ГЛАВА I. МЕХАНИКА §4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
§4. Динамика материальной точки
340.75K
Категория: ФизикаФизика

Динамика материальной точки

1. ГЛАВА I. МЕХАНИКА §4. Динамика материальной точки

О. И. Лубенченко
НИУ МЭИ
Кафедра физики им. В. А. Фабриканта
2020

2. §4. Динамика материальной точки

Динамика — раздел механики, изучающий влияние взаимодействия тел на
механическое движение.
I. Законы Ньютона
I закон Ньютона: существуют такие системы отсчёта, в которых
материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие других объектов не
выведет её из этого состояния.
II закон Ньютона: ускорение материальной точки совпадает по
направлению с силой, с которой действуют на неё другие тела, и равно
отношению этой силы к массе точки:
a
F
m
a
F
m
III закон Ньютона: две материальные точки действуют друг на друга с
силами, равными по модулю, противоположными по направлению и
направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки:
F 12 F 21
F 21
1
2
F 12
2

3. §4. Динамика материальной точки

II. Инерциальные системы отсчёта. Инертность
Инерциальная система отсчёта (ИСО) — система отсчёта,
относительно которой материальная точка, не испытывающая внешних
воздействий, движется равномерно и прямолинейно.
ИСО
гелиоцентрическая
тело отсчёта — Солнце
лабораторная
тело отсчёта — лаборатория
(земля)
Все тела обладают инертностью — свойством сохранять состояние покоя
или равномерного прямолинейного движения в отсутствие внешних
воздействий.
Масса — скалярная ФВ — характеристика тела, являющаяся мерой его
инертности;
m кг
3

4. §4. Динамика материальной точки

4
III. Сила
Сила — векторная ФВ — мера воздействия на данное тело другого ФО. Каждая
сила описывает действие какого-либо ФО;
F Н ньютон
Линия действия силы — прямая, вдоль которой направлена сила.
Силовая линия — кривая, касательные к которой в каждой её точке
совпадают по направлению с силой.
ПРИМЕР
Силовые линии гравитационного поля Земли
m
Fg
O

5. §4. Динамика материальной точки

Главный вектор — векторная сумма всех сил, описывающих действие на
данное тело других ФО:
n
F Fi
i 1
n — число воздействующих объектов
Принцип независимости действия сил: если на материальную точку
одновременно действует n ФО, то ускорение этой точки
n
a
d2 r
a 2
dt
F
i 1
i
m
d2 r
m 2 F — дифференциальное уравнение
dt
движения материальной точки
F — главный вектор сил, с которыми другие ФО действуют на данную МТ
5

6. §4. Динамика материальной точки

d2x
m dt 2 Fx
2
d y
m 2 F y
dt
d2z
m 2 Fz
dt
IV. Центр масс механической системы
Внешние силы — силы, описывающие действие ФО, не входящих в данную
e
механическую систему, на тела, входящие в неё. F
Внутренние силы — силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в
i
данную механическую систему. F
III закон Ньютона
F
i
0

7. §4. Динамика материальной точки

Рассмотрим механическую систему из N материальных точек.
Центр масс механической системы — точка,
m1
C
для которой
ρi
m2
rC
N
mi
m ρ
mN
i
i 1
i
m r r 0
N
0 или
i
i 1
i
ri
O
N
N
m
r
m
i i
i rC
i 1
i 1
N
rC
m r
i 1
N
xC
m x
i
i 1
M
N
i i
M mi
M
i 1
N
i
yC
m y
i 1
i
M
N
i
zC
m z
i i
i 1
M
C

8. §4. Динамика материальной точки

ПРИМЕР
Нахождение центра масс системы двух МТ
Две МТ массами m1 и m2 находятся на расстоянии l друг от друга. Где
находится ЦМ системы?
m1
O
C
ρ1 xС
ρ2
m2
x
l
m1 x1 m2 x2
m2l
xC
m1 m2
m1 m2
Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы
движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой
приложена сила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к
системе:
MaC F
e
Доказательство
Механическая система состоит из N МТ. Дифференциальное уравнение
движения i-ой МТ
N
e
i
d 2 ri
mi 2 Fi F ki
dt
k 1, k i

9. §4. Динамика материальной точки

i
d 2 ri N e N N
mi 2 Fi F ki
dt
i 1
i 1
i 1 k 1, k i
N
0
ri rC ρi
e
d 2 rC N
d 2 ρi
mi 2 mi 2 F
dt
dt
i 1
i 1
N
d 2 rC
dt 2
d 2 rC
aC
2
dt
e
d2 N
m
m
ρ
F
i
2 i i
dt
i 1
i 1
N
N
N
m M
i 1
m ρ
i
MaC F
i 1
e
i
i
0

