I.Механика. Кинематика

1. I.Механика. Кинематика

• Ускорение при криволинейном движении (Рис.3)
В общем случае при криволинейном движении ускорение равно
d
dv
d
a
v v
dt
dt
dt
В этом выражении вектор , оставаясь единичным по величине,
все время меняет свое направление при переходе от одной точки
траектории к другой. Введем понятие радиуса кривизны траектории, как радиуса окружности, которая заменяет бесконечно малый
участок траектории в окрестности рассматриваемой точки. Вектор
Рис.3

2. I.Механика. Кинематика

зависит от положения точки на траектории, характеризуемой
расстоянием s от точки, принятой за начальную s , а s –
функция времени. Поэтому
d
d ds d
v
dt
ds dt
ds
- единичный вектор, поэтому 2 1. Продифференцируем это
Равенство 2 d 0 .
ds
Каждый из векторов и
ними равен 90°и
d
отличен от нуля, поэтому угол между
ds
d
перпендикулярен вектору , т.е. направлен по
ds
нормали к касательной в данной точке. Модуль этого вектора равен
d
1
1
d
1
l im
l im
l im
, т.е.
n
ds s 0 s s 0 s s 0 R R
dt
R

3. I.Механика. Кинематика

v2
и для нормального ускорения an n , где n - единичный вектор
R
нормали.
Окончательно получим
dv dv
v2
a
n
dt
dt
R
. Первое слагаемое –
dv
тангенциальное ускорение , а второе – нормальное
dt
v2
ускорение an R n
a
Кинематика вращательного движения
При вращательном движении за время t точки тела опишут
траектории разных радиусов, однако угол поворота будет
одинаковый . Поэтому при вращательном движении вводят
угловую скорость
d
l im
,
t
t
dt
где под направлением вектора угла поворота понимают направление перемещения правого винта при вращении в соответствующую
сторону. При равномерном вращении
t

4. I.Механика. Кинематика

За время одного оборота (период обращения T) 2 и
2
T .
Величину обратную Т называют частотой ( числом оборотов в
секунду)
1
, 2 .
T
Зная зависимость ( t ) , можно найти угол поворота, используя
соотношение
t2
2 1 ( t ) dt .
t1
Вектор угловой скорости может меняться по величине и
направлению, поэтому вводят угловое ускорение
d d 2 .
l im
2
t 0 t
dt
dt

5. I.Механика. Кинематика

t2
Обратное соотношение имеет вид 2 1 ( t ) dt .
t1
Если направление оси вращения в пространстве не изменяется, то
знаки векторов можно опустить, тогда
d
0,
dt
при совпадении направлений и и
d
0
dt
,
если они направлены в противоположные стороны.
Линейные и угловые величины при вращении связаны
соотношением s R , откуда
s
l im R
R
t 0 t
t 0
t
v
a l im
l im R
R
t 0 t
t 0
t
2
v a R
v R an
R
v l im
Итак,

6. I.Механика. Кинематика

Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Пусть тело брошено с поверхности земли со скоростью v0 под углом
к горизонту (Рис.4). Получим выражения для максимальной
высоты подъема, дальности полета и уравнения траектории.
Сопротивление воздуха не учитываем.
Рис.4
Очевидно, тело будет двигаться по параболе. Представим в виде
суммы двух движений – равномерного по оси x и равноускоренного

7. I.Механика. Кинематика

По оси у ax 0; vx v0x v0 cos ; x v0t cos ,
gt 2
ay g; v y v0 sin gt ; y v0t sin
2
В высшей точке траектории скорость обращается в ноль, откуда
время подъема t под v0 sin . В отсутствии сопротивления воздуха
g
t под t спуска .
При подъеме и спуске тело проходит одинаковый путь
h
2
gt спуск
а
2
v02 sin 2
2g
Дальность полета определяется временем полета, которое находится из условия y=0:
L v0 ( t под
2v02 sin cos
t спуск а ) cos
g
Для записи уравнения траектории выразим время из формулы для
координаты х t
x
v0 cos
и подставим его в формулу для координа-

8. I.Механика. Динамика

2
ты y:
x
g
x
g
y v0
sin
x
t
g
x2
2
2
v0 cos
2 v0 cos
2v0 cos
Получено уравнение параболы.
Радиус кривизны траектории тела, брошенного под углом к
горизонту в начале траектории и ее верхней точке.
Рис.5
Нормальное и тангенциальное ускорения в произвольной точке
траектории (параболы) являются проекциями ускорения свободного
падения на направления касательной и нормали. Из рис.5 видно, что

