q/φ =4 0 R, где –
диэлектрическая проницаемость
окружающей среды, R – радиус
шара.
Следовательно, ёмкость проводника
зависит только от размеров и
формы, диэлектрической
проницаемости окружающей среды и
наличия вблизи других проводников.
53
33

34. В СИ емкость измеряют в фарадах. Например, электроемкость Земного шара – С  0,7 мкФ.

В СИ емкость измеряют в фарадах.
Например, электроемкость Земного
шара – С 0,7 мкФ.
53
34

35. Если вблизи заряженного проводника находятся другие проводники, то ёмкость его будет увеличиваться, так как электрическое поле

вызывает
появление на других проводниках
индуцированных зарядов.
53
35

36. Например, если заряд проводника положительный, то отрицательные индуцированные заряды на других телах располагаются ближе к

проводнику, что приведет к
уменьшению потенциала данного
проводника, а ёмкость увеличится.
53
36

37.

53
37

38. Систему двух разноименно заряженных плоскостей (обкладок) называют плоским конденсатором. Их заряды равны по абсолютной

величине ( + q = – q = q).
53
38

39. Если расстояние между обкладками много меньше их размеров, то электрическое поле является практически однородным и

сосредоточено между обкладками.
Вне конденсатора поле практически
равно нулю.
53
39

40. Основной характеристикой конденсатора является электрическая емкость C = q / , где  – разность потенциалов между его

Основной характеристикой
конденсатора является
электрическая емкость
C = q / ,
где – разность потенциалов
между его обкладками.
53
40

41. Напряженность электрического поля между его обкладками Е = σ / ε0 ε, где q = S,  – поверхностная плотность заряда на

Напряженность электрического поля
между его обкладками
Е = σ / ε0 ε,
где q = S, – поверхностная
плотность заряда на обкладках
конденсатора; S – площадь его
обкладок.
53
41

42. Используя связь напряженности с разностью потенциалов, в виде  = Е d, получим d – расстояние между обкладками конденсатора,

Используя связь напряженности с
разностью потенциалов, в виде
= Е d, получим
ε o εS
C
d
d – расстояние между обкладками
конденсатора, если между
обкладками вакуум, то ε = 1.
53
42

43. Получим выражение для ёмкости сферического конденсатора. Разность потенциалов между обкладками

q 1 1
Er dr
4πεo ε R1 R2
R
R2
1
53
43

44. Следовательно, емкость сферического конденсатора, с учетом того, что пространство между обкладками заполнено диэлектрической

средой с
проницаемостью :
R1R2
C 4πε0ε
R2 R1
53
44

45. Найдем емкость цилиндрического конденсатора, представляющего собой систему двух цилиндров, вставленных один в другой с общей

осью.
53
45

46. Проводя аналогичные рассуждения, как и в случае со сферическим конденсатором, получим

2πε0εh
C
R2
ln
R1
53
46

47. Последовательное соединение конденсаторов. Все внутренние обкладки при последовательном соединении электризуются через влияние.

Их
заряды равны по величине, но
противоположны по знаку
( + q = – q = q).
53
47

48. Следовательно, заряды на всех конденсаторах при последовательном их соединении равны, а потенциалы складываются  = 1 – 2 =

Следовательно, заряды на всех
конденсаторах при
последовательном их соединении
равны, а потенциалы складываются
= 1 – 2 = 1 + 2 + ... + n
53
48

49.

1
1
1
1
...
C C C
C
1
2
n
53
49

50. При параллельном соединении все конденсаторы имеют постоянную разность потенциалов 1 – 2 = const. Полный заряд батареи

При параллельном соединении все
конденсаторы имеют постоянную
разность потенциалов
1 – 2 = const.
Полный заряд батареи
конденсаторов складывается
q = q1 + q2 +...+ qn.
Ёмкость батареи конденсаторов
С = С1 + С2 + ... + Сn.
53
50

51.

53
51

52.

53
52

53. 10. Ёмкостные коэффициенты. Энергия заряженного конденсатора. Объёмная плотность электрической энергии. Сила взаимодействия

обкладок конденсатора.
53
53

54. Решения задачи о нахождении электрических полей в системе N статических заряженных проводников упрощаются, если воспользоваться

следующим
свойством: заряды проводников
являются линейными, однородными
функциями их потенциалов, а
потенциалы линейными,
однородными функциями зарядов.
53
54

55. Коэффициенты этих линейных зависимостей называют емкостными коэффициентами, которые определяются размерами, формой и взаимным

расположением
проводников.
53
55

56. Если пространство между проводниками заполнено однородным диэлектриком, в котором нет свободных зарядов, то емкостные

коэффициенты прямо
пропорциональны его
диэлектрической проницаемости.
53
56

57. Согласно линейности и однородности уравнений электростатики (например, уравнение Лапласа) аналитически это свойство

записывается в виде
N
qi Cij j
j 1
53
57

58. где qi  заряд i-го проводника; j  потенциал j-го проводника; Сij  емкостные коэффициенты (индексы i, j = 1, 2, ... , N).