10. §4. Динамика материальной точки

V. Некоторые силы
1. Гравитационная сила
Сила, описывающая гравитационное воздействие МТ массой m1 на МТ
массы m2, находящуюся на расстоянии r от точки массой m1:
m1m2
r 12 — закон всемирного тяготения
3
r
m1
2
Н
м
G 6,67 10 11
— гравитационная постоянная
2
кг
F 12 G
F 12
r 12
ПРИМЕР
Сила тяжести — гравитационная сила вблизи поверхности Земли:
Fт mg
O R
r
M
Fg Fт
mM
M
r
F
G
m mg
т
m
3
2
R
R
M
м
g G 2 9,81 2 — ускорение свободного падения
R
с
ma mg
Fg Fт G
m2

11. §4. Динамика материальной точки

2. Сила упругости
Упругая деформация — деформация тела, которая полностью исчезает
после прекращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие
деформированного тела на тело, вызвавшее деформацию, описывается
силой упругости.
Линейная деформация подчиняется закону Гука: F упр kΔl
Δl — вектор деформации, k — коэффициент упругости (жёсткость)
Н
деформируемого тела
k м
F упр
k
0
m
Δl
T
m
m
N
Вес тела — сила, описывающая действие тела на опору или подвес.
P T
P N

12. §4. Динамика материальной точки

3. Сила сухого трения
Сила трения — составляющая силы взаимодействия соприкасающихся тел,
параллельная поверхности их контакта. Наличие этой составляющей
обусловлено неупругими деформациями тел.
Закон сухого трения (закон Кулона): Fтр max μN
µ — коэффициент трения — безразмерная ФВ; зависит от материала и
состояния соприкасающихся поверхностей.
F тр
N
m
v

F
Fтр
µN
0
µN
F
VI. Кинематические связи
Кинематическая связь — ограничение, накладываемое на движение
тела.

13. §4. Динамика материальной точки

1. Координатная связь
ПРИМЕР
Тело скользит по горизонтальному прямому рельсу.
y, z 0
r xi
v
a
x
v v x i v y , vz 0
2. Нить
a ax i
a y , az 0
а) Невесомая нить
Рассмотрим участок натянутой нити 1-2. По условию невесомости масса
этого участка Δm = 0. Участки нити, находящиеся по обе стороны от данного
участка, действуют на него с силами T1 , T2 .
Δm = 0
По т. о движении ЦМ
2 T2
T1 1
Δma T1 T2
0
T2 T1
T1 T2

14. §4. Динамика материальной точки

б) Нерастяжимая нить
Модуль скорости всех точек натянутой нити одинаков: v const
Доказательство
Будем отсчитывать координаты точек нити по её длине от некоторой точки
(например, одного из концов нити). Рассмотрим участок нити 1-2. Координата
точки 1 равна l1, координата точки 2 соответственно равна l2 По условию
нерастяжимости длина этого участка должна оставаться постоянной:
v2
Δl = l2 – l1 = const.
2
dl1
dl2
v1
dt
v2
dt
v1
0
dl dl d l2 l1
v2 v1 2 1
0
dt dt
dt
Отсюда aτ 2 aτ 1
v2 v1
1

15. §4. Динамика материальной точки

VII. План решения задач по динамике
1. Выбор объекта исследования и его модели: материальная точка, твёрдое
тело, механическая система (указать, какие тела в неё входят)
2. Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев — лабораторная)
3. Рисунок (или несколько рисунков)
4. Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на
рисунке: сил, ускорений и т. д.
5. Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в
векторной форме
6. Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат
для разных тел)
7. Запись закона в проекциях на оси системы координат
8. Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных
уравнений (другие законы, уравнения связей и т. п.)
9. Решение полученной системы уравнений в общем виде
10. Анализ результата и проверка размерностей
11. Численный расчёт и оценка его результата

16. §4. Динамика материальной точки

VIII. Импульс. Другая форма II закона Ньютона
ma F
dv
a
dt
F
d mv
dt
dv
m
F
dt
— II закон Ньютона в дифференциальной форме
Импульс материальной точки — векторная ФВ, характеризующая
инертность и движение тела (количество движения):
p mv
p
кг м
с
d mv Fdt Fdt — импульс силы
II закон Ньютона: изменение импульса МТ равно импульсу силы.
Импульс механической системы равен сумме импульсов тел (МТ),
входящих в эту систему:
P pi

17. §4. Динамика материальной точки

Импульс механической системы равен произведению массы системы на
скорость её центра масс:
P M vC
Доказательство
P pi mi vi mi
d
P
dt
dri d
mi ri
dt dt
0
mi rC mi ρi mi
Т. о движении ЦМ: MaC F
e
e
Если система замкнута, то F 0 и
dP
0
dt
ri rC ρi
e
d vC
M
F
dt
drC
Mv
dt
d M vC
dt
F
e
e
dP
F
dt
P const — закон сохранения импульса механической
системы: импульс замкнутой системы остаётся
неизменным с течением времени.
English     Русский Правила