Интегрирование иррациональных функций

1.

Интегрирование иррациональных функций
Квадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов,содержащих
иррациональные функции.
dx
mx n
2
Интегралы типа
, ax bx cdx,
ax 2 bx c
ax 2 bx c
dx
Называют неопределенными интегралами от квадратичных
иррациональностей.Их можно найти следующим образом: под
радикалом выделить полный квадрат:
2
b
c
b
c
b
ax 2 bx c a( x 2 x ) a(( x
)2 2 )
a
a
2a
a 4a
b 2 4ac b 2
a(( x
)
) и сделать подстановку
2
2a
4a
x
b
t
2a

2.

При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а
третий – к сумме двух табличных интегралов.
dx
Пример№1. Найти интеграл: I
4 x2 2 x 1
Решение: Так как
1
1
1 2
3
4 x 2 x 1 4( x x ) 4(( x ) ), то
2
4
4
16
2
I
1
2
2
dx
1
2
1 2
3
4(( x ) )
4
16
dt
x
t
dx
4
1 2
3
1
x t
(x )
4
16
4
1
dx dt
1
3
1
1
1
3
ln t t 2
C ln x ( x ) 2
C
16
2
4
4
16
3 2
2
t
16

3.

Пример №2.Найти интеграл :
Решение:
x 4
I
6 2x x
2
dx.
Выделим полный квадрат :
6 2 x x ( x 2 x 6) (( x 1) 7) 7 ( x 1) ,
2
2
2
2
x 1 t
Сделаем подстановку:
x t 1
dx dt
Тогда: I
t 1 4
7 t2
dt
t
7 t2
dt
dt 3
1
1
(7 t 2 ) 2 d (7 t 2 ) 3
2
7 t2
dt
2
( 7) t 2
t
x 1
2
7 t 3 arcsin
C 6 2 x x 3 arcsin
C
7
7
2

4.

Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида
sin ax cos bxdx, cos ax cos bxdx, sin ax sin bxdx, где
Находятся с помощью формул:
1
sin(a b) x sin(a b) x ;
2
1
cos ax cos bx cos(a b) x cos(a b) x ;
2
1
sin ax sin bx cos( a b) x cos( a b) x .
2
sin ax cos bx
a b

5.

Пример №1. Найти интеграл: sin 3 x cos 7 xdx
Решение:Воспользуемся формулой
1
sin
ax
cos
bx
sin(
a
b
)
x
sin(
a
b
)
x
2
1
sin(3 7) x sin(3 7) x
2
Получим:
Тогда sin3x cos7 xdx 1 (sin( 4 x) sin10 x)dx 1 (sin10 x sin 4 x)dx
2
2
1
1
1
cos10 x cos10 x
( cos10 x cos 4 x) C
C
2 10
4
8
20

6.

Пример№2.
Решение:
Найти интеграл:
cos 6 x cos xdx
Воспользуемся формулой:
1
cos ax cos bx cos(a b) x cos(a b) x
2
Получим:
1
cos6 x cos x cos(6 1) x cos(6 1) x
2
1
sin 5 x sin 7 x
C
Тогда cos 6 x cos xdx (cos5 x cos 7 x)dx
2
10
14

7.

2x
dx.
Пример№3. Найти интеграл: sin 2 x sin
3
Решение:
Воспользуемся формулой:
1
sin ax sin bx cos(a b) x cos(a b) x
2
Получим: sin 2 x sin 2 x 1 cos(2 2 ) x cos(2 2 ) x
3
2
3
3
2x
1
4x
8x
sin 2 x sin 3 dx 2 (cos 3 cos 3 )dx
1 3
4x 3
8x
3
4x 3
8x
( sin
sin
C ) sin
sin
C
2 4
3 8
3
8
3 16
3
Тогда:
3
4x
8x
(2sin
sin
) C
16
3
3

8.

sin x cos xdx
Для нахождения таких интегралов используются следующие
Интегралы типа
m
n
приемы:
1) Подстановка
если n целое положительное
нечетное число;
2) Подстановка cos x t , если m целое положительное
нечетное число;
3) Формулы понижения порядка:
sin x t,
1
1
1
2
cos x (1 cos2 x),sin x (1 cos2 x),sin x cos x sin 2 x,
2
2
2
2
Если m и n целые неотрицательные четные числа;
4)Подстановка
если m n есть четное
отрицательное целое число.
tgx t ,

9.

