Напряженность и потенциал

1. Напряженность и потенциал

В предыдущей теме было показано, что
взаимодействие между покоящимися
зарядами осуществляется через
электростатическое поле. Описание
электростатического поля мы
рассматривали с помощью
вектора
напряженностиE , равного силе,
действующей в данной точке на
помещенный в неё пробный единичный
F
положительный заряд
E .
q
1

2.

• Существует и другой способ описания
поля – с помощью потенциала.
• Однако для этого необходимо сначала
доказать, что силы электростатического
поля консервативны, а само поле
потенциально.
2

3.

Работа сил электростатического поля.
• Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным
точечным зарядом q.
• В любой точке этого поля на пробный точечный заряд
q' действует сила F
1 qq' r
r
F
F
(
r
)
2
4πε0 r r
r
3

4.

1 qq' r
r
F
F
(
r
)
2
4πε0 r r
r
r
– единичный
r
• где F(r) – модуль вектора силы ,
вектор, определяющий положение заряда q
относительно q', ε0 – электрическая постоянная.
4

5.

• Для того, чтобы доказать, что
электростатическое поле потенциально,
нужно доказать, что силы электростатического
поля консервативны.
• Из раздела «Физические основы механики»
известно, что любое стационарное поле
центральных сил является консервативным,
т.е. работа сил этого поля не зависит от
формы пути, а только от положения конечной
и начальной точек.
5

6.

• Вычислим работу, которую совершает
электростатическое поле, созданное зарядом
q по перемещению заряда q' из точки 1 в
точку 2.
• Работа на отрезке пути dl равна:
1 qq'
dA Fdlcosα
dlcosα,
2
4πε0 r
• где dr – приращение радиус-вектора при
перемещении на dl; dr dl cosα,
qq'
dA
d
r
.
2
4πε0 r
6

7.

• Полная работа при перемещении из точки 1
в точку 2 равна интегралу:
qq' dr qq' 1 r2 qq' 1 1
A12
.
2
4πε0 r1 r 4πε0 r r1 4πε0 r1 r2
r2
7

8.

• Работа электростатических сил
не зависит от формы пути, а
только лишь от координат
начальной и конечной точек
перемещения. Следовательно,
силы поля консервативны, а само
поле – потенциально.
8

9.

• Если в качестве пробного заряда,
перенесенного из точки 1 заданного поля в
точку 2, взять положительный единичный
заряд q, то элементарная работа сил поля
будет равна:
dA qEd l .
9

10.

• Тогда вся работа равна:
A
q
E
d
l
.
1
• Такой интеграл по замкнутому контуру
называется циркуляцией вектора
E
• Из независимости линейного интеграла от пути
между двумя точками следует, что по
произвольному замкнутому пути:
2
E
d
l
0
.
теорема о циркуляции вектора E
.
10

11.

• Для доказательства теоремы разобьем
произвольно замкнутый путь на две части: 1а2 и
2b1. Из сказанного выше следует, что
2
1
1
2
Edl Edl.
• (Интегралы по модулю равны, но знаки
противоположны). Тогда работа по замкнутому
пути:
2
1
A q Ed l q Ed l q Ed l 0.
1
2
11

12.

• Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд важных
выводов, практически не прибегая к расчетам.
• Рассмотрим простой пример, подтверждающий это
заключение.
• 1)Линии электростатического поля не могут быть
замкнутыми. В самом деле, если это не так, и какая-то
линия E – замкнута, то, взяв циркуляцию вдоль этой
линии, мы сразу же придем к противоречию
с
теоремой о циркуляции вектора E :
Ed l 0.
• А в данном случае направление интегрирования в одну
сторону, поэтому циркуляция вектора E не равна нулю.
12

13. Работа и потенциальная энергия

• электростатическое поле
потенциально.
• Следовательно, можно ввести
функцию состояния, зависящую от
координат – потенциальную
энергию.
13

14.

• Исходя из принципа суперпозиции сил ,
F Fk
k
• можно показать, что общая работа А будет
равна сумме работ каждой силы:
A Ak .
k
• Здесь каждое слагаемое не зависит от
формы пути, следовательно, не зависит от
формы пути и сумма.
14

15.

