Уравнения следствия

1. УРАВНЕНИЯ СЛЕДСТВИЯ

АЛГЕБРА 11 КЛАСС

2.

Два уравнения f₁(x)= g₁(x) и f₂(x)= g₂(x)
называются равносильными,
если множества их корней совпадают.
Уравнения f₂(x)= g₂(x) называется следствием
уравнения f₁(x)= g₁(x),
если каждый корень уравнения f₁(x)= g₁(x)
является одновременно и корнем уравнения
f₂(x)= g₂(x).
Если 2 уравнения равносильны, то можно сказать так:
каждое из них является следствием другого.

3.

Процесс преобразования любого уравнения
можно записать так:
(1)→(2)→(3)→(4)→…
Это значит, что заданное уравнение (1) преобразуют в
уравнение (2) более простое и т.д. по цепочке.
В этот момент и возникает главный вопрос: а будут ли
найденные корни корнями исходного уравнения?
Ответ на поставленный вопрос неопределён: может быть и да и
нет? Чтобы ответ на поставленный вопрос был определённым,
надо найденные корни последнего уравнения проверить,
подставив их поочерёдное в заданное уравнение (1).
Если такая подстановка показывает, что найденный корень
последнего уравнения не удовлетворяет исходному
уравнению, он называется ПОСТОРОННИМ и
отбрасывается.

4.

Решения уравнения осуществляется по следующему
плану:
1)Техническая часть, т.е. осуществление цепочки
превращений по схеме:
(1)→(2)→(3)→(4)→…
и отыскивание корней последнего (самого простого)
уравнения этой цепочки.
2)Анализ решения, т.е. получение ответа на вопрос:
всё ли преобразования были равносильными?
3)Проверка найденных корней последнего уравнения цепочки
их подстановкой в исходное уравнение в случае,
если анализ, проведённый на 2-м шаге, покажет, что на все
преобразования были равносильными.

5.

При осуществлении данного плана возникают 4 вопроса:
1) Как узнать, является ли переход от одного уравнения к
другому равносильным преобразованием?
2) В каких случаях в результате преобразований мы
переходим от уравнения к уравнению-следствию?
3) Как делать проверку, если это сопряжено со
значительными вычислительными трудностями?
4) В каких случаях при переходе от одного уравнения к
другому может произойти «потеря корней» и как этого не
допустить?

6.

Начнем с 1 вопроса. Есть 3 теоремы – назовём
их «спокойные», которые всегда «работают» и
не причиняют тем, кто их используют, никаких
неприятностей.
Т1: Если какой-нибудь член, уравнения
перенести из одной части уравнения в другую с
противоположным равносильное данному
a+b=c+d; a+b-c=d.
Т2: Если обе части уравнения возвести в одну и
ту же нечётную степень, то получится
уравнение равносильное данному.
f₁(x)=g₁(x); (f₁(x))²ᵏ⁺¹=(g₂(x))²ᵏ⁺¹
Т3: Уравнение aᶠ⁽ ͯ⁾ =aᶢ⁽ ͯ⁾, где a›0, a≠1
равносильно уравнению f(x)=g(x).

7.

И есть 3 «беспокойные» теоремы, которые выполняются
только в определенных условиях, и поэтому требуют
внимания от тех, кто их применяет.
Т4: Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на
одно и то же выражение b(x), которое:
А) имеет смысл всюду в области определения уравнения
f(x)=g(x).
Б) нигде в этой области не превращается b 0, то
получится уравнение f(x)b(x)=g(x)b(x), равносильное
данному.
СЛЕДСТВИЕ ИЗ Т4:
Ещё одно «спокойное» преобразование: если обе части
уравнения умножить на одно и то же отличное от нуля
число c, то получится уравнение равносильное данному.
Т5: Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны
в О.О.У., то после возведения обеих частей уравнения в
одну и ту же четную степень, получится уравнение (f(x))ⁿ=(g(x))ⁿ,
равносильное данному.

8.

Теперь мы можем ответить на 2 вопроса: если в
процессе решения уравнения применялась одна
из теорем-4 или 5, не проверив выполненных в
формулировках теорем, то получится уравнение следствие.
Например, уравнение x-1=3 имеет 1 корень 4.
Умножив обе его части на (x-2), получим уравнениеследствие (x-1)(x-2)=3(x-2), имеющие 2 корня: 4 и 2,
причем 2-посторонний корень для уравнение x-1=3.
Подведём промежуточный итог:

9. Преобразования, приводящие к уравнению-следствию

Преобразование
Влияние на корни уравнения
Возведение уравнения в ЧЕТНУЮ
степень
f(x)=g(x)
(f(x))n=(g(x))n
Может привести к появлению
посторонних корней
Потенцирование логарифмических
уравнений, т.е. замена:
logaf(x)=logag(x)
f(x)=g(x)
Может привести к появлению
посторонних корней
Освобождение уравнения от
знаменателей:
Может привести к появлению
посторонних корней, т.е. тех чисел xi,
для которых
или
( хi ) 0
g ( xi ) 0
f ( x) ( x)
g ( x) ( x)
f ( x) ( x) g ( x) ( x)
Замена разности f(x)-f(x) нулем, т.е.
приведение подобных членов
Может привести к появлению
посторонних корней, т.е. тех чисел,
для каждого из которых функция f(x)
не определена.

10.

Если при решении данного уравнения
совершен переход к уравнению-следствию,
то необходимо проверить, все ли корни
уравнения –следствия являются корнями
исходного уравнения.
Проверка полученных корней является
обязательной частью решения
уравнения.

11. №8.22 (а) Решите уравнение:

1)
5(7 3 x ) 3(2 x 5 x) 41
2) № 8.23(а)
( x 2 x ) 4 x x 3
2

12. №8.24 (а,в) Решите уравнение:

1)
2)
tg
x
2
x 7 x tg
2
x
2
6
x 13 log 2 ( x 9) 8x log 2 (2 x 18)
2
3
3

13. №8.25 (а,в) Решите уравнение:

1)
2)
x 1
3
2
x x 2
4x 8
3
2
x x 2

14. №8.28 (а,в) Решите уравнение:

1)
2)
10
2
lg(x 2 5 x 1)
3x 2
log2 ( 2 x 2 5 x 1)
x 7
2

15. №8.29 (а,в) Решите уравнение:

1)
2)
2
log 5 x 0
2
(log x 5)
2
(log x 4)
2
log 4 x 0