Четырёхугольники

1.

Геометрия 9 класс.
Повторение. Подготовка к
ГИА.

2. Тема урока: четырёхугольники.

Цели урока:
• Систематизировать и обобщить знания
учащихся.
• Проверить уровень усвоения темы.
• Формировать умения применять знания к
решению задач.

3. Повторим определения

• Четырёхугольник – это многоугольник с
четырьмя вершинами и четырьмя сторонами
• Соседние вершины – вершины, являющиеся
концами одной из сторон четырёхугольника
• Противолежащие вершины – вершины не
являющиеся соседними
• Диагонали четырёхугольника – отрезки,
соединяющие противолежащие вершины.
• Соседние стороны – стороны, исходящие из
одной вершины.
• Противолежащие стороны – стороны, не
являющиеся соседними.
• Периметр – сумма длин всех сторон
четырёхугольника.

4. Запишем опорный конспект

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого
противолежащие стороны параллельны

5. Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны параллелограмма равны
2. Противолежащие углы параллелограмма равны
3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам
Утверждения, обратные свойствам 1-3, являются признаками
параллелограмма:
если противолежащие стороны четырёхугольника равны, то этот
четырёхугольник - параллелограмм

6. Свойства параллелограмма

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
удвоенной сумме квадратов его сторон.
а
d1
в
d2

7. Прямоугольник, ромб, квадрат

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы
прямые
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

8. Свойства прямоугольника, ромба и квадрата

1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Диагонали ромба пересекаются под
прямым углом.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами
его углов.
4. Диагонали квадрата:
1) равны
2) пересекаются под прямым углом
3) являются биссектрисами его углов

9. Свойства прямоугольника, ромба и квадрата

5. Для прямоугольника, ромба и квадрата
справедливы все свойства параллелограмма.

10. Трапеция (определения)

• Трапеция – это четырёхугольник, у которого две
стороны параллельны, а две другие стороны не
параллельны.
• Основания трапеции – её параллельные стороны.
• Боковые стороны трапеции – непараллельные,
противолежащие стороны трапеции
• Высота трапеции – это отрезок перпендикуляра от
любой точки одного основания до её другого
основания(или его продолжения)
• Средняя линия трапеции – отрезок соединяющий
середины боковых сторон трапеции.

11. Виды трапеции

• Равнобокая (равнобедренная)
• Прямоугольная

12. Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и
равна их полусумме.
2. У равнобокой трапеции углы при основании (верхнем и
нижнем) равны.

13. Свойства трапеции

3. Пусть АВСD – трапеция с основаниями АD и
ВС, точка Е- точка пересечения её
диагоналей.
В
С
S∆АВЕ
А
Тогда S∆АВЕ
Е
S∆DСЕ
D
= S∆DСЕ
Данное свойство верно для любых трапеций.

