В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко известный в узких кругах», математик Сергей Львович

1. В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко известный в узких кругах», математик Сергей Львович

Берлов. Довольно
молодой, азартный, самоуверенный, способный,
иногда вызывающий любителей математики на
соревнования. В частности, он опубликовал
подборку задач олимпиадного типа по планиметрии
под названием «СЛаБо?». Здесь явный намёк на
авторство ь и вызов на соревнование.
Теперь этот список задач является достоянием
фольклора. Ниже мы его приводим и даём
некоторые решения задач, (чтобы убедиться, что не
совсем уж у нас Слабо) хотя задачи совсем не
простые.
Последние 5 задач добавлены мной, составителем
презентации, Все заинтересованные лица могут
участвовать в расширении списка задач и/или их
решений, никакой охраны авторских прав в данном
случае нет, хотя некоторые задачи когда-то были
опубликованы в журнале «Квант». Но, как говорил
один умный человек, задачи по математике надо
коллекционировать, а не просто решать. … Можно
сказать даже сильнее – коллекционировать надо
задачи (лучше решённые), а не что-то другое.

2.

1. Точка М взята на стороне АС
правильного треугольника АВС, а на
продолжении стороны ВС за вершину С
отмечена точка N так, что ВМ=МN.
Доказать, что АМ=СN.
2. В выпуклом четырёхугольнике АВСD
‫ے‬А=‫ے‬D. Серединные перпендикуляры к
сторонам АВ и СD пересекаются в точке Р,
лежащей на стороне АD. Доказать, что
диагонали АС и ВD равны.
3. В четырёхугольнике АВСД точка Е –
середина стороны ВС, а Ф – середина
стороны ДС. Отрезки АФ и АЕ пересекают
диагональ ВД в точках К и М. Известно, что
ДК=КМ=МВ. Доказать, что АВСД –
параллелограмм.
4. Точки К и Н -- середины сторон АВ и СД
четырёхугольника АВСД. Отрезки ВН и КС
пересекаются в точке О. Точки пересечения
прямых АО и ДО со стороной ВС делят
отрезок ВС на три равные части. Доказать,
что АВСД – параллелограмм.

3.

5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС
отмечены точки Д и Ф соответственно. Е –
середина отрезка ДФ. Доказать, что
АД+ФС≤АЕ+ЕС.
6. На плоскости даны ∆ АВС и точки Д и Е,
такие, что ‫ے‬АДВ=‫ے‬ВЕС=90°. Доказать, что
длина отрезка ДЕ не превосходит
полупериметра ∆ АВС.
7. В выпуклом четырёхугольнике АВСД
‫ے‬ВАД+‫ے‬АДС=120° и АВ=ВС=СД. Доказать,
что точка пересечения диагоналей равноудалена
от вершин А и Д.
8. ВД – биссектриса угла В треугольника АВС.
Точка Е выбрана так, что ‫ے‬ЕАВ=‫ے‬АСВ,
АЕ=ДС, и при этом отрезок ЕД пересекает
отрезок АВ в точке К. Доказать, что КЕ=КД.

4.

9. Внутри острого угла С вершиной О дана
точка А . Постройте на сторонах угла точки В и
С так, что ОВ+ОС=ОА и при этом сумма
расстояний АВ и АС минимальна.
10. Точки Д, Е, Ф выбраны на сторонах АС, АВ,
ВС равнобедренного треугольника АВС
(АВ=ВС) так, что ДЕ=ДФ и при этом АЕ=ФС.
Доказать, что углы ВАС и ФДЕ равны.
11. Внутри параллелограмма АВСД выбрана
точка О так, что ‫ے‬ОАД=‫ے‬ОСД. Доказать, что
‫ے‬ОВС=‫ے‬ОДС.
12. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС
выбраны точки К и Л соответственно, так, что
‫ے‬КСВ=‫ے‬ЛАВ=α. Из точки В опущены
перпендикуляры ВД и ВЕ на прямые АЛ и СК
соответственно. Точка Ф – середина стороны
АC. Найдите углы треугольника ДЕФ.

5.

13. В треугольнике АВС ‫ے‬В=60°, АА1, СС1 –
высоты. На прямой, проходящей через В
перпендикулярно А1С1, выбрана точка М В
такая, что ‫ے‬АМС=60°. Доказать, что
‫ے‬АМВ=30°.
14. В ромбе АВСД на отрезке ВС нашлась точка
Е такая, что АЕ=СД. Отрезок ЕД пересекается с
описанной окружностью треугольника АЕВ в
точке Ф. Доказать, что точки А, Ф, С лежат на
одной прямой.
15. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС, а К
– его проекция на медиану ВМ этого
треугольника Доказать, что точки А, К, Н, С
лежат на одной окружности. (радиус её равен
радиусу окружности, описанной около
треугольника АВС).
16. В трапеции АВСД диагональ АС равна сумме
оснований АВ и СД. Точка М – середина
стороны ВС. Точка В′ симметрична точке В
относительно прямой АМ. Доказать, что
‫ے‬АВД=‫ے‬СВ′Д.

