Формулы для вычисления площадей различных треугольников

1.

Формулы для вычисления площадей
различных треугольников

2.

С
В
a
А
D
b

3.

1
S a ha
2
1
1
S ABC S ADC S ADB CD ha DB ha
2
2
1
1
1
(CD DB )ha СB ha a ha
2
2
2

4.

1
S ab sin
2
A
c
b
hа
ɣ
B
С
a
S ABC
D
1
a ha , но из прямоуголь ного
2
треугольника ADC h a b sin , S ABC
1
ab sin
2

5.

B
r
O
C
А
S ABC S BOC S AOB S AOC
1
AB r
2
1
1
1
AC r BC r (a b c) r
2
2
2
r радиус вписанной окружности.

6.

B
a b c
S
4R
O
R
A
C
1
ab sin C ; sin C найдем из соотношения
2
с
c
1 abc abc
2 R; sin C
, SABC
sin C
2R
2 2R 4R
Мы знаем, что SABC

7.

B
с
a
A
b
C
S p( p a)( p b)( p c)

8.

Доказательство: По теореме косинусов можно записать:
c 2 a 2 b 2 2ab cosγ
2ab cosγ a 2 b 2 c 2 ,
a 2 b2 c2
cosγ
.
2ab
a 2 b 2 c 2
a 2 b2 c2
1
sin γ 1 cos γ (1 cos )(1 cos ) 1
2ab
2ab
2ab a 2 b 2 c 2 2ab a 2 b 2 c 2
c 2 (a b) 2 (a b) 2 c 2
2ab
2ab
2ab
2ab
1
(c a b)(c a b)(a b c)(a b c).
4a 2 b 2
2
2
a b c 2p
a b c a b c 2c 2 p 2c
c a b c a b 2b 2 p 2b
c a b c b a 2a 2 p 2a, то
1
16
sin 2
(2p
2a)(2p
2b)(2p
2c)
2p
(p a)(p b)(p c) p
4a 2 b 2
4a 2 b 2
4
2 2 (p a)(p b)(p c) p.
a b
2
sin γ
p (p a)(p b)(p c) .
ab
1
2
ч.т.д.
S. ab
p(p a)(p b)(p c) p(p a)(p b)(p c) .
2
ab
Т.К.

9. ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (Heronus Alexandrinus)

Герон Александрийский – греческий учёный,
работавший в Александрии,(даты рождения и смерти
неизвестны, вероятно, I – II вв. н. э. ).
Математические работы Герона являются
энциклопедией античной прикладной математики. В
"Метрике" даны правила и формулы для точного и
приближённого расчёта различных геометрических
фигур, например формула Герона для определения
площади треугольника по трём сторонам, правила
численного решения квадратных уравнений и
приближённого извлечения квадратных и кубических
корней. В основном изложение в математических
трудах Герона догматично – правила часто не
выводятся, а только выясняются на примерах.
Герон занимался геометрией, механикой,
гидростатикой, оптикой.

10.

B
p
c
a b c
2
A
a
b
S
S
1
4
1
4
1
4
1
4
C
1
4ab (a b c ) 2
4
a b c
a b c
a b c a b c
a
b
c
2
2
2
2
( a b c )( b c a )( a b c )( a b c )
(( b c ) a )(( b c ) a )( a ( b c ))( a ( b c ))
1
(b 2 bc c a)( a b 2 bc c)
4
1
(2 bc (b c a))( 2 bc (b c a))
4bc (b c a) 2
4
(( b c ) 2 a)( a ( b c ) 2

11.

Итак, мы получили II формулу Герона. И если стороны
треугольника а,b,с , то запишем ее в виде:
1
2 2
2
2
2 2
S
4a b ( a b c )
4
B
c
a
A
b
C

12.

Найти площадь треугольника со сторонами
17
13
20
1
S
4a 2 b 2 ( a 2 b 2 c 2 ) 2
4
2
1
1
1
S 4 13 20 (13 20 17) 1040 256 784 7
4
4
4
17 ,
20 ,
13

13.

