Расчет на выносливость по контактным напряжениям

1. Лекция 4. Расчет на выносливость по контактным напряжениям

Задача Герца
Вывод формул для проверочного и проектного
расчетов
Коэффициент контактной нагрузки
Детали машин
1

2. Задача Герца для случая контакта двух цилиндров

Контактная прочность зубьев явля-
ется основным критерием работоспособности закрытых и хорошо
смазываемых зубчатых передач.
Для расчета зубьев по контактным
напряжениям используется разработанная Герцем теория статически
сжатых цилиндров.
Расчетная схема контакта двух
цилиндров, имеющих радиусы ρ1 и ρ2,
показана на рис.
Детали машин
2

3. Контактные напряжения при взаимодействии двух цилиндров

Первоначальный контакт цилиндров осуществляется по
линии.
При сжатии цилиндров нагрузкой
Fn, равномерно
FE
σ =
,
распре-деленной вдоль образующих,
за счет упругой
2π(1 ν )ρ b
деформации линия контакта заменяется площадкой, по
которой распре-делены контактные напряжения.
Наибольшее
значение
контактных
напряжений
определя-ется по формуле Герца, которая для стальных
цилиндров имеет вид:
n
H
пр
2
пр
Eпр =
2 E1 E2
E1 E2
где Eпр – приведенный модуль упругости,
Детали машин
3

4. Контактные напряжения при взаимодействии двух цилиндров

E1 и E2 – модули упругости материалов цилиндров;
ν – коэффициент Пуассона;
b – длина контактных линий;
ρρ
ρпр – приведенный радиус кривизны цилиндров;
ρпр = 1 2 ;
ρ1 ρ 2
ρ1 и ρ2 – радиусы цилиндров;
знак “+” – для внешнего касания цилиндров,
знак “–“ – для внутреннего касания.
Экспериментально установлено, что разрушение
зубьев при действии контактных напряжений
начинается вблизи от полюса.
Детали машин
4

5. Контактные напряжения в зацеплении

Радиусы цилиндров в
формуле Герца
заменяют
мгновенными
радиусами кривизны
эвольвентных
профилей зубьев при
их контакте в полюсе
(рис.)
ρ1 = K1P = rw1 sin αw,
ρ2 = K2P = rw2 sin αw.
Отсюда сur
учетом
w1 sin α w
ρпр =
.
зависимости
u=r
/r
u 1 w2 w1
получим:
Детали машин
5

6. Контактные напряжения в зацеплении

Cилу Fn, нормальную к профилям, определим через
окруж-ную силу с учетом коэффициента контактной
K H Ft
нагрузки
Fn =
cos α w
.
Коэффициент контактной нагрузки KH
учитывает
дополни-тельные нагрузки, связанные с условиями
нагружения, точно-стью изготовления зубьев, жесткостью
валов, опор и др.
Суммарную длину контактных линий при зацеплении
обозна-чают lΣ. В зоне однопарного зацепления lΣ = bw; в
зоне двухпар-ного зацепления lΣ = 2bw, где bw – рабочая
ширина зубчатого венца. Экспериментально установлено,
что для прямозубых пе-редач эквивалентная с точки зрения
контактной прочности суммарная длина контактных
линий выражается
через коэффи-циент торцевого
Детали машин
6

7. Контактные напряжения при взаимодействии зубьев

Подставим полученные зависимости в формулу Герца,
прини-мая b = lΣ, и преобразуем ее к виду
σH = ZEZHZε
где ZE =
Eпр
2π(1 ν )
2
K H Ft (u 1)
,
bw d w1u
, ZH =
2
, Zε =
cos α w sin α w
(3)
4 εα
.
3
Введенные коэффициенты учитывают:
ZE - механические свойства материалов зубчатых колес;
ZH - форму сопряженных поверхностей зубьев в полюсе
зацепления;
Zε - суммарную длину контактных линий.
Детали машин
7

