Уравнения и нераверства в школьном курсе математики

1. Изучение уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

2.

Виды уравнений и неравенств
Рациональн
ые
Показательные
Иррациональные
Тригонометрическ
ие
Логарифмическ
ие

3.

Рациональные уравнения
Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная
функция, называется целым рациональным уравнением.
Линейные уравнения.
Уравнения вида ax+b=0, где a и b —
некоторые постоянные, называется линейным
уравнением.
Если a≠ 0, то уравнение имеет единственный
корень: x = -b /a.
Если a=0; b≠ 0, то линейное уравнение
решений не имеет.
Если a=0; b=0, то любое x является решением
линейного уравнения.

4.

Пример 1.1.
2x – 3 + 4(x – 1) =
5.
Решение.
2x – 3 + 4x – 4 = 5,
2x + 4x = 5 + 4 + 3,
6x = 12,
x = 2.
Ответ: 2.
Пример 1.2.
2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) –
7.
Решение.
2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7,
0x = – 6.
Ответ:Ø.
Пример 1.3.
2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.
Решение.
2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
-4x + 4x = 9 – 9,
0x = 0.
Ответ: Любое число.

5.

Квадратные уравнения
Уравнение вида ax²+ bx + c = 0, где a, b и c —
некоторые числа (a≠ 0);
x — переменная, называется квадратным
уравнением.
Формула решения квадратного
уравнения.
для решения квадратного уравнения следует
вычислить дискриминант
D = b²– 4ac.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет
единственное решение:
X=-b / (2a).
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:
X1=(-b + √D) / (2a);
X2= (-b - √D) / (2a).
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

6.

Теорема Виета.
Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного
уравнения равна коэффициенту при X, взятому c
противоположным знаком и делённому на коэффициент
при X²; произведение корней этого уравнения равно
свободному члену, делённому на коэффициент при X².
Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства
X1 + X2 = – b / a и
X1X2 = c / a,
то числа X1 и X2 являются корнями квадратного
уравнения
ax² + bx + c = 0.

7.

Пример
Решить уравнение
А)2x² + 5x – 1 = 0.
Решение
. D = 25 – 4·2(– 1) = 33 >0;
X1 = (- 5 + √ 33) / 4;
X2= (- 5 -√33) / 4.
Ответ: (- 5 + √33) / 4; (- 5 -√33) / 4.
Б) x2 -9x + 20 =0
x1 +x2 =9 и x1x2=20
x1=4 , x2=5.
Ответ : 4; 5.

8.

Дробно-рациональные
Уравнение вида
P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm(x) / Qm(x) = 0,
где P1(x), P2(x), … ,Pm(x), Q1(x), Q2(x), …, Qm(x) — целые
рациональные функции, называется дробнорациональным уравнением.
Решение дробно- рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0,
где
P (x) и Q (x) — многочлены (Q (x) ≠ 0), сводится к решению
уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни
удовлетворяют условию Q (x) ≠0.

9.

Решить уравнение
(x³ – 27) / (x – 3) = 27
Решение.
Разложим числитель на множители
(по формуле разности кубов):
(x – 3)(x² + 3x + 9) / (x – 3) = 27 .
Отсюда:
Квадратное уравнение x²+ 3 x – 18 =
0 имеет корни X1 = 3; X2 = -6
(X1 не входит в область допустимых
значений).
Ответ: -6

10. Неравенства

Неравенства
линейные
квадратные
рациональные

11. Линейные неравенства

Линейным неравенством с одной
переменной х называется неравенство
вида ах + b › 0, где а≠0.
Решение неравенства – значение
переменной х, которое обращает
неравенство в верное числовое
неравенство.
Множество частных решений называют
общим решением.

12.

Два неравенства f(х)х))<g(х)х)) и r(х)х))<s(х)х))
называют равносильными, если они
имеют одинаковые решения.
Правила
(преобразования неравенств,
приводящие к равносильным
неравенствам):
1. Любой член неравенства можно
перенести из одной части неравенства в
другую с противоположным знаком (не
меняя при этом знака неравенства)
Например: 3х + 5 < 7х
3х + 5 -7х < 0

13.