• Работу сил электростатического поля можно
выразить через убыль потенциальной энергии
– разность двух функций состояний:
A12 W1 W2 .
Это выражение для работы можно переписать в
виде:
qq'
qq'
A
.
12
4πε0 r1
4πε0 r2
• Сопоставляя формулу получаем выражение для
потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q:
1
qq'
W
4 0 r
15

16. Потенциал. Разность потенциалов

• Разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в
одной и той же точке поля разными энергиями
W', W'' и так далее. Однако отношение W / q'пр.
будет для всех зарядов одним и тем же.
• Поэтому можно вести скалярную величину,
являющуюся энергетической
характеристикой поля – потенциал:
W
φ .
q'
16

17.

• Подставив в выражение для потенциала
значение потенциальной энергии , получим
выражение для
потенциала
точечного заряда:
1 q
φ
.
4 πε 0 r
• Потенциал, как и потенциальная энергия,
определяют с точностью до постоянной
интегрирования.
17

18.

• физический смысл имеет не потенциал, а
разность потенциалов, поэтому
договорились считать, что потенциал
точки, удаленной в бесконечность,
равен нулю.
• Когда говорят «потенциал такой-то
точки» – имеют в виду разность
потенциалов между этой точкой и
точкой, удаленной в бесконечность.
18

19.

• Другое определение потенциала:
A
φ
q
или
A qφ
• т.е. потенциал численно равен работе,
которую совершают силы поля над единичным
положительным зарядом при удалении его из
данной точки в бесконечность
• (или наоборот – такую же работу нужно
совершить, чтобы переместить единичный
положительный заряд из бесконечности в
данную точку поля).
• При этом φ 0 , если q > 0.
19

20.

• Если поле создается системой зарядов, то,
используя принцип суперпозиции, получаем:
1
W
4πε0
qk q '
r .
k
k
• Тогда и для потенциала
1
φ
4 πε 0
φ φ k или
qk
r
k
k
k
• т.е. потенциал поля, создаваемый системой
зарядов, равен алгебраической сумме
потенциалов, создаваемых каждым из зарядов
в отдельности.
• А вот напряженности складываются при
наложении полей – векторно.
20

21.

• Выразим работу сил электростатического поля
через разность потенциалов между начальной и
конечной точками:
A12 W1 W2 φ1q φ 2 q q φ1 φ 2 .
• Таким образом, работа над зарядом q равна
произведению заряда на убыль потенциала:
1
2
A q φ φ
qU ,
• где U – напряжение.
A qU
21

22.

• Формулу A q можно использовать для
установления единиц потенциала:
за единицу потенциала принимают потенциал
в такой точке поля, для перемещения в
которую из бесконечности единичного
положительного заряда необходимо
совершить работу равную единице.
• В СИ единица потенциала
1 В 1 Дж/1 Кл
22

23.

Электрон - вольт (эВ) – это работа,
совершенная силами поля над зарядом,
равным заряду электрона при прохождении
им разности потенциалов 1 В, то есть:
1 эВ 1,6 10
19
Кл В 1,6 10
19
Дж.
Производными единицами эВ являются
МэВ, ГэВ и ТэВ:
1 МэВ = 106 эВ = 1,60 10 13 Дж,
1 ГэВ = 109 эВ = 1,60 10 10 Дж,
1 ТэВ = 1012 эВ = 1,60 10 7 Дж.
23

24. Связь между напряженностью и потенциалом

• Изобразим перемещение заряда q` по
произвольному пути l в электростатическом поле
.
• Работу, совершенную силами электростатического
поля на
бесконечно малом отрезке d l можно найти так:
dA Fl dl El qdl ,
24

25.

dA Fl dl El qdl ,
• С другой стороны, эта работа, равна убыли
потенциальной энергии заряда,
перемещенного на расстоянии dl:
dA qdφ; тогда
El qdl qdφ
• отсюда
dφ
El .
dl
25

26.