где qi заряд i-го проводника; j
потенциал j-го проводника; Сij
емкостные коэффициенты (индексы
i, j = 1, 2, ... , N).
53
58

59. В свою очередь, емкостные коэффициенты характеризуются следующими свойствами: 1) Сij = Сji; 2) Сii  0 для всех i.

В свою очередь, емкостные
коэффициенты характеризуются
следующими свойствами: 1) Сij = Сji;
2) Сii 0 для всех i. Действительно,
емкостные коэффициенты Сij с
одинаковыми индексами (i = j)
положительны. Заземлим все
проводники, кроме i-го и j- го, тогда qi
= Cii i. Но величины qi и i имеют
одинаковые знаки.
53
59

60. Следовательно, Сii  0. 3) Сij  0, если i  j, т. е. емкостные коэффициенты с различными индексами  отрицательны.

Следовательно, Сii 0. 3) Сij 0,
если i j, т. е. емкостные
коэффициенты с различными
индексами отрицательны.
Действительно, заземлим все
проводники, кроме i-го и j-го.
Сообщим i-му проводнику
положительный заряд (qi 0), а j-й
останется не заряженным (qj = 0),а
потенциалы i и j будут
положительными.
53
60

61. Причем qj = Сjii + Cjjj = 0, что возможно, если Сji  0. Во всех случаях потенциал поля в бесконечности равен нулю. Если

Причем qj = Сji i + Cjj j = 0, что
возможно, если Сji 0. Во всех
случаях потенциал поля в
бесконечности равен нулю. Если
число проводников (обкладок
конденсатора) равно двум, то
q1 = C11 1 + C12 2,
q2 = C21 1 + C22 2,
+q = q = q.
53
61

62. Решая эти уравнения относительно 1 и 2, находим разность потенциалов и емкость конденсатора

Решая эти уравнения относительно
1 и 2, находим разность
потенциалов и емкость конденсатора
C11C22 C12C21
C
C11 C12 C21 C22
53
62

63.

53
63

64. Потенциальная энергия заряда q0 в поле системы зарядов и потенциальная энергия системы зарядов, соответственно:

qi q j
1
Wp
2 i j 4πε0 rij
qi q0
Wp
i 1 4 πε0 ri
n
53
64

65. Первое выражение можно представить в виде (энергия одного заряда в системе зарядов) Wpi = qi i, где qi – i-й заряд системы; i

Первое выражение можно
представить в виде (энергия одного
заряда в системе зарядов) Wpi = qi i,
где qi – i-й заряд системы; i –
результирующий потенциал,
создаваемый всеми остальными
зарядами системы в месте
нахождения заряда qi.
53
65

66. Просуммировав энергию каждого заряда можно получить энергию всей системы

1 N
W qi i
2 i 1
53
66

67. Если заряды распределены по объему с объемной плотностью заряда , то систему зарядов можно представить как совокупность

Если заряды распределены по
объему с объемной плотностью
заряда , то систему зарядов можно
представить как совокупность
элементарных зарядов
dq = dV, т. е. dW = dq = dV.
С учетом этого предыдущая
формула принимает вид
1
W ρdV
2V
53
67

68. Используя эту формулу найдем энергию изолированного (уединенного) проводника. Если проводник имеет заряд q и потенциал  =

Используя эту формулу найдем
энергию изолированного
(уединенного) проводника. Если
проводник имеет заряд q и
потенциал = const во всех точках,
где распределен заряд, то
1
q q
C
W ρdV
2 V
2 2C
2
2
53
2
68

69. Так как для плоского конденсатора (два заряженных проводника) q = C , то Для нахождения энергии мы использовали только заряды

Так как для плоского конденсатора
(два заряженных проводника)
q = C , то
q q
C
W
2
2C
2
2
2
Для нахождения энергии мы
использовали только заряды и
потенциалы.
53
69

70. Основной характеристикой электрического поля является вектор напряженности Е. Тогда энергию электрического поля между

обкладками плоского конденсатора
можно найти, преобразуя
предыдущую формулу с учетом того,
что = Е d, C = ε0 ε S / d и V = S d:
ε oεE
W
V
2
2
53
70

71. Если поделить энергию заряженного конденсатора W на его объём V, то получим объёмную плотность энергии для электростатического

поля (выражение получено из
условий для однородного поля, но
оно справедливо и для
неоднородных полей)
ε 0ε E
w
2
53
2
71

72. Возьмём выражение для энергии заряженного плоского конденсатора и продифференцируем его по направлению перпендикулярному

плоскости обкладок
2
2
q
q
W
d
2C 2ε 0εS
53
72

73. Мы получили силу, с которой обкладки конденсатора притягивают друг друга.

F gradW
2
2
d
d
q
d
q
Fx W
d
dx
dx 2ε 0εS
dx 2ε 0εS
x
2
q
F
2ε 0εS
Мы получили силу, с которой
обкладки конденсатора притягивают
друг друга.
53
73