Магнитное поле в вакууме. (Лекция 7)

1.

2.

определение
Магнитным полем называется одна
из форм материи, которая проявляется в силовом воздействии на
двигающиеся электрические заряды,
проводники с током и
постоянные магниты.

3.

камень Геракла (V-III в. до Р.Х.)

4.

Магнитное поле было открыто Эрстедом
в 1820 г.
Он наблюдал отклонение
магнитной стрелки
при пропускании тока
по проводнику.
Силовые линии МП всегда
замкнуты.
Для прямого тока
направление силового
вектора магнитного поля –
по правилу правого винта.

5.

В 1820 г. Ампер открыл взаимодействие
электрических токов.
Им была доказана эквивалентность
поля постоянного магнита и соленоида.

6.

Основные выводы
1) разделение магнита невозможно
(магнитные заряды не найдены)
2) все магнитные взаимодействия
сводятся к взаимодействию
элементов тока
3) источником магнитного поля
является двигающийся заряд
(переменное электрическое поле)

7. §§ Закон Био-Савара-Лапласа

1820 г., J.B.Biot, F.Savart проводили
измерение силы dF, с которой элемент
тока IdL действует на магнитный полюс,
удаленный на расстояние r:
dF ~ ( IdL) f1 ( ) f 2 (r )
07

8.

Результаты были проанализированы и
обобщены Лапласом (P.Laplace):
1) магнитное поле пропорционально
силе тока;
2) убывает с расстоянием от тока;
3) напряженность поля можно
вычислить суммированием вкладов
от малых элементов тока.
08

9.

Пусть
A – точка наблюдения
(где необходимо
вычислить H )
dL – длина элемента
с током dL I
r
– радиус-вектор, проведенный от
элемента в точку наблюдения
– угол между dL и r
09

10.

Тогда
I dL r
dH A
3
4
r
или
I dL sin
dH A
2
4
r
Закон Био–Савара–Лапласа
в дифференциальной форме
10

11.

– называется напряженностью
магнитного поля
[H] = 1 А/м (ампер на метр)
H
B
– вектор магнитной индукции
B 0 H
[B] = 1 Тл (Тесла)
– магнитная проницаемость среды
7
Гн/м (генри на метр)
0 4 10
11

12. §§ Поле прямого тока

Пусть
I – ток в проводнике
r0 – расстояние от
тока до точки
наблюдения A
φ1,φ2 – углы, под
которыми видны
концы проводника
12

13.

Выделим на проводнике
малый элемент:
dL – его длина
r – расстояние от него
до точки A
φ – угол наблюдения
Этот элемент создает в точке A
поле dH A , модуль которого
можно найти из закона Б-С-Л:
I dL sin
dH A
4 r 2
13

14.

r0
Из рисунка видно, что r
sin
dL sin r d
следовательно
dH A
I
4 r0
sin d
14

15.

H A dH A
I
2
sin
d
4 r0
1
I
cos 1 cos 2
4 r0
При φ1 = 0, φ2 = π получаем поле
бесконечного прямого тока
на расстоянии r0 от него:
HA
I
2 r0
15

16. §§ Магнитное поле кругового витка

I dL sin
dH
4 r 2
sin 1, dL r
I
dL
H dH
2
4 r
I
H
– поле кругового витка
2r
16

17. §§ Магнитный момент

Рассмотрим поле на оси диполя
(r L) r
q
q
E k 2 k
kq
2
2
2
r (r L)
r
(r L)
1 p
1 p 2r
2rL
kq 4
3
4
4
r
0 2 r
0 r
2
2
17

18.

Электрическое смещение на оси диполя
на расстоянии r >> L от него
p
D 0E
3
2 r
Рассмотрим круговой виток с током I.
Пусть его радиус – R будет мал, т.е.
будем рассматривать элементарный
ток.
18

19.

Результирующее поле направлено
вдоль оси x:
I dL sin
dH x
sin
4 r 2
sin 1, dL r
r sin R
I R
dH x
dL
3
4 r
19

20.

pm
IS
I R
H x dH x
2
R
3
3
3
4 r
2 r
2 r
pm – магнитный момент контура с током
Для плоского контура
pm ISn
n – нормаль
В произвольном случае
pm I ndS
S
20

21. §§ Закон полного тока

Рассмотрим бесконечный прямой ток
H
I
2 r
Вычислим циркуляцию вектора
H
вдоль произвольного контура L
(
H
dL
)
∫
H
dL
cos
∫
L
L
21

22.

rd dL cos
2
I
∫ Hr d
d I
2 0
т.е. циркуляция равна
величине тока
Если контур L не охватывает
ток, тогда
I
(
H
dL
)
∫
2
L
2
1
1 2
0
22

23.

