Системы массового обслуживания (СМО). Основные понятия. Классификация СМО. Лекция 3

1.

Лекция 3
1.Системы массового обслуживания (СМО). Основные понятия.
Классификация СМО
2.СМО с отказами. Одноканальная система с отказами.
Уравнения Колмогорова.
3.Предельные вероятности состояний.
4.Многоканальная система с отказами. Граф состояний.
Уравнения Колмогорова.
5.Предельные вероятности состояний для многоканальной СМО.
Формулы Эрланга
6.Показатели эффективности СМО с отказами.
1.Системы массового обслуживания (СМО). Основные понятия.
Классификация СМО
Некоторые системы предназначены для многократного решения задач
одинакового типа. К таким системам можно отнести:
билетные кассы
магазины
ремонтные мастерские
заправочные станции
телефонные станции
Возникающие в этих системах процессы называют процессами обслуживания, а
системы - системами массового обслуживания.

2.

Каждая СМО состоит из определенного числа мест обслуживания
(рабочие места, кассы, приборы, станции, устройства). Такие единицы
обслуживания называют каналами обслуживания. По числу каналов
обслуживания СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.
Требования на обслуживание (или заявки на обслуживание) поступают в
случайные моменты времени и образуют поток заявок (поток требований).
Время обслуживания одной заявки также случайно. Окончания обслуживаний
заявок образуют поток обслуживаний.
Предметом теории массового обслуживания является
построение математических моделей, связывающих условия работы
СМО с показателями эффективности.
Рассмотрим основную классификацию СМО.

3.

В СМО с отказами заявка, пришедшая в систему, когда все каналы
заняты, получает отказ и в дальнейшем в обслуживании не принимает
участие.
В СМО с ожиданием заявка становится в очередь, если в очереди есть
свободные места.
2. СМО с отказами.
Одноканальная система с отказами.
Уравнения Колмогорова
Имеется один канал, на который поступает поток заявок
с интенсивностью .
Поток обслуживаний имеет
интенсивность µ .
Предполагается, что потоки событий, переводящие систему
из состояния в состояние по стрелкам графа, простейшие с
соответствующими интенсивностями.

4.

Рассмотрим состояния системы
S0 - канал свободен; S1- канал занят.
Граф состояний системы
Составим уравнения Колмогорова
dP0
P1 P0
dt
dP1
P0 P1
dt
P0 P1 1
(3.2)
(3.1)
При дополнительных условиях
получаем начальную задачу.
1
P0 (t )
e ( )t
P0 (0) 1, P1 (0) 0
Решение начальной задачи имеет вид
P1 (t )
1 e
( )t
(3.3)

5.

3.Предельные вероятности состояний.
Следует заметить:
lim P0 (t ) lim
e t
t
t
lim P1 (t ) lim
e t
t
t
,
Это означает, что существуют предельные вероятности состояний
Замечание. Предельные вероятности можно найти и другим способом.
Приравниваем производные к нулю:
dP0
0
dt
dP1
0
dt
P1 P0 ,
P0 P1 ,
P P 1
0
1
из (3.1) получаем систему линейных алгебраических
уравнений
Решаем эту систему:
P0
(3.4)
P1
(3.5)

6.

4.Многоканальная система с отказами. Граф состояний. Уравнения
Колмогорова
Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток
обслуживаний для одного канала имеет интенсивность µ.
Потоки заявок и обслуживаний предполагаются простейшими.
Рассмотрим возможные состояния системы.
S0 - в системе находится 0 заявок ( все каналы свободны);
S1 - в системе одна заявка (один канал занят);
S2 - в системе две заявки (два канала заняты);
…………………………………………………….
Sk-1 - в системе k-1 заявка ( k-1 каналов заняты);
Sk - в системе k заявок ( k каналов заняты);
……………………………………………………..
Sn-1 - в системе n-1 заявка ( n-1 каналов заняты)
Sn - в системе n заявок ( n каналов заняты).
Граф состояний системы

7.

dP0
P1 P0
dt
dP1
P0 2 P2 P1
dt
dP2
P1 3 P3 2 P2
dt
Составляем дифференциальные
уравнения
…………………………………………………
(3.6)
dPk 1
Pk 2 k Pk k 1 Pk 1
dt
dPk
Pk 1 (k 1) Pk 1 k Pk
dt
…………………………………………………….
dPn 1
Pn 2 n Pn n 1 Pn 1
dt
dPn
Pn 1 n Pn
dt
P0 (t ) P1 (t ) ... Pn (t ) 1
Записывая начальные условия
получаем начальную задачу
(3.7)
P0 (0) 1, P1 (0) ...Pn (0) 0
(3.8)

8.

5.Предельные вероятности состояний. Формулы Эрланга
Соотношения
dPk
0, k 0,1,..., n
dt
приводят к системе линейных
алгебраических уравнений
P0
2
P2
P0
2 2
3
P3
P
3 0
3!
P1
P1 P0
P0 2 P2 P1
P1 3 P3 2 P2
………………………
3 P3 P2
………………
Pk 2 k Pk k 1 Pk 1
k Pk Pk 1
Pk 1 (k 1) Pk 1 k Pk
(k 1) Pk 1 Pk
………………………………
Pn 2 n Pn n 1 Pn 1
Pn 1 n Pn
.
P1 P0
2 P2 P1
……………………
n Pn Pn 1
Pn 1 n Pn
………………
k
Pk
P
k 0
k !
k 1
Pk 1
P
k 1 0
k
1
!
…………………
n
Pn
P0
n! n
P0 P1 ... Pn 1
Пусть
среднее число пришедших заявок за среднее время
обслуживания одной заявки. Тогда формулы для
предельных вероятностей имеют вид

9.

P0 P1 P2 ... Pk ... Pn 1 Pn 1
P0 P0
2
2!
P0 ...
k
k!
P0 ...
n 1
n 1 !
P0
n
n!
P0 1
2
k
n 1
n
P0 1
...
...
1
2!
k!
n 1 ! n!
n
P0
s 0
s
s!
1
P0
1
n
s
s!
s 0

10.

P0
1
n
s
s!
Pk
(3.9)
k
k!
P0
k
n
k!
s
s!
s 0
s 0
(3.10)
k 1,2,..., n
6.Показатели эффективности СМО с отказами
1.Вероятность отказа (СМО), т.е. вероятность того, что заявка не будет
обслужена. Это произойдет, если все каналов будут заняты (в СМО будет n
заявок):
Pотк. Pn
n
n!
P0
(3.11)
2.Относительная пропускная способность СМО – средняя доля пришедших
заявок, обслуживаемых системой. Эта величина есть вероятность того, что
пришедшая заявка будет обслужена:
q 1 Pотк. 1
n
n!
P0
(3.12)
3.Абсолютной пропускной способностью СМО называют среднее
количество заявок, обслуживаемых в единицу времени:

11.

n
Q 1
P0
n!
Q q
(3.13)
4.Среднее число занятых каналов
Пусть
K
число занятых каналов
(дискретная случайная величина)
n
k m Pm
k M ( K ) 0 P0 1 P1 2 P2 ... n Pn
(3.14)
m 0
Замечание. Эту величину можно найти и другим способом
k Q
k
Q
5.Среднее время пребывания заявки в СМО
1
M ( )
1