Собственные значения и собственные вектора линейного оператора

1.

Собственные значения и собственные вектора
линейного оператора
Пусть φ – оператор пространства L.
Если для некоторого ненулевого вектора x L и числа λ
имеем
φ(x)= λ·x,
то число λ называется собст венным значением операт ора
φ , а вектор x называется собст венным вект ором операт ора
φ , от носящимся к собст венному значению λ.

2. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ

1. ЛЕММА 1. Каждый собственный вектор x оператора φ
относится к единственному собственному значению.
2. ЛЕММА 2. Если x1 и x2 – собственные векторы
оператора φ , относящиеся к одному и тому же
собственному значению λ ,
то их линейная
комбинация α·x1+β·x2 – собственный вектор оператора
φ , относящийся к тому же собственному значению.
Следствия ЛЕММЫ 2:
а) каждому собственному значению λ соответствует
бесконечное множество собственных векторов;
б) если к множеству всех собственных векторов x
оператора φ,
относящихся к одному и тому же
собственному значению λ, присоединить нулевой
вектор, то получим подпространство пространства L.
Это
подпространство
называется
собственным
подпространством оператора и обозначается Lλ.

3.

3. ЛЕММА 3. Собственные векторы x1,x2,…,xk оператора
φ, относящиеся к различным собственным значениям
λ1, λ2,…, λk , линейно независимы.
Следствия ЛЕММЫ 3:
а) линейный оператор, действующий в
n-мерном
линейном пространстве Ln, не может иметь более n
собственных значений;
б) в пространстве может существовать базис, хотя бы
часть которого – собственные векторы оператора.
ТЕОРЕМА 1. Матрица A оператора φ в базисе e1,e2,…,en
имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда
все базисные векторы ei являются собственными
векторами этого оператора.
КРИТЕРИЙ ДИАГОНАЛИЗИРУЕМОСТИ ОПЕРАТОРА:
оператор φ диагонализируем тогда и только тогда,
когда
в пространстве
Ln
существует базис из
собственных векторов оператора .

4. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора

Пусть φ – оператор n-мерного пространства Ln , x –
собственный вектор оператора φ , относящийся к
собственному значению λ , т.е. φ(x)= λ·x.
Пусть e1,e2,…,en – базис Ln , A – матрица линейного
оператора φ в базисе e1,e2,…,en
Получили:
1) x – собственный вектор оператора φ , относящийся к
собственному значению λ , тогда и только тогда, когда
его координаты ξ1,ξ2,…,ξn
являются решением
(нетривиальным) системы линейных однородных
уравнений (A–λE)X=O.
2) Подпространство Lλ является конечномерным, а его
базис образуют собственные векторы x1,x2,…,xk ,
координатами
которых
являются
решения
из
фундаментальной системы решений ОСЛАУ
(A–λE)X=O.

5.

Матрица
A–λE
называется характеристической
матрицей оператора φ (матрицы A) .
Определитель характеристической матрицы, т.е.
det(A–λE) – многочлен степени
n
относительно
переменной λ .
Этот многочлен называют
характеристическим
многочленом
оператора
φ
(матрицы A), а его корни – характеристическими
корнями оператора φ (матрицы A).
Таким образом,
число λ является собственным
значением оператора φ тогда и только тогда, когда оно
является его характеристическим корнем.

6.

Решение матричного уравнения
всегда имеет нулевое решение
x
( A E ) X 0
(0,0,...,0)
Ненулевое решение существует, если
A E 0
-характеристическое уравнение
оператора A (x) или матрицы A .
Пример.
Найти собственные векторы и собственные значения линейного
оператора, заданного матрицей
3 4
A
5 2
Решение.
1) Найдём собственные значения
, решив характеристическое уравнение
A E 0
3
0
Учитывая, что E
, получим A E
5
0
( 3 ) ( 2 ) 20 0
2 5 14 0
4
2
0
6 3 2 2 20 0
1 2, 2 7
6

7.

2) Определим собственные векторы, решая матричное уравнение
( A E ) X 0
4
3
A E
2
5
1 2
x1 0,8c, x2 c
2 7
5 x1 4 x2
5 4 x1
5 x1 4 x2 0
0
5 4 x2
5 x1 4 x2 0
(1)
x
x1 0,8 x2
( 0,8 c , c )
4 4 x1
0
5 5 x2
4 x1 4 x2 0
5 x1 5 x2 0
x1 x2 0
x1 x2 0
x1 x2 c
x
( 2)
(c, c )
7