Лекция 4. Законы постоянного тока

1.

• Геологический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова
• Кафедра геофизики
• Лекция 4.
Профессор И.Н.Модин
Законы постоянного тока

2. Постоянный ток: Закон Ома

• ЗО в дифференциальной форме j=s . E,
где s=1/r ; r - удельное электрическое
сопротивление
j
L
IR U
s
U
U U
L
I j s s E s
s
rL
r
R
s
- закон Ома в интегральной форме
(или закон Ома для участка цепи)

3. Пример 1: электрическое поле в верхнем слое

J
J
j
s 0 E
h1
J
E r0
h1

4. Пример 2: Растекание тока в верхнем слое

Электрическое поле цилиндра
J
J
E jr1 r1 r1
s
2 R h1
Нормальное электрическое
поле
J
E j0 r1 r1
2 R2
Кажущееся
Е
R
сопротивление r к r1 Е r1 h
0
1

5. Вывод уравнения Лапласса

• Используем 1-ое уравнение
Максвелла
• div j = 0 – закон Кирхгофа
div rot A = 0 всегда
divj dv j ds I
V
S
0
S
• div j = 0 путем
последовательных подстановок
s
s
при
x =
y
превращается в
= sz
U =0

6. Граничные условия

1-ое ГУ
2-ое ГУ
3-ье ГУ
• 1- Электрические потенциалы равны на границе двух
сред
• 2- Нормальные компоненты плотности тока равны
• 3- Тангенциальные компоненты электрического поля
равны

7. Замечание 1. 3-е граничное условие

Тангенциальная компонента электрического поля
пересекает границы без изменения амплитуды

8. 2 Примера

А 2
Примера
1
2
3
4
E1
В
E4
r = E /j = r
к
1 0
4
1- электрическое поле передается
через разрез наверх
2 – можно измерять электрическое
поле в воздухе

9. Замечание 2. Если среда поляризуется,

то меняется сопротивление
среды

10. Граничные условия с ВП

E проп E 0
E вп
100%
100%
E проп
E проп
jr jr
*
jr
*
r
r
1
*
Первый тип граничных условий при
объемной поляризации
U U
*
1
*
2
1 1 U 1* 1 2 U 2*
r1 n
r 2 n

11. Граничные условия с ВП

Второй тип граничных условий при
поверхностной
поляризации
на
поверхности проводников в результате
протекания тока образуются мощные
электрические заряды :
U
U U
n
*
*
1 1 U 1 1 2 U 2
r1 n
r 2 n
*
1
*
2
1-ое граничное условие
2-ое граничное условие

12. Поле на «бесконечности» при r

8
Поле на «бесконечности» при r
Электрическое поле и его потенциал стремятся к нулю на
больших расстояниях от источника поля
З а м е ч а н и я:
• В природе источники тока всегда бывают в паре « +
и это обеспечивает убывание поля для любых типов
источников не медленнее, чем 1/r или Ln(Ra/Rb)
• Все источники физически имеют конечные размеры и на
«бесконечности» всегда превращаются в точку
-»

13. Влияние поверхности Земли

Влияние
зарядов, индуцированных
на
поверхности
Земли,
можно заменить
мнимым источником,
расположенным в однородном проводящем пространстве
U=UA+U*A= Ir /((xm-xa)2+(zm-za)2) 1/2
+ I r /((xm-xa)2+(zm+za)2) 1/2

14. Принцип взаимности

Принцип
Принцип
взаимности
взаимности
U am / Ia = U ma / Im
A
M N
B
M
A B
N
1. Использование полевых инверсных
установок
приводит к автоматизации процесса сбора данных
и дает возможность использовать многоканальные
установки. Полезный сигнал не меняется, а
пропорционально длине линии MN возрастают помехи.
2. Принцип взаимности активно используется при
решении прямых задач, когда при одной поляризации
поля можно сразу получить множество решений для
целого набора разносов.

15. Теорема суперпозиции

Теорема
Теорема суперпозиции
суперпозиции
U = U a + U b + U c + …..
E = E a + E b + E c + …..
j = j a + j b + j c + …..
Теорема суперпозиции активно используется при
расчетах полей от разного рода источников :
искусственных, естественных, вторичных , ВП и т.д.
Теорема позволяет всегда использовать соотношение
для любой среды
rк
AmnB
r
Amn
r
2
mnB

16. Е и U вблизи двух электродов

Jr 1
1
Uab
2 Ram Rbm
Uab
Eab
x
Jr xm xa xm xb
Eab
3
3
2 ( Ram ) ( Rbm )
Вблизи электродов E убывает как 1/r2
Вблизи электродов U убывает как 1/r
Вне установки поле меняется как поле диполя
В центре установки поле однородное не равно 0
6

17. Разрезы чувствительности для трехэлектродной установки

ОВ=0.5
ОВ=1.0
При увеличении разноса в два раза глубинность
исследования возрастает в два раза
8

18. Зависимость глубины исследования от действующего разноса

1
1
j( z)
jmax ( z 0)
j( z)
jmax ( z 0)
1
j( z)
jmax ( z 0)
При увеличении расстояния до точки измерения от питающего
электрода меняется нормированная плотность тока в разрезе
J
j( z)
2
1
r2 z2
J
jmax ( z 0)
2
1
r2
j( z)
jmax ( z 0)
1
z2
1 2
r
8

19. Сравнительная глубинность установок

Чем быстрее затухает поле тем меньше
глубинность
8

20. Нормальное поле и потенциал точечного источника над однородным полупространством

U 0
U r 0
1 2 U
U 2
R
0
R R
R
U
R
C0
R
2
C0
U
C
R
U C0
E
2
R R
Т.к. U r 0
С0 ?
2
j ds j 2 R I
Чему равно
Должен
выполняться
Закон Кирхгофа S
То
С=0
I
j
2 R 2
8

21. Нормальное поле и потенциал точечного источника над однородным полупространством

Должен выполняться Закон Ома
Ir
E jr
2 R 2
Отсюда следует , что
С0
Ir
2
Потенциал и поле
Ir
U
2 R
Ir
E
R
3
2 R
Потенциал двух источников
Jr 1
1
U Ua Ub
2 Ram Rbm
8

22. Нормальное поле и потенциал точечного источника над однородным полупространством

Поле двух источников
Jr Ram
Rbm
E Ea Eb
3
3
2 ( Ram ) ( Rbm )
Ram ( xm xa ) ( ym ya )
2
2
Rbm ( xm xb ) 2 ( ym yb ) 2
Ram ( xm xa ) 1x ( ym ya )1y
Rbm ( xm xb ) 1x ( ym yb ) 1y
Z=0
Jr Ram
Rbm
lx 1x l y 1y
El E 1l
3
3
2 ( Ram ) ( Rbm )
8

23. Нормальное поле и потенциал точечного источника над однородным полупространством

Проекция поля двух источников на направление
Jr ( xm xa ) lx ( ym xa ) ly ( xm xb ) lx ( ym xb ) ly
El E 1l
3
3
2
( Ram )
( Rbm )
Потенциал диполя
Jr 1
1 Jr ( Rb Ra )
Rb-Ra=AB – длина диполя
U
2
2 Ra Rb 2
R
Jr AB cos
U
2
R2
Очевидно , что
Uд Jr 2 AB cos
Er
R 2
R3
1 Uд Jr AB sin
E
R
2
R3 8