Если контур охватывает несколько токов:
∫ ( H dL)
L
(
H
dL
)
(
H
dL
)
i
∫
∫
i
L
∫ ( H dL) i Ii
L
Ii
L
i
Закон полного тока
Циркуляция вектора H магнитного поля
постоянного тока вдоль произвольного
замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим
контуром
23

24. §§ Магнитное поле соленоида

Выберем прямоугольный контур
и посчитаем
циркуляцию
вектора H
(
H
dL
)
H
L
∫
L
1
2
3
(∞)
4
1
24

25.

Если N – число витков, охватываемых
контуром, то
∫ ( H dL) N I
L
следовательно
N
HL NI H I nI
L
n – плотность намотки витков
Вне соленоида H = 0.
25

26.

Поле одного витка можно
вычислить из закона
Био–Савара–Лапласа
Поле двух витков –
по принципу суперпозиции
Поле соленоида
конечной длины
может быть найдено
прямым расчетом 26

27.

Оценим значение напряженности МП на
границе соленоида
В точке соединения вклады от обеих
половин одинаковы и, следовательно,
поле на краю
≈½ от поля в его центре.
27

28. §§ Магнитное поле тороида

Пусть
r – радиус
контура, который
выбран внутри
катушки
∫ ( H dL) I
L
N
I
2 r H NI H
2 r
28

29. §§ Поле прямого тока

Плотность тока в проводнике
I
I
j
S R2
Если r – радиус контура, то
Ir
H 2 r j r H
2
2 R
2
для
r > R получаем H (r )
(r R)
I
2 r
29

30. §§ Сила Лоренца

В электрическом поле
на заряженную частицу
действует сила Кулона
Fe QE
При движении в МП
на нее действует сила
Fm Q , B
30

31.

Эта сила вычисляется по правилу
левой руки
Модуль силы
Fm Q B sin
где α – угол между
векторами и B .
Сила Лоренца:
F Fe Fm Q E [ , B]
Разделение силы на Э и М составляющие без указания СО смысла не имеет
31

32. §§ Сила Ампера

Пусть
q – заряд частицы
υ – ее скорость
n – концентрация
носителей тока
Рассмотрим небольшой участок
проводника длиной ΔL, который
заряд проходит за время Δt.
32

33.

Заряд, проходящий через поперечное
сечение проводника
Q n( t S )q
На него действует сила Лоренца
Fm Q , B n( t S )q , B
n q S L, B I L, B
dFA I dL, B – сила, действующая
на элемент тока в м.п.
(сила Ампера) 33

34.

Рассмотрим взаимодействие двух
прямых бесконечных токов
FA I 2 B1 L sin
I1
B1 0
2 r
Сила взаимодействия, в расчете на
единицу длины проводников
I1I 2
FA 0
2 r
0 4 10
7
Гн/м
34

35.

35

36. §§ Контур с током в МП

Известно, что прямоугольная рамка с
током поворачивается так, что ее
плоскость располагается перпендикулярно вектору B .
Найдем выражение
для момента сил,
действующих на
рамку в однородном
магнитном поле
36

37.

F1 F3 BIa
Эти силы образуют
пару сил, момент
которой:
M F1l F3l ,
где
Тогда
l b sin
M BI ab sin
B IS sin pm B sin( pm , B)
следовательно:
M pm , B
37

38.

Рассмотрим два случая, когда
1) векторы
M=0
pm и B параллельны
Выведение рамки
из этого положения
приводит к появлению
вращающего момента,
который стремится
вернуть рамку в
исходное положение.
В этом случае равновесие
будет устойчивым
38

39.

2) векторы
pm и B антипараллельны
В этом случае
равновесие будет
неустойчивым
Явление вращения рамки с током в МП
используется при создании электродвигателей и электроизмерительных
приборов.
39

40. §§ Релятивистская природа магнитного поля

Рассмотрим неподвижный
проводник с током.
При пропускании тока он
остается электронейтральным
n n
Пусть V – скорость заряда Q.
Перейдем в СО, в которой Q неподвижен
V V , V V , υ – скорость дрейфа
40

41.

Сокращение длины:
L L0 1 c
2
2
линейная плотность зарядов
на проводнике:
1
1
2
2
1 V 2 c 2
1 (V ) c
41

42.

2
V2
(V )
1 2 1
2
2c
2c
V
2 2V 2
2c
c
где знак «–» означает, что для Q
проводник является заряженным
отрицательно.
1 2
Поле заряженной нити: E
4 0 r
42

43.

Сила взаимодействия:
2
QV
Fk QE Q
2
4 0 r
0c 2 r
QV
I
1
QVB
0
2
2
2
r
0c 0
0 0 c
Сравним полученное выражение с
выражением для силы Лоренца:
Fm Q V , B QVB
43

44.

Выводы:
1) МП – релятивистская
поправка к ЭП двигающегося заряда
2) скорость света (электромагнитного
возмущения) в вакууме:
c
1
0 0
299 792 458 м с
44