• Для ориентации dl (направление перемещения) в
пространстве, надо знать проекции на оси
координат:
φ
φ
φ
E i
j k,
x
y
z
• Определение градиента: сумма первых
производных от какой-либо функции по
координатам есть градиент этой функции
φ φ
φ
grad φ i
j k,
x
y
z
gradφ – вектор, показывающий направление
наибыстрейшего увеличения функции.
26

27.

• Коротко связь междуE и φ записывается так:
• или так:
E grad φ
E φ
• где (набла) означает символический вектор,
называемый оператором Гамильтона
• Знак минус говорит о том, что вектор направлен в
сторону уменьшения потенциала электрического
поля.
27

28.

Вектор напряженности электрического
поля Е направлен против направления
наискорейшего роста потенциала:
d
E
n
d
n
n – единичный вектор нормали к
эквипотенциальной поверхности = const

29. Безвихревой характер электростатического поля

E φ
• Из условия
следует одно важное
соотношение, а именно,
величина, векторного
произведения [ , E] для стационарных электрических
полей всегда равна нулю. Действительно, по
определению, имеем
,
i
j
k
i
j
k
[ , E]
φ 0
x y z x y z
φ φ φ
x y z x y z
• поскольку определитель содержит две одинаковые
строки.
29

30.

• Величина [ , E]называется ротором или
вихрем
• Мы получаем важнейшее уравнение
электростатики:
rotE 0
электростатическое поле –
безвихревое.
30

31.

• Согласно теореме Стокса, присутствует
следующая связь между контурным и
поверхностным интегралами:
(
E
,
d
l
)
rot
E
d
S
0
L
S
• где контур L ограничивающий поверхность S
ориентация которой определяется n
направлением вектора
положительной нормали
:
dS ndS
• Поэтому работа при перемещении заряда по
любому замкнутому пути в
электростатическом поле равна нулю.
31

32. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

Силовые линии и эквипотенциальные
поверхности
Направление силовой линии (линии
напряженности) в каждой
точке совпадает с направлением E .
• Отсюда следует, что напряженность равна разности
потенциалов U на единицу длины силовой линии.
• Именно вдоль силовой линии происходит максимальное
изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить
между двумя точками, измеряя U между ними, причем
тем точнее, чем ближе точки.
• В однородном электрическом поле силовые линии – прямые.
Поэтому здесь определить E наиболее просто:
φ
U
E
l
32

33.

• Воображаемая поверхность, все точки
которой имеют одинаковый потенциал,
называется эквипотенциальной
поверхностью.
• Уравнение этой поверхности
φ φ( x, y, z ) const.
33

34.

Линии напряженности и эквипотенциальные
поверхности взаимно перпендикулярны
34

35.

E grad φ
• Формула
выражает связь
потенциала с напряженностью и позволяет по
известным значениям φ найти напряженность
поля в каждой точке.
• Можно решить и обратную задачу, т.е. по
известным значениям E в каждой точке поля
найти разность потенциалов между двумя
произвольными точками поля.
φ1 φ 2 (E, d l ).
2
1
35

36.

φ1 φ 2 (E, d l ).
2
1
• Интеграл можно брать по любой линии,
соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил
поля не зависит от пути.
• Для обхода по замкнутому контуру получим:
• т.е. пришли к известной нам теореме о φ1 φ 2
циркуляции вектора напряженности: циркуляция
вектора напряженности электростатического
поля вдоль любого замкнутого контура равна
нулю.
(E, d l ) 0,
Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.
36

37.

• Из обращения в нуль циркуляции вектора
следует, что линии электростатического
поля не могут быть замкнутыми: они
начинаются на положительных зарядах
(истоки) и на отрицательных зарядах
заканчиваются (стоки) или уходят в
бесконечность
37

38.

Там, где расстояние между эквипотенциальными поверхностями
мало, напряженность поля наибольшая. Наибольшее электрическое поле в
воздухе при атмосферном давлении достигает около 106 В/м.
38

39. Расчет потенциалов простейших электростатических полей

• Рассмотрим несколько примеров вычисления
разности потенциалов между точками поля,
созданного некоторыми заряженными телами
39

40.

Разность потенциалов между двумя
бесконечными заряженными плоскостями
σ
E
ε0
40

41.