Формулы медиан треугольника
ma
1
2
2b 2 2c 2 a 2
mb
Из треугольн ика ACD по теореме косинусов :
ma b2
a2
a
a2
2b cosγ
b 2 ab cosγ
4
2
4
a2
2
b2 ma
a 2 4b 2 4m a2
4
cosγ
ab
4ab
Из треугольн ика АВС по теореме косинусов :
1
2
mc
(1)
a 2 b2 c2
2
a
2b 2 2m a2
2
a2
2m
2b 2 a 2 b 2 c 2
2
a2
2m a2 b 2 c 2
2
1
m a2 (2b 2 2c 2 a 2 )
4
1
ma
2b 2 2c 2 a 2
2
(2)
1
2
2a 2 2b 2 c 2
B
с 2 a 2 b 2 2ab cosγ
a 2 b2 c2
cosγ
2ab
Приравнивая формулы (1) и (2) получаем :
2 a 2 2c 2 b 2
а
2
c
D
AD- медиана.
mа
a
2
a
А
b
C

14.

C
13
Дано : треугольник ABC
с 5
D
hc
а 10
10
A
B
5
в 13
Найти :
1) S ABC .
По второй формуле Герона:
2)hc .
1
4 ( 10 )2 ( 13 )2 (( 10 )2 ( 13 )2 ( 5 )2 )2
4
1
1
1
14 7
4 10 13 ( 10 13 5 )2
520 324
196
3,5
4
4
4
4 2
3) cos B.
4) R( радиус описанной окружности ).
1) S
5) Медиану AD
2) Проведем высоту СК hc ,
hc
2S
2 3,5
7
; hc
с
5
5
a2 c2 b2
,
2ac
( 10 )2 ( 5 )2 ( 13 )2 10 5 13
1
2
cos B
2 10 5
2 5 2
5 2 10
3 ) cos B
4) R
a b c
5 10 13 5 26
4S
4 3,5
14
5) Проведем медиану AD m a
ma
1
2b 2 2c 2 a 2 ,
2
ma
1
1
26
2 ( 13 ) 2 2 ( 5 ) 2 ( 10 ) 2
26 10 10
2
2
2

15.

Найти площадь треугольника АВС если, А(0;6) B(4;-2) C( 2;18)
y
Из построения видно, что треугольник АВС разносторонний, и ни одна из высот не
параллельна оси координат.
18
AB (4 0) 2 ( 2 6) 2 80
BC (2 4) 2 (18 2) 2 404
AC (2 0) 2 (18 6) 2 4 144 148
Найдем площадь треугольника по II формуле Герона..
6
0
-2
1
1
4 80 404 (80 404 148) 2
129280 112896
4
4
1
1
16384 128 32
4
4
S
4
x
Как мы видим здесь очень громоздкие вычисления и без
калькулятора не обойтись. Тогда встает вопрос . А нет ли
какой-нибудь формулы попроще, чтоб посчитать площадь
треугольника в прямоугольной системе координат? И вот эта
формула.

16.

Пусть вершины треугольника АВС имеют следующие координаты:
А( х1; у1), В (х2; у2), С( х3; у3)
S
1
2
Применим эту формулу к нашему примеру.
4-0
2-0
4
2
S
=
½
=
-2-6
½
18-6
х2 - х1
х 3 х1
у 2 - у1
у3 - у1
= ½ (48+ 16)= 32.
-8
12
Если предположить, что х1=у1=0, то получится еще более простая формула:
1
S x2 y3 x3 y2
2
Вывод этой последней формулы приводится ниже .
Y
( у2 у1 )
С ' ' (0; у3 )
с( х3 у3 )
В( х2 у2 )
В' ' (O; у2 )
S
А' ' (0; у1 )
А( х1; у1 )
А' ( х1;0)
( х3 х1 )
с' ( х3 ;0)
В' ( х2 ;0)
X
( х2 х1 )
1
x2 x1 ( y3 y1 ) ( x3 x1 )( y2 y1 )
2

17.