2: а) обе части неравенства можно
умножить или разделить на одно и то
же положительное число, не меняя
при этом знака неравенства.
б) если обе части неравенства
умножить или разделить на одно и то
же выражение, положительное при
любых значениях переменной, и
сохранить знак неравенства, то
получится неравенство, равносильное
данному.
Например:
2х + 1< 0
а)8х – 12 > 4х2
2х – 3 > х2
б)(2х + 1)(х2 + 2) < 0

14.

3.а) Обе части неравенства можно умножить
или разделить на одно и то же
отрицательное число, изменив при этом
знак неравенства на противоположный ( <
на >, > на <).
б) если обе части неравенства умножить или
разделить на одно и то же выражение,
отрицательное при всех значениях
переменной, и изменить знак исходного
неравенства на противоположный, то
получится неравенство, равносильное
данному.
Например: а) - 6х3 + 3х – 15 < 0
2х3 – х + 5 > 0
б) (3х – 4 )(-х2 – 2) > 0

15.

Решите неравенство:
5х + 3(2х – 1)>13х - 1
Решение: 5х + 6х – 3 >13х – 1
5х + 6х – 13х > 3 – 1
-2х > 2
х < -1
Ответ: (-∞; -1)

16.

Квадратные неравенства
Неравенства вида
ах2 + bх + с > 0, где а ≠ 0,
а,b,с - некоторые числа,
называются квадратными.
Методы решения
графический
интервалов

17.

Алгоритм применения
графического метода:
1. Найти корни квадратного трехчлена
ах2+bх+с, т.е. решить уравнение
ах2+bх+с=0.
2.Отметить найденные значения на оси х в
координатной плоскости.
3. Схематично построить график параболы.
4. Записать ответ в соответствии со знаком
неравенства.
Частные случаи при D < 0:
а) а < 0,
ах2 + bх + с ≥ 0 нет решений
ах2 + bх + с < 0 (-∞;+∞)
б) а > 0
ах2 + bх + с > 0 (-∞;+∞)
ах2 + bх + с ≤ 0 нет решений

18.

Алгоритм выполнения метода
интервалов:
1. Разложить на множители квадратный
трехчлен, используя формулу ах2+bх+с =
а(х-х1)(х-х2), где х1,х2- корни квадратного
уравнения ах2+bх+с=0.
2. Отметить на числовой прямой корни х1 и
х2 .
3. Определить знак выражения а(х-х1)(х-х2)
на каждом из получившихся промежутков.
4. Записать ответ, выбрав промежутки с
соответствующим знаку неравенства знаком
(если знак неравенства <,то выбираем
промежутки со знаком «-», если знак
неравенства >, то выбираем промежутки со

19.

Решите неравенство: х2 – 6х + 8 > 0
Решение: Разложим квадратный
трехчлен
х2 – 6х + 8 на
множители. Решим уравнение
х2 – 6х + 8 = 0
Д = 36 – 32 = 4, 4>0, два корня
х1,2 = (6 ± 2) : 2
х1 = 4, х2 = 2
х2 – 6х + 8 = (х – 2)(х - 4)
Отметим на числовой прямой корни
трехчлена 2 и 4.Определим знаки
выражения (х-2)(х-4) на каждом из
промежутков.
+
2
-
4
+

20.

Решение рационального неравенства
сводится к решению эквивалентного
неравенства
Рn(х) × Qm(x) > 0,

21.

Пример:
Решить неравенство
Решение:
Данное неравенство равносильно неравенству
х²(х² – х – 2) < 0.
Множество решений последнего неравенства
находится методом интервалов: ( -1;0)U(0;2).
Ответ: (-1;0) U(0;2).

22. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение A (x) = B (x), в котором хотя бы одно из
выражений A(x), B(x) иррационально, называется
иррациональным.
Примерами таких уравнений могут служить
x 3 x 4 7,
Уравнение же
2
2
x 9 x 9 10 0
2 x 4 5 3x 4
3
3
2
0
2
Рационально, поскольку в нём x не находится под знаком корня.
Понятия корня уравнения и его решения для
иррациональных уравнений определяют так же, как и для
рациональных.

23. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Как правило , иррациональное уравнение сводится к равносильной
системе, содержащей уравнения и неравенства .
1.
f ( x ) g ( x),
f ( x) g ( x ),
f ( x) g ( x)
или
f ( x ) 0.
g ( x ) 0.
Замечание. Из двух систем выбирают ту. которая решается
проще.
Пример.
3 x x 2 5 x 2,
2
3 x x 5x 2
x 2 4 x 5,
x 3;
3 x 0;
x 5,
x 1,
x 3;
x 1.

24. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2.
f ( x ) a
a2.
если a < 0, уравнение не имеет корней.
если a >= 0, уравнение равносильно уравнению f (x) =
Замечание. Иногда иррациональное уравнение можно свести к
приведённому виду с помощью введения новой переменной.
Пример.
x
z x 1,
x 1 5 ( x 1) x 1 6 0
2
z z 6 0
z 2, x 1 2,
x 3.
z 3;
Первое уравнение совокупности не имеет корней, корень
второго уравнения
х) = 8.

25. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

g ( x ) 0,
f ( x) g ( x)
2
f
(
x
)
g
( x ).
3.
Пример.
x 1 0
7 x x 1
7 x ( x 1)
x 1
2
x x 6 0
2
x 1
x 2
x 3
x 3.

26.

Графический метод
x 4 x 2 4x 2
Решите графически
уравнение
Решение: В одной
системе координат
построим графики
f ( x) x 4
функций
и
p( x) x 2 4 x 2
.
Графики пересекаются
в двух точках А и В.
Данное уравнение
имеет два корня.
x1 0, x 2 4,2

27.

«Найди О.Д.З.»
x 3 6 2 x 18
«Выполни замену»
2
2
x 3x x 3x 2
«Умножай на сопряжённое
выражение»
4 x 5 x 3
«Переходи к модулю»
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 6

28. Иррациональные неравенства

Решение иррациональных неравенств осложняется тем
обстоятельством, что неравенства A (x) < B (x) и
An (x) < Bn (x) не являются равносильными:
Ведь только для неотрицательных чисел a и b из a < b
следует an < bn , а из an < bn следует a < b.
Поэтому при решении иррациональных неравенств надо
учитывать знаки его левой и правой частей.
Как правило , иррациональное неравенство сводится
к равносильной системе ( или совокупности систем )
неравенств.

29. Иррациональные неравенства

g ( x ) 0,
f ( x) g ( x)
f ( x ) g ( x 0.
g ( x ) 0,
f ( x) g ( x)
f ( x ) g ( x ).
f ( x) 0,
f ( x) g ( x ) g ( x ) 0,
f ( x) g 2 ( x).
f ( x ) 0,
f ( x ) g ( x ) g ( x ) 0,
f ( x ) g 2 ( x ).
g ( x ) 0,
f ( x ) 0;
f ( x ) g ( x )
g ( x ) 0,
f ( x ) g 2 ( x ).
g ( x ) 0,
f ( x ) 0;
f ( x) g ( x)
g ( x ) 0,
f ( x ) g 2 ( x ).

30.

Пример
Ответ:

31.

Пример
-1
0
2
х

32.

Тригонометрическим
уравнением
называется уравнение, в
котором переменная является
аргументом одной или
нескольких
тригонометрических функций.