14. Свойства вписанных и описанных четырёхугольников

1.1.Четырёхугольник
можно
вписать
вв
Четырёхугольник
можно
вписать
1.1.окружность
Четырёхугольник
можно
вписать
вв
тогда
и
только
тогда,
когда
Четырёхугольник
можно
вписать
окружность
тогда
ии
только
тогда,
когда
1.
Четырёхугольник
можно
вписать
вравна
окружность
тогда
только
тогда,
когда
1.
Четырёхугольник
можно
вписать
вравна
сумма
его
противолежащих
углов
окружность
тогда
и
только
тогда,
когда
1.
Четырёхугольник
можно
вписать
вравна
сумма
его
противолежащих
углов
окружность
тогда
и
только
тогда,
когда
1.
Четырёхугольник
можно
вписать
вравна
сумма
его
противолежащих
углов
окружность
тогда
и
только
тогда,
когда
180°
1.
Четырёхугольник
можно
вписать
вравна
сумма
его
противолежащих
углов
окружность
тогда
и
только
тогда,
когда
180°
1.
Четырёхугольник
можно
вписать
вравна
сумма
его
противолежащих
углов
окружность
тогда
и
только
тогда,
когда
180°
1.
Четырёхугольник
можно
вписать
вравна
сумма
его
противолежащих
углов
окружность
тогда
и
только
тогда,
когда
180°
А
+
С
=
В
+
D
=
180°
1.
Четырёхугольник
можно
вписать
вравна
сумма
его
противолежащих
углов
окружность
тогда
и
только
тогда,
когда
180°
А
+
С
=
В
+
D
=
180°
сумма
его
противолежащих
углов
окружность
тогда
и
только
тогда,
когда
180°
А
+
С
=
В
+
D
=
180°
сумма
его
противолежащих
углов
равна
окружность
тогда
и
только
тогда,
когда
180°
В
А
+
С
=
В
+
D
=
180°
сумма
его
противолежащих
углов
равна
180°
В
А
+
С
=
В
+
D
=
180°
сумма
его
противолежащих
углов
равна
180°
В
А
+
С
=
В
+
D
=
180°
сумма
его
противолежащих
углов
равна
А
180°
В
А
+
С
=
В
+
D
=
180°
А
180°
В
АА++СС==ВВ++DD==180°
А
180°
В
180°
А
В
А
+
С
=
В
+
D
=
180°
А
В
А
+
С
=
В
+
D
=
А
В
А + С = В + D =180°
180°
А
А
В
А
А
С
А
А
D
D
D
D
С
С
С
В
С
В
С
С
С
С

15. Свойства вписанных и описанных четырёхугольников

1. Четырёхугольник можно вписать в
окружность тогда и только тогда, когда
сумма его противолежащих углов равна
180°
А + С = В + D = 180°
В
А
С
D

16. Свойства вписанных и описанных четырёхугольников

2. Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и
только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.
а+с=в+d
в
а
с
d

17. РЕШИМ ЗАДАЧИ

№1
Дано: ВС=5см
АD=16см
ВНайти:
5
K
А
10,5
С
KL-?
L
D
16
Решение
Т.к. АК=КВ, CL=LD (по условию),
то KL- средняя линия трапеции (по определению),
KL=(5+16):2=10,5(см) (по свойству)

18. № 2

№2
Сумма двух углов параллелограмма 120 .
Найти углы параллелограмма.
Решение
‹ А + ‹ С = 120 (по условию)
‹ А = ‹ С = 60 (по свойству)
В
А
С
D
‹ В = ‹ D = 120 (по свойству)

19. № 3

№3
Подсказка
Дано: BD = AB
AB ? AD ?
Найти углы ромба
∆ ADВ
‹1 ? ‹2 ? ‹3 ?
А
Решение
D
120
60
С
В
∆ ADB-равносторонний(по опр.), ‹ 1+‹2+‹3= 180
(по свойству),значит,‹1=‹2=‹3=60
Т.к. АВСD – ромб (по условию), а диагонали
ромба являются биссектрисами его углов(по
свойству), то ‹ А = ‹ С = 60 и ‹ В = ‹ D = 120 (по
свойству)

20.

Попробуйте решить самостоятельно
1. Три друга при встрече обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано
рукопожатий? (3.)
2. Есть помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в
каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? (3.)
3. Перечислить все возможные способы разложения по двум вазам одного яблока и
одной груши. (4.)
4. Сколькими способами Петя и Вова могут занять 2 места за одной двухместной
партой? (2.)
5. Сколько подарочных наборов можно составить:
1) из одного предмета; (1.)
2) из двух предметов, если в наличии имеются одна ваза и одна ветка сирени? (3.)

21.

Дано:
Найти:
B
C
?
K
750
D
А
Ответ:
150

22.

АВСД – трапеция, Разность
углов В и А равна 40°
Дано:
Найти:
Углы А и В
B
C
х+40
х
А
Ответ:
70º,
110º
D

23.

Дано:
Найти:
B
А
K
Ответ:
2х
3х
8; 12
C
D