Пусть требуется найти площадь S треугольника АВС с вершинами А (х 1; у1), В( х2; у2), С( х3; у3).
Пусть АВ= с, АС = b, а углы, образованные этими сторонами осью Ох, соответственно равны α и β
А' B' = cx= c cos α= x2-x1
A’’B’’= cy= c sin α = y2-y1
(1)
А' C' = bx= b cos B= x3-x1
(2)
A’’C’’= by= b sin B = y3-y1
Прямоугольная система координат на плоскости:
Пусть ф = угол САВ; очевидно
ф=β–α
По известной формуле тригонометрии получаем:
S= ½ bc sin ф = ½ bc sin (β – α) =
Отсюда в силу (1) (2) имеем:
½ bc(sin β cos α- cosβ sinα ) = ½(by cx- bx cy)
(3)
S= ½ [(y3-y1) (x2-x1) – (x3-x1) (y2-y1)]
(4)
Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус.
Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде:
S= +/- ½ [(x2-x1) (y3-y1) – (x3-x1) (y2-y1)] (4’)
Где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число.
Формулу (4) можно записать в удобном для запоминания форме:
S=
½
х2-х1
у2-у1
х3-х1
у3-у1

18.

Восемь формул для нахождения
площадей различных треугольников.
1
S ab
2
S p( p a)( p b)( p c)
1
2 2
2
2
2 2
S
4a b ( a b c )
4
1
S a ha
2
1
1
S 2 ( a b c) r
S ab sin
2
a b c
S
1
2
х1 х0
у1 у0
х2 х0
у 2 - у0
S
4R

19.

С
Ɣ
в
а
α
А
β
c 2 sin α sin β
S
2 sin (α β)
В
с
c 2 sin α sin β
S
2 sin (α β)
Доказатель ство :
180 ( )
Из
(1)
a
b
c
sin
sin
следует a c
, b c
sin sin sin
sin
sin
1
1 sin
sin
c 2 sin sin
c 2 sin sin
c 2 sin sin
S ab sin c
c
sin
2
2 sin
sin
2 sin
2 sin( 180 ( ))
2 sin( )

20.

С
Ɣ
в
S
а
А
α
β
В
с
Доказатель ство :
Т.к. sin( ) sin cos cos sin
cos cos
sin sin (ctg ctg ).
sin sin
sin sin
Подставляя в формулу (1), получим :
c 2 sin sin
c2
S
.
2 sin sin (ctg ctg ) 2(ctg ctg )
c2
S
.
2(ctg ctg )
c
2
2(ctg ctg )
.

21.

B
S 2R sin sin sin .
O
A
2
C
Доказатель ство :
a
b
c
Из
2R
sin sin sin
получим a 2 R sin , b 2 R sin . Подставим в формулу
1
S ab sin
2
1
S 2 R sin 2 R sin sin 2 R 2 sin sin sin .
2

22.

С
в
a 2 sin sin
S
2 sin
Ɣ
а
А
α
β
В
Доказатель ство :
Из
a
b
c
a sin
имеем b
sin sin sin
sin A
1
1
a sin
1 a 2 sin sin
Подставим в формулу S ab sin ; S a
sin
2
2
sin
2
sin

23.

Вычисление площади треугольника через радиусы
вневписанных окружностей.
Вневписанная окружность- это
окружность, касающаяся одной
стороны треугольника и продолжения
двух других сторон.
Oa
Oc
rа
S ra ( p a ) rb ( p b) rc ( p c)
rс
β
a
Ɣ
c
α
b
S ra rb rc r
ra , rb , rc радиусы вневписанных окружностей
rb
p полупериметр
Ob

24. Интернет-ресурсы

• Сайт http://www.webmath.ru
• Вычисление площади треугольника
• Формула площади треугольника, онлайн
сервис для расчета площади треугольника.
Нахождение площади треугольника 7-ю
методами, всего за несколько секунд Вы
найдете площадь треугольника.