8. Контактные напряжения при взаимодействии зубьев

Принимая αw=20°, εα = 1,6, для стальных колес ν=0,3, Eпр=E1=
=E2=2,1∙105 МПа, получим ZE = 190 МПа ; ZH = 2,5; Zε = 0,9.
Выразим окружную силу через крутящий момент на
Z K T (u 1)
σ =
σ
b
u
a
шестерне
2000T1
Ft=
d1
Подставим Ft в выражение (3), заменяя bw на bw2, и
запишем
формулу
для
проверочного
расчета
цилиндрической прямо-зубой передачи на выносливость
по контактным напря-жениям:
3
H
σ
w
H 1
HP
w2
(4)
где Zσ = ZE ZH Zε
500 ≈ 9600 √МПа.
Детали машин
8

9. Проектный расчет передачи на выносливость по контактным напряжениям

выносливость по контактным
напряжениям
Выразим b через межосевое расстояние b = ψ
aw,
подставим bw2 в неравенство (4) и решая его относительно
aw, запишем формулу для проектного расчета
цилиндрической прямозубой передачи на выносливость
по контактным напряжениям
K H T1
aw ≥ Ka (u 1) 3
,
2
ψ ba uσ HP
где Ka = 3 Z σ2 = 450 3 МПа .
На этапе проектного расчета рекомендуется принимать
коэффициент контактной нагрузки KH=1,2, а коэффициент
ширины венца колеса ψba выбирать из стандартного ряда
по ГОСТ 2185-66: при симметричном расположении
передачи
относительно
опор
ψba=0,315…0,5;
при
несимметричном ψba=0,25…0,4; для шевронных передач ψba
Детали машин
9
= 0,4…0,63.
w2
w2
ba

10. Расчет геометрических параметров передачи

Полученное значение aw округляют до ближайшей
большей стандартной величины по табл. ГОСТ 2185-66
Ряды
Значения межосевых расстояний, мм
1
40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000
2
71 90 112 140 180 225 280 355 450 560 710 900 1120 1400
Модуль выбирают по табл. ГОСТ 9563-60 из диапазона
m = (0,01…0,02) aw
Ряды
1
2
Значения модулей, мм
1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10
1.125 1.375 1.75 2.25 2.75 3.5 4.5 5.5 7 9
Для большего колеса ширину зубчатого венца вычисляют
по формуле: bw2 = ψba aw и округляют до ближайшего
числа из ряда нормальных линейных размеров.
Детали машин
10

11. Числа зубьев, передаточное число

Ширину венца шестерни принимают на 2…5 мм больше
bw2 для компенсации осевого смещения зубчатых колес изза неточностей сборки.
Для нулевой передачи справедливо равенство
aw=0.5(d1+d2)=0.5m(z1+z2).
Отсюда суммарное число зубьев
zΣ=z1+z2=2aw/m.
В случае нулевой передачи сочетание aw и m следует
подбирать таким, чтобы zΣ было целым числом. Число
зубьев шестерни определяют по формуле z1= zΣ/(u+1) и
округляют до ближайшего целого числа. Число зубьев
колеса z2 = zΣ – z1.
Фактическое передаточное число uф= z2/z1. Значение uф не
должно отличаться от номинального более чем на 2.5 % при
u≤4.5 и более чем
намашин
4 % при u > 4.5.
Детали
11

12. Диаметры окружностей зубчатых колес

Делительные окружности d1 = mz1/cos β, d2 = mz2/cos β,
где β – делительный угол наклона зуба.
Для прямозубых передач β=0°.
Окружности вершин и впадин зубьев:
daj = dj + 2m(1+ xj ∆y);
dfj = dj 2m(1.25 xj),
где j = 1 для шестерни, j = 2 для колеса; xj – коэффициенты
смещения; ∆y– коэффициент уравнительного смещения,
∆y = xΣ (aw a)/m.
Здесь a делительное межосевое расстояние.
В случае нулевой передачи a = aw , xΣ= ∆y= 0.
Окружная скорость в зацеплении
V = πd1n1/60000.
Детали машин
12