Неопределенный интеграл. Интегрирование иррациональных выражений

1.

Математика 2
Неопределенный интеграл
Интегрирование иррациональных выражений
Лектор:
доцент отделения математики и информатики
Имас Ольга Николаевна

2.

ТЕОРЕМА 7.
Всякая правильная рациональная дробь
Q( x)
может быть
P( x)
представлена в виде суммы конечного числа элементарных дробей,
вид которых определяется разложением на множители знаменателя
P( x) ( x x1 )k1 ( x x2 )k2 ...( x2 p1x q1 )m1 ...( x2 ps x qs )ms
B1
Ak1
Bk 2
A2
B2
Q( x) A1
...
...
...
2
k1
2
k2
P( x) x x1 x x1
x x1 x x2 x x2
x x2
M x N
M m1 x N m1
M 2 x N2
1
1
...
2
...
2
m1
2
2
x p1 x q1
x p1 x q1
x p1 x q1
F x G
Fms x Gms
F2 x G2
1
1
2
...
2
ms
2
2
x ps x qs x ps x qs
x ps x qs
A1, A2 ,..., Ak1 , B1, B2 ,..., Bk2 , M1, ..., M m1 , N1,...,Gms - неопределенные коэффициенты
пропустить 1 страницу

3.

Порядок действий при вычислении интеграла от рационального
выражения
1. Выделить целую часть (сделать дробь Q(x)/P(x) правильной)
2. Разложить знаменатель на множители.
3. Записать дробь в виде суммы простейших дробей.
4. Определить коэффициенты
5. Проинтегрировать
пропустить 1 страницу

4.

5. Интегрирование тригонометрических выражений
Будем использовать запись интеграла от тригонометрических
выражений
R(sin x, cos x)dx
это означает, что над синусом и косинусом проведены только
рациональные операции (+, –, ., : , ^ ).
Универсальная тригонометрическая подстановка
Выразим x и получим
tg(x/2)=t.
2 dt
x 2arctgt dx
1 t 2
sin x
пропустить 4 клеточки
2t
1 t
2
cos x
1 t2
1 t2

5.

Более простые методы используются в следующих случаях:
1. sin kx cos mxdx , cos kx cos mxdx , sin kx sin mxdx
Следует использовать формулы:
1
sin k x cos l x sin( k l ) x sin( k l ) x
2
1
sin k x sin l x cos( k l ) x cos( k l ) x
2
1
cos k x cos l x cos( k l ) x cos( k l ) x
2
2. Интегралы вида
n
sin
x dx
n
cos
x dx
n
m
sin
x
cos
x dx
а) n – четное ⇒ понизить степень:
1
1
2
2
sin x (1 cos 2 x)
cos x (1 cos 2 x)
2
2
б) n – нечетное ⇒ отделить одну нечетную степень, взять кофункцию
в качестве новой переменной.

6.

3. R (sin x, cos x)dx
а) подынтегральная функция нечетна относительно синуса
R( sin x, cos x)dx R(sin x, cos x)dx
Рекомендуемая подстановка:
cos x = t
б) подынтегральная функция нечетна относительно косинуса
R(sin x, cos x)dx R(sin x, cos x)dx
Рекомендуемая подстановка:
sin x = t.
в) подынтегральная функция четная относительно синуса и
косинуса
R( sin x, cos x)dx R(sin x, cos x)dx
Рекомендуемая подстановка:
tgx t dx
dt
;
2
1 t
2
t
1
2
2
sin x
; cos x
2
1 t
1 t2

7.

4. Интегралы вида
ctg x dx (n 0)
tg n x dx
n
dt
1 t2
dt
ctgx t dx
1 t2
а) Рекомендуемая подстановка
tgx t dx
б) применить формулы
1
tg x sec x 1
1
2
cos x
1
2
2
ctg x co sec x 1
1
2
sin x
пропустить 2 страницы
2
2

8.

6. Интегрирование иррациональных выражений
1. R( x, x 2 px q )dx
Выделить полный квадрат в x 2 px q
пропустить 10 клеточек
Рекомендуемая подстановка:
2. R( x, a 2 x 2 )dx
x a sin t dx a cos t dt
a dt
cos 2 t
R( x, a x )dx
x a tg t dx
R( x, x a )dx
a
sin t dt
x a sec t
dx a
cos t
cos 2 t
2
2
2
2
пропустить 20 клеточек

9.

3. R( x , x , x ,...)dx
x t
s
, , …– дробные рациональные числа,
s – наименьшее общее кратное , ,
ax b ax b ax b
4. R( x,
,
,
,...)dx
cx d cx d cx d
, , …– дробные рац. числа,
пропустить 15 клеточек
ax b s
t
cx d
s – наименьшее общее кратное , ,

10.

5. Дифференциальный бином
ОПР. 5 Выражение вида x m ( a bx n ) p , где (m,n,p,a,b) – const,
называется дифференциальным биномом.
Теорема 8. (Чебышева)
m
n p
x
(
a
bx
) dx (m,n,p ∈ Q) выражаются в конечном
Интегралы
виде через элементарные функции, если оказывается целым одно
из чисел:
1) p∈Z
подстановка
x = ts
(s – наименьшее общее кратное знаменателей m и n)
m 1
2)
n
Подстановка a bx
m 1
3)
p
n
a bx n s
t , где s – знаменатель p
Подстановка
n
x
пропустить 30 клеточек
n
t s, где s – знаменатель p

11.

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
e
x2
dx
– интеграл Пуассона.
sin x
x dx si( x)
cos x
x dx co( x)
– интегральный синус.
– интегральный косинус.
ex
dx
x
dx
ln x li( x)
– интегральный логарифм.
– эллиптические интегралы
R( x, ax bx cx dx e )dx
R( x, ax3 bx 2 cx d )dx
4
3
2