6.

17. Биссектриса угла А параллелограмма АВСД
пересекает прямые ВС и СД в точках Х и У.
Точка А′ симметрична точке А относительно
прямой ВД. Доказать, что точки С, Х, У и А′
лежат на одной окружности.
18. Вписанную окружность спроецировали на
стороны треугольника. Доказать, что шесть
концов проекций принадлежат одной
окружности.
19. В′ -- точка описанной окружности
остроугольного ∆ АВС, диаметрально
противоположная вершине В, И – центр
вписанной окружности треугольника АВС. М –
точка касания вписанной окружности со
стороной АС. На сторонах АВ и ВС выбраны
соответственно точки К и Л такие, что КВ=МС,
ЛВ=АМ. Доказать, что В′И и КЛ
перпендикулярны.

7.

20. На плоскости даны две пересекающиеся
окружности. Точка А – одна из двух точек
пересечения этих окружностей. В каждой
окружности проведён диаметр, параллельный
касательной в точке А к другой окружности,
причём эти диаметры не пересекаются. Доказать,
что концы этих диаметров лежат на одной
окружности.
21. Н – ортоцентр остроугольного треугольника
АВС, Д -- середина стороны АС. Прямая,
проходящая через Н перпендикулярно отрезку
ДН, пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и Ф.
Доказать, что НЕ=НФ.
22. Внутри выпуклого четырёхугольника
отмечено четыре точки. Доказать, что на
периметре четырёхугольника найдётся точка,
сумма расстояний от которой до вершин больше,
чем сумма расстояний до отмеченных точек.

8.

23. В окружности З проведены две параллельные
хорды ВА и СД. Прямая, проведённая через С и
середину АВ, вторично пересекает З в точке Е.
Точка К – середина отрезка ДЕ. Докажите, что
‫ے‬АКЕ=‫ے‬ВКЕ
24. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС
отмечены точки Д и Е соответственно, так что
ВД+ДЕ=ВС, и ВЕ+ЕД=АВ. Известно также, что
четырёхугольник АДЕС – вписанный. Доказать,
что треугольник АВС – равнобедренный.
25. Окружности З1 и З2 пересекаются в точках А
и В. На окружности З1 выбрана точка К. Прямые
КА и КВ пересекают окружность З1 в точках С и
Д, касательные к З1 в точках А и В пересекаются
в точке Р. Точка К расположена вне З2, точки С и
Д – вне З1. Доказать, что прямая КР проходит
через середину отрезка СД.

9.

26. В остроугольном треугольнике АВС
проведены высоты АА1 и ВВ1. На (меньшей)
дуге АВ описанной около треугольника
окружности выбрана точка Л такая, что ЛС=СВ.
при этом оказалось, что ‫ے‬ВЛВ1=90 ° .
Доказать, что высота АА1 делится высотой ВВ1
пополам.
Ещё …
1. Дан равнобедренный треугольник АВС
(АВ=ВС). Через В параллельно основанию АС
проведена прямая l. На АВ выбрана
произвольная точка D. К DC строится
серединный перпендикуляр до пересечения с
прямой l в точке Е. Доказать, что треугольник
CDE подобен треугольнику АВС.
2. Имеется (острый) угол с вершиной А и две
окружности: меньшая касается стороны угла в
точке В и пересекает другую сторону угла в
точках С и С1 (С1 дальше от вершины А).
Вторая окружность касается стороны АС1 угла
в точке С1 и пересекает другую сторону угла в
точках В и В1 (В1 дальше от вершины А).
Доказать, что СВ параллельно С1В1.

10.

3. Окружность касается меньшей окружности
внутренним образом в точке А. Хорда ВС
внешней окружности касается внутренней
окружности в точке D. Доказать, что угол
‫ے‬ВАD=‫ے‬DАС.
4. Пусть АВ -- диаметр заданной окружности,
четырёхугольник АВСD вписан в окружность.
Пусть F -- точка пересечения прямых ВС и АD.
Оказалось, что площадь треугольника FDC
равна площади четырёхугольника АВСD.
Определить угол ‫ے‬АFВ. (доказать, что угол
равен 45 °). Вариант: площадь ∆ FDC втрое
меньше площади АВСD. (тогда угол равен 60
°).
5. Пусть в остроугольном треугольнике АВС
‫ے‬А=60 °. Пусть О – центр окружности,
описанной около АВС, В1 пересечение отрезка
АС с прямой ВО, С1 пересечение отрезка ВА с
прямой СО. Доказать, что ВС1=В1С1=В1С.
Верно и обратное: если продолжения радиусов
ВО и СО отсекают от сторон угла ‫ے‬А равные
отрезки ВС1=В1С и В1С=В1С1, то ‫ے‬А=60 ° .