• Мы показали, что напряженность связана с
потенциалом
dφ
E
, отсюда
d
l
dφ Edl
σ
• где E
– напряженность
ε0
электростатического поля между заряженными
плоскостями
• σ = q/S – поверхностная плотность заряда.
41

42.

Чтобы получить выражение для
потенциала между плоскостями,
проинтегрируем выражение dφ
2
Edl
x2
σ
dφ ε 0 dx;
1
x1
σ
φ 2 φ1 x2 x1
ε0
При x1 = 0 и x2 = d
σd
φ 2 φ1
ε0
42

43.

• На рисунке изображена зависимость
напряженности E и потенциала φ от
расстояния между плоскостями.
σd
φ 2 φ1
ε0
E
0
43

44. Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью

• С помощью теоремы Остроградского-Гаусса
мы показали, что
0
внутри
цилиндра,
т.к.
там
нет
зарядов
λ
q
E
или
на поверхности цилиндра
2
πε
R
2
πε
Rl
0
0
λ
q
или
вне цилиндра.
2 πε0 rl
2 πε0 r
44

45.

• Тогда,т.к.
dφ Edr;
2
λ
dφ 2 πε 0
1
r2
r1
dr
r
• отсюда следует, что разность потенциалов в
произвольных точках 1 и 2 будет равна:
λ
r2
q
r2
ln
ln
• φ 2 φ1
2πε0 r1
2πε0l r1
1
λ
ln
const
внутри
и
на
поверхност
и
2πε
R
0
φ
λ ln r вне цилиндра.
2πε0 R
45

46.

λ
ln
2πε
0
φ
λ ln
2πε0
1
const внутри и на поверхн
R
r
вне цилиндра.
R
46

47. Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора

0 внутри меньшего и вне большего цилиндров зарядов нет
E
2 r между цилиндрами, когда R1 r R2 .
0
47

48.

• Т.к.
dφ Edr
, то
λ
r2
φ 2 φ1
ln
2πε0 r1
R2
λ
2 πε ln R const внутри меньшего цилиндра (r R1 )
0
1
r
λ
φ
ln между цилиндрами ( R1 r R2 )
2 πε0 R1
0 вне цилиндров.
48

49.

• Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем , Е = 0, φ = const;
• между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону,
• вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е
равны нулю.
49

50. Разность потенциалов заряженной сферы (пустотелой)

• Напряженность поля сферы определяется
формулой
q
E (r )
2
4 πε 0 r
50

51.

• А т.к.
dφ Edr
, то
q dr q 1 r2 q 1 1
φ1 φ2
,
2
r
4
πε
4
πε
r
4
πε
r
r
r
1
0
0
0
1
2
r1
r2
q
т.е. φ
.
4πε0r
51

52.

σR
q
const
внутри
и
на
поверхн.
4πε R ε
0
0
φ
q вне сферы (r R).
4πε0r
52

53. Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара

• Имеем диэлектрический шар заряженный с
объемной плотностью
3q
ρ
4 πR
.
3
53

54.

• Напряженность поля шара, вычисленная с
помощью теоремы Остроградского-Гаусса:
qr
ρr
внутри шара (r R )
3
3
ε
4
πε
R
0
0
q
E
на
поверхност
и
шара
(
r
R
)
2
4 πε0 R
q
вне шара (r R ).
2
4 πε0 r
54

55.

• Отсюда найдем разность потенциалов шара:
2
2
ρ
ρ 2
2
φ 2 φ1 Edr
rdr
r2 r1
3ε 0 1
6ε 0
1
или
φ1 φ 2
2
r1 )
.
3
4πε0 2R
2
q(r2
55

56.

• Потенциал шара:
3q
в
центре
шара
(
r
0
)
8πε R
0
2
q
r
3 2 внутри шара (r R)
φ
8
πε
R
R
0
q
на поверхности и вне шара (r R
4 πε0 r
56

57.

• Из полученных соотношений можно
сделать следующие выводы:
• С помощью теоремы Гаусса сравнительно
просто можно рассчитать Е и φ от
различных заряженных поверхностей.
• Напряженность поля в вакууме
изменяется скачком при переходе через
заряженную поверхность.
• Потенциал поля – всегда непрерывная
функция координат.
57