Магнитные явления

1. Лекция № 5

Лекция № 5-6
МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Лекция № 5
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
В ВАКУУМЕ
Литература: Иродов И.Е. Электромагнетизм.
Основные законы. — М. — С.-П.: Физматлит, 2000.

2.

Магнитное поле
• порождается
движущимися
зарядами
(токами).
• действует на движущийся электрический
заряд и не действует на покоящийся заряд.
Вектор индукции магнитного поля
B B r , t
– вектор магнитной индукции, в СИ B = [Тл]
(тесла), характеризует силовое действие
магнитного поля на движущийся заряд.

3. Экспериментальный закон, определяющий поле точечного заряда, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью

v
0 q v, r
B
3
4 r
где 0 1,257 10
r
6
(5.1)
Гн/м – магнитная постоянная
– радиус-вектор, проведенный от заряда
к точке наблюдения.

4.

В вакууме
B 0 H
(5.2)
H – вектор напряженности магнитного
поля в вакууме, в СИ H = [А/м].
Силовая
линия
–
линия,
в
каждой
точке
которой H B касателен к этой линии.
Уравнение силовой линии
H i H x jH y kH z
dx dy dz
Hx H y Hz
H

5.

Магнитное поле
• однородное
• неоднородное
H const
H const
• статическое (постоянное во времени)
H H r H r , t
• переменное во времени
H H r , t
Магнитное поле –
силовые линии замкнуты).
вихревое
(его

6. Закон Био-Савара

Найдем магнитное поле, создаваемое
постоянными электрическими токами
Подставим в (5.1) (5.2) и
d q dV ,
где dV – элементарный объем, ρ – объемная
плотность заряда.
1 d q v, r 1 dV v , r
d H
,
3
3
4 r
4
r
v j,
j – плотность тока. Тогда

7.

1 j , r dV
dH
.
3
4
r
(5.3)
Если ток течет по тонкому проводу с
площадью поперечного сечения S, то
j dV j S d l I dl ,
где dl – элемент длины
провода.
Введем
d l в направлении тока I.
Тогда
j dV и I d l –
j dV I d l
(5.4)
объемный и линейный
элементы тока соответственно.

8. (5.4) → (5.3):

I
dl
dH
N
r
1 I dl ,r
dH
3
4 r
(5.5)
(5.3) и (5.5) – закон Био-Савара
(Био-Савара-Лапласа).

9. Принцип суперпозиции магнитных полей

(из опыта): магнитное поле, создаваемое
несколькими токами равно векторной сумме
магнитных полей, создаваемых каждым током
в отдельности.
N
B Bi ;
i 1
N
H Hi
i 1
(5.6)

10. Из (5.3) и (5.5) с учетом (5.6)

1 I dl ,r
H
4 l r 3
(5.7)
где l контур, по элементам которого
течет
ток I
dl
ток I (по направлению вектора
считается положительным).
Если проводящее тело нельзя считать тонким
проводником, то, используя (5.4), получим
1 j,r
H
dV
3
4 V r
где V объем тела, в котором текут токи.
(5.8)

11. Магнитное поле прямого тока

dl
1
d
r
r d
b
N
H
I
2
dH

12. Из закона Био-Савара

1 I dl ,r
dH
,
3
4 r
1 I d l sin
1 Ir d I d
dH
2
2
4 r
4
4 r
r
I sin d
,
4 r sin
где
d l sin r d
I sin d
Тогда d H
, где
4
b
b r sin

13.

Напряженность
магнитного
поля
прямого тока
2
2
I sin d
I
sin d
H
b
4 b 1
1 4
I
cos 1 cos 2
H
4 b
Для бесконечно длинного проводника
1 0 cos 1 1 ; 2 cos 2 1
Тогда магнитное поле прямого тока
I
H
2 b

14. Магнитное поле кругового тока

dl
r
d H
I
O
R
L
r dl
1 I dl ,r
dH
,
3
4 r
dH
HN
N d H||
ON L

15.

I dl R
d H || d H sin
2
4 r r
sin R r
Здесь
H
При
2 R
IR
4 R L
2
L 0
2 32
d
l
0
IR
2
I
HO
2R
2 32
2R L
2

16. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

в интегральной форме: циркуляция вектора
индукции магнитного поля в вакууме по
произвольному замкнутому контуру равна
сумме токов, охватываемых этим контуром,
умноженной на магнитную постоянную
N
B dl 0 I i
L
i 1
(5.9)

17.

При непрерывном распределении токов
в пространстве, охватываемом контуром,
циркуляция вектора магнитной индукции по
замкнутому контуру L пропорциональна
потоку вектора плотности тока j через
произвольную поверхность S, натянутую на
этот контур
(5.10)
B dl 0 j d S
L
S
Здесь направления обхода контура и нормали n
к поверхности S связаны между собой
правилом правого винта.

18.

N
j d S Ii
i 1
S
Применим теорему Стокса:
B dl rot B d S 0 j d S
L
S
S
Стягивая контур к точке, получим теорему о
циркуляции вектора индукции магнитного
поля в дифференциальной форме:
rot B 0 j
(5.11)
Физический смысл теоремы о циркуляции:
магнитное поле неконсервативное (5.9), (5.10)
и вихревое (5.11).

19.

Если можно подобрать такой произвольный
замкнутый контур, что интеграл в левой
части (5.9) и (5.10) сводится к умножению B
на длину контура или участка контура,
теорему о циркуляции удобно применять для
расчета магнитных полей.

20.

вакуум
Дано: I , b
N
b
I
B
dl
N
B dl 0 Ii
L
i 1
Вспомогательный
контур
совпадает с силовой линией магнитного поля
прямого тока – это окружность, проходящая
через точку наблюдения, с центром на
прямой, по которой течет ток.

21.

Зададим направление обхода по контуру,
совпадающее с направлением B
B d l
Тогда
B d l B cos d l Bd l
L
L
L
На всем вспомогательном контуре
B B const,
Тогда
Bd l
L
B d l B 2 b 0 I
L
0 I
B
2 b

22. (Расчет магнитного поля тороида и соленоида)