Пример№1. Найти интеграл:
I sin x cos xdx.
4
5
Решение: Применим подстановку sin x t. Т.к.n=5 (1 cлучай).
x arcsin t
Тогда
1
dt
dx
2
1 t
cos x 1 t 2
5
Получим: I t ( 1 t )
4
2
dt
1 t2
t 4 ( 1 t 2 )4 dt t 4 (1 t 2 )2 dt
5
7
9
t
t
t
1 5
2 7
1 9
4
6
8
(t 2t t )dt 2 C sin x sin x sin x C.
5
7 9
5
7
9

10.

4
2
I
sin
x
cos
xdx.
Пример №2.Найти интеграл:
1
Решение: воспользуемся формулой: 1)sin x cos x sin 2 x
2
1
2)sin x (1 cos 2 x)
2
2
1 2
1
I (sin x cos x) sin xdx sin 2 x (1 cos2 x)dx
4
2
2
2
1
1
2
sin 2 xdx sin 2 2 xcox 2 xdx
8
8
1 1
1
1
2
(1 cos 4 x)dx sin 2 x d (sin 2 x)
8 2
8
2
1
1
1
2
dx
cos
4
xdx
sin
2 xd (sin 2 x)
16
16
16
1
1
1
3
x
sin 4 x
sin 2 x C
16
64
48

11.

Пример №3.
Найти интеграл:
dx
1
3
I
cos
x
sin
xdx.
3
cos x sin x
Решение:Здесь
Обозначим
m n 4.
tgx t. Тогда
Получим: I
dt
(4 случай)
x arctgt
dt
dx
1 t2
t
sin x
1 t2
1
cos x
1 t2
dt
dt
2
1 t
1
t
1
t
3
3
3
t
t
t
1
2
1 t2
1 t
( 1 t 2 )3
( 1 t 2 )2
2
2
1 t2
dt
1
3
dt t dt
2 ln t C
3
t
t
2t
1
ctg 2 x ln tgx C
2

12.

• Универсальная тригонометрическая
подстановка
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от
тригонометрическихфункций.Функцию с переменными
sin x и cos x ,над которыми выполняются рациональные
действия (сложения,вычитание,умножение иделение)
Принято обозначать R(sin x;cos x), где R знак рациональной
функции.
Вычисление неопределённых интегралов типа R(sin x;cos x)dx
Сводится к вычислению интегралов от рациональной функции
подстановкой tg x t ,которая называется универсальной
2

13.

Действительно,
x
2tg
2
sin x
x
1 tg
2
2t
1
t
2
,
cos
x
,
2
2
1
t
1 t
2 x
2 x
1 tg
1 tg
2
2
2
2
x 2arctgt , dx
dt.
2
1 t
2t 1 t 2
2
Поэтому R(sin x;cos x)dx R(
;
)
dt R1 (t )dt ,
2
2
2
1 t 1 t 1 t
Где R1 (t ) рациональная функция от t .Обычно этот способ
весьма громоздкий,зато всегда приводит к результату.

14.

На практике применяют и другие,более простые подстановки,
в зависимости от свойств ( и вида) подынтегральной функции.В
частности,удобны следующие правила:
1)Если функция R(sin x;cos x) нечётна относительно sin x
Т.е R( sin x;cos x) R(sin x;cos x) ,то подстановка
cos x t
рационализирует интеграл;
2)Если функция R(sin x;cos x)нечётна относительно cos x
Т.е. R(sin x; cos x) R(sin x;cos x) ,то делается подстановка sin x t
3)Если функция R(sin x;cos x) четна относительно sin x и cos x
R( sin x; cos x) R(sin x;cos x) ,то интеграл рационализируется
подстановкой tgx t .Такая же подстановка применяется,если
интеграл имеет вид R(tgx)dx

15.

dx
Пример: Найти интеграл
.
x
3 sin x cos x
Решение: Сделаем универсальную подстановку t tg 2
Тогда
2dt
2t
1 t 2 Следовательно
dx
1 t
2
,sin x
dx
3 sin x cos x
1 t
2
,cos x
1 t
2
.
2dt
dt
2
2
2t
1 t
t t 2
2
(1 t )(3
)
2
2
1 t 1 t
1
1
x
d (t )
t
1 2tg
2
2
2
2 C
2 C.
arg tg
arg tg
1 7
7
7
7
7
(t )
2
2 4