Знаходження оберненої матриці

1. Знаходження оберненої матриці

Квадратна матриця А називається невиродженою,
якщо визначник det A 0 В протилежному випадку
матриця А називається виродженою.
Оберненою матрицею по відношенню до даної невиродженої
квадратної матриці A n - ного порядку, називається матриця, яка,
помножена ліворуч, і праворуч на дану матрицю, дає одиничну
матрицю.
Обернена матриця позначається символом А-1. Таким чином,
відповідно визначення: АА-1=А-1А=Е.
1
A
A A
A det A 0 A
det A
T
1
Транспонована
матриця
Приєднана матриця
отримується
Якщо визначник матриці
отримується
з матриці
шляхом заміни
кожногоА елементу
дорівнює нулю, то обернена
т на його
шляхом
заміни
рядків
матриці А
алгебраїчне
матриця не існує
відповідними
стовпцями
доповнення

2.

1
A
A
det A
1
1 A11
A
det A A12
1
A11
1
1
A
A12
det A
A13
A21
A22
A21
A22
A23
A31
A32
A33

3.

Приклад. Знайти матрицю обернену до матриці:
3 2 5
А 4 2 0
1 1 2
Знаходимо матрицю
1
A
.
Визначник матриці A:
3 2 5
det A 4 2 0 14
1 1 2
Оскільки
.
det A 0 , матриця
A
має обернену матрицю
1
A
.

4.

Обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів матриці
A:
,
A11
2 0
1 2
A12
A13
4
A21
2 5
1
2
9 A31
1 1
4 0
8 A22 3 3 0
1 2
4 2
1 1
2
A23
3 2
1 1
1
1 A33
A A E
Бажано зробити перевірку .
,
A32
2 5
2
0
3 5
4
0
3 2
4 2
10
20
2

5.

Одержуємо обернену матрицю
A 1
4 9 10
1
1
A
8
11
20
14
2
1
2

6.

9
4
10
14
3 2 5 14 14
20
A A 1 4 2 0 8
11
14
14
14
1 1 2
2
1
2
14
14 14
12 16 10
14 14 14
16 16
0
14 14
4 8 4
14 14 14
27 22 5 30 40 5
14. 14 14 14 14 14 1 0 0
36 22
40 40
0 0 0 1 0 E
14 14
14 14
0
0
1
9 11 2 10 20 4
14 14 14 14 14 14
Обернена матриця знайдена вірно