9. I.Механика. Кинемаика

V2
a g sin , an g cos
R
где угол
,
определяется из соотношения проекций
cкорости t g
Vy
Vx
,
R – радиус кривизны траектории. Наибольший радиус кривизны
будет в начале траектории, а наименьший – в вершине параболы.
V02
V02
, Rmax
Откуда в начальной точке траектории an g cos
.
Rmax
g cos
В верхней точке траектории (вершине параболы)
V02 cos2
V02 cos2 .
an g
, Rmin
Rmin
g
Отношение максимального радиуса кривизны траектории к
минимальному равно
Rmax
1
Rmin
cos3
.

10. I.Механика. Кинематика

Примеры решения задач
Задача 1. Радиус-вектор материальной точки изменяется по
закону
см.
Найдите модуль вектора перемещения за время от t1 = 2 c до t2 = 3.
Решение. Найдем вектор перемещения
r r ( t 2 ) r ( t1) 54i 72 j 24i 32 j 30i 40 j
Для модуля перемещения получим:
см.
Задача 2. Найдите путь, который пройдет материальная точка за
время t = 4 с, если ее движение происходит по закону: x = 6t2 – 2t3
(м).
Решение. Скорость тела обращается в ноль при t = 2 с и точка
меняет направление движения, пройдя путь м. В момент t = 4 с
материальная точка будет иметь координату м и пройдет, двигаясь
от координаты x = 8 м, путь в 40 м. Общий путь составит 48 м.

11. I.Механика. Кинематика

Задача 3. Ускорение материальной точки изменяется со
временем по закону ax = 15t1/2 (м/с2). Найдите координату x точки
через 2 с после начала движения (начальные координата и скорость
точки равны нулю).
Решение. Скорость и ускорение связаны соотношением:
,
а скорость и координата:
.
Подставляя t=2с, получим
м.
Задача 4. Тело брошено горизонтально с высоты 20 м (Рис.6).
Горизонтальная дальность полета тоже оказалась 20 м. Найти
начальную скорость тела. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Сложное движение по параболе можно представить в
виде суммы двух движений: равномерного по оси х и
равноускоренного по оси y.
,

12. I.Механика. Кинематика

где
,
начальная скорость, g- ускорение свободного падения.
Рис.6
Горизонтальная дальность полета равна
, а высота
м/с.
, тогда

13. I.Механика. Кинематика

Задача 5. Сколько оборотов совершит вращающееся тело за
время от t1 = 3 c до t2 = 5 c , если его угловая скорость изменяется
по закону ω = 6t2 + 12t3 (рад/с)?
Решение.
Угол поворота и угловая скорость связаны соотношеt
нием ( t ) ( t ) dt . Подставляя, t1 и t2, получим:
2
t14
5
6
12 4
( t ) (6t 2 12t 3 ) dt ( t 3
t ) 1828рад.
3
4
3
2
разделив на 2π, получим число оборотов N = 291,1.
Задача 6. Найдите для произвольной точки колеса, Рис.7
вращающегося с угловым ускорением 1,73 рад/с2, угол между
вектором полного ускорения и радиусом колеса через
1 с после начала вращения.
Решение. Тангенс угла между
вектором полного ускорения и
a
радиусом колеса равен t g a . Определим тангенциальное ускореn
ние a R . Нормальное ускорение равно an 2 R ( t ) 2 R . Тогда
при t = 2 с
и
.

14. I.Механика. Кинематика

Задача 7. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по
закону: φ = 3t2– 2t3 (рад). Найдите угловое ускорение в момент
изменения направления вращения.
Решение. Изменения направления вращения происходит в
момент обращения угловой скорости в ноль:
,
откуда t = 1с. В этот момент угловое ускорение равно:
рад/с2.
Задача 8. Диск радиусом 20 см вращается по закону
φ = A + Bt + Ct2, где B = - 1 рад/с, С = 0,1 рад/с2. Определите
нормальное и тангенциальное ускорения точек на окружности диска
для момента времени t = 10 с.
Решение. Угловая скорость диска при t = 10 с равна:
Нормальное ускорение:
. Угловое ускорение при t = 10с
равно
рад/с2. Тангенциальное ускорение:
м/с2.