33. Основные типы тригонометрических уравнений

Однородные тригонометрические урав
нения первой степени
Неоднородные тригонометрические ур
авнения первой степени
Однородные уравнения второй степен
и и уравнения, приводящиеся к ним
Уравнения, приводящиеся к квадратно
му относительно функции
sin x или cos x

34. Простейшие тригонометрические уравнения

sin x = a, cos x =
a,
tg x = a, ctg x = a

35. Решение уравнений с помощью формул

sinx=a,
x=(-1) n arcsina +Пn.
a+2Пn.
sinx=0
x=Пn.
sinx=1
x=П /2+ 2Пn.
sinx=-1
x= - П/2+2Пn.
tgx=a x=arctg a+Пn.
cosx=a
x=± arccos
cosx=0
x=П/2+ Пn.
cosx=1
x=2Пn.
cosx=-1
x=П+2Пn.

36. Решить уравнение 2cos2x=-1

Решение.
2cos2x=-1
cos2x=-1/2
2x=+(п-arccos1/2)+2Пn
2x=+(П-П/3)+2Пn
2x=+2П/3+2Пn
x=+П/3+Пn, n-целое число.
Ответ: +П/3+Пn, n - целое число.

37. Решить уравнение tg(3x- П/3)=-1

Решение.
tg(3x-П/3)=-1
3x-П/3=-arctg1+Пn
3x-П/3=-П/4+Пn
3x=-П/4+П/3+Пn
3x=П/12+Пn
x=П/36+Пn/3, n- целое число.
Ответ: П/36+Пn/3, n-целое число.

38. Однородные тригонометрические уравнения первой степени

asin x + bcos x = 0 ,
а≠0, b≠0.
Делением на cos x такое уравнение сводится к
линейному уравнению относительно tg x. При
использовании этого приема не происходит
потери решения, хотя ОДЗ при таком
преобразовании сужается.

39. Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени

asin x + bcos x = c ,
а≠0, b≠0.
При решении уравнений такого вида
применяется метод вспомогательного угла.

40. Однородные уравнения второй степени и уравнения, приводящиеся к ним

а sin²x+b sin xcos x+c cos²x= 0
а≠0, с≠0.
Делением на
cos²x ≠ 0 это уравнение приводится
к квадратному относительно функции tg x :
a tg²x + b tgx + c = 0.

41. Метод введения новой переменной

tgx/2+3ctgx/ 2=4.
y=tgx/2,
y+3/y=4,
y2+3=4y,
y2-4y+3=0,
y=1, y=3.
tgx/2=1 или
tgx/2=3
x=П/2+2Пn;
x=2arctg3+2Пn,
n-целое число
Ответ: x= П/2+2Пn, x=2arctg3+2Пn

42. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ.

Решить уравнение
2sinxcos5x-cos5x=0.
Решение.
2sinxcos5x-cos5x=0
cos5x(2sinx-1)=0
cos5x=0;
sinx=1/2,
5x=П/2+Пn;
x=(-1)n П/6+Пn,
x=П/10+Пn/5;
x=(-1)n П/6+Пn, -целое число.
Ответ:x=П/10+Пn/5, x=(-1)n П/6+Пn, -целое число.

43. Решить уравнение 2sin2x-5sinx+2=0.

Решение.
2sin 2x-5sinx+2=0
sinx=t
2t 2-5t+2=0
t=2, t=1/2
sinx=2, sinx=1/2.
Уравнение sinx=2 не имеет решений.
sinx=1/2
X=(-1) n П/6+Пn, n-целое число.
Ответ: (-1) n П/6+Пn, n-целое число.

44. Решение простейших тригонометрических неравенств

45. Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида

sin t a (sin t a )
cos t a (cos t a )
tg t a (tg t a)
ctg t a (ctg t a )

46. Рассмотрим решения неравенств вида:

1
cos t и
2
1
cos t
2
1
sin t
2

47. Шаг 1

1
cos t
2
Шаг 1
y
P(1;0)
0
x

48. Шаг 2

1
cos t
2
Шаг 2
y
P(1;0)
0
1
2
x

49. Шаг 3

1
cos t
2
Шаг 3
y
M2
P(1;0)
0
x
1
2
M1

50. Шаг 4

1
cos t
2
Шаг 4
y
M2
P(1;0)
0
1
2
x
M1

51. Шаг 5

1
cos t
2
Шаг 5
y
M2
P(1;0)
0
1
2
x
M1

52. Шаг 6

1
cos t
2
Шаг 6
y
M2
Р(1;0) -> М2 при повороте на угол: t2= π/3,
а также на углы: π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2…
P(1;0)
0
1
2
x
M1
Р(1;0) -> М1 при повороте на угол: t1= –π/3,
а также на углы: – π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2…

53. Шаг 7

1
cos t
2
Шаг 7
y
M2
Р(1;0) -> М2 при повороте на угол: t2= π/3,
а также на углы: π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2…
P(1;0)
0
1
2
-π/3 ≤ t ≤ π/3
x
M1
Р(1;0) -> М1 при повороте на угол: t1= –π/3,
а также на углы: – π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2…

54. Шаг 8

1
cos t
2
Шаг 8
y
M2
Р(1;0) -> М2 при повороте на угол: t2= π/3,
а также на углы: π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2…
-π/3 ≤ t ≤ π/3
P(1;0)
0
1
2
x
Все решения данного
неравенства – множество
промежутков
-π/3 + 2πn ≤ t ≤ π/3 + 2πn,
M1
n – целое число.
Р(1;0) -> М1 при повороте на угол: t1= –π/3,
а также на углы: – π/3 + 2 πn, n = ±1; ±2…

55. Шаг 9

1
cos t
2
Шаг 9
y
Все решения данного
неравенства – множество
промежутков
M2
-π/3 + 2πn ≤ t ≤ π/3 + 2πn,
P(1;0)
0
1
2
n – целое число.
x
M1
Ответ: -π/3 + 2πn ≤ t ≤ π/3 + 2πn, n – целое число.
Ответ: [-π/3 + 2πn; π/3 + 2πn], n – целое число.

56. Решите неравенство

tg t 1

57.

tgt 1
y
А(1;1)
Рt1
P(1;0)
0
x
l
Т
Р
2
Ответ:
(-π/2 + πn; π/4 + πn), n – целое число.

58. Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Построить единичную окружность.
Отметить число а на соответствующей оси.
- Провести прямую, проходящую через данную точку и
перпендикулярную оси, на которой она расположена
(sin t, cos t).
- Провести луч из начала координат через полученную
точку
(tg t).
Отметить точки пересечения прямой с окружностью.
Определить дугу, точки которой удовлетворяют
заданному неравенству.
Найти значение углов поворота, соответствующих
полученным точкам.
Записать ответ, учитывая область значений, область
определения и периодичность функции.

59.

Логарифмические уравнения
Уравнения, содержащие переменную под знаком
логарифма (в частности, в основании логарифма),
называются логарифмическими.
Решение этих уравнений основано на следующей теореме.
Теорема 1. Уравнение
равносильно системе

60.

Метод потенцирования
Решить уравнение:
Данное уравнение равносильно системе:
Ответ:
Ответ:

61.

Использование определения
Решим уравнение:
Решение.
Ответ: 3

62.

Приведение к квадратному
Решить
уравнение
Решение.
Ответ:

63.

Метод логарифмирования
Решить
уравнение
Решение.
Ответ: 0,1; 100

64.

Метод введения новой
переменной
Решить
уравнение
Решение
Пусть
Учитывая,
что
Получим
уравнение
Ответ: 16
, тогда

65.

Функционально-графический
метод
Решить уравнение
Решение.
Построим графики
функций
Y=lg x и
y=x
Ответ: корней нет.

66.

67.

Логарифмические
неравенства
Если а>1, то функция y=log а x возрастающая,
значит, неравенство log а f(x)>b равносильно
системе
f(x)>a b (знак исходного неравенства знак исходного неравенства
сохраняется)
f(x)>0 (знак исходного неравенства ОДЗ))
Пример:
log 2 (7x+1)>3.
Данное неравенство равносильно системе:
( Основание логарифма а=2>1, знак
неравенства сохраняем.)
7х + 1> 23,
7х + 1>0;
7х > 7 ,
7х > -1;
х > 1,

68.

Если 0 < а< 1, то функция y=log a x убывающая,
значит, неравенство log a f(x)>b равносильно
системе
f(x) < ab (знак исходного неравенства знак исходного неравенства меняется)
f(x)>0 (знак исходного неравенства ОДЗ))
Пример:
log 0,2 (4x+5)>-2.
Данное неравенство равносильно системе:
4x+5< (0,2) -2,
4x+5>0 ;
4х< 25 – 5,
4х > -5;
х< 5,
х > - 1,25.
Ответ: (- 1,25; 5).

69.

Показательные уравнения
Уравнения вида
х
а в
где
а 0, а 1, х переменная
Называется показательным

70.

Способы решения показательных
уравнений
-приведение степеней к одному
основанию в уравнении ;
а
х1
а
х2
х1 х2
-разложение на множители;
-введение новой переменной;
-деление на степень;
-графический способ;
-оценивание частей уравнения;
-подбор корня.

71.

Приведение к одному
основанию
Разложение на множители
3)53 х 3 * 53 х 2 140
х
1
3) 25
5
х
2
5 5
х 2
х
1
1
4)
81
3
х 4
53 х 2 * (52 3) 140
53 х 2 * 28 140
53 х 2 5
3 х 2 1
х 1
4)2 х 1 3 * 2 х 1 5 * 2 х 6 0
2 х 1 * (2 2 3 5 * 2) 6
2 х 1 * (4 3 10) 6
2 х 1 2
х 1 1
х 2

72.

Подбор корня
1)4 х 25 х 29
у 4 х возрастающая
g 25 х возрастающая
значит, у g 4 х 25 х возрастающая
каждоеположительноезначениепринимает
толькоодин раз
прих 1выполняется : 41 251 29

73.

Введение новой переменной
9
3
х–
2х
4*3 х +3 = 0
– 4 * 3х + 3 = 0
t= 3 х
t2- 4*t+ 3 = 0
t1+ t2= 4 и t1*t2=3
t1=1 , t2=3
3х=1 или 3х= 3
Х= 0 , х= 1
Ответ: 0; 1

74.

Показательные неравенства
Решить неравенство 2 x 1
x
При каких х график функции лежит y 2
прямой
?
y 2 x
выше
y 2 x
График функции
лежит в ы ш е прямой y 1
y 1
при x>0.
Значит, неравенство 2 x 1
верно при x 0;
1
0
?
1
y 1
Ответ: 0;
При каких х верно неравенство 2 x 1 ?

75.

Простейшие показательные
неравенства
Определение:
Неравенство, содержащее неизвестную
в показателе степени, называется
показательным неравенством.
Определение:
Неравенство в и д а
a f ( x ) a g ( x ) , a 0, a 1
называется простейшим показательным неравенством.

76. Решение простейших показательных неравенств

a 0, a 1
a
f ( x)
a
g ( x)
a 1
0 a 1
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
Знак неравенства
Меняется
Сохраняется

77. Что нужно учесть при решении показательных неравенств ?

Решить неравенство 2 x 1
?
2 x 1 2 x 20 x 0.
Что нужно учесть при решении простейших
показательных неравенств ?
1. Привести основания степени к одинаковому основанию
2. Использовать свойства монотонной
функции

78. Решите неравенство

25
x 3
2 x 3
5
1
5
5
3x 1
1 3 x 1
5 2 x 6 5 3 x 1
2 x 6 3 x 1
2 x 3x 1 6
x 5
x 5;
x
-5
Ответ:
5;

79.

Решите неравенство
0,36
7 x 1
2 x
1
7 x 1
2 x
0,36
0,360
7 x 1
0
2 x
7 x 1 2 x 0
7 x 1 x 2 0
1
x 2
7
1
7
2
x
Ответ:
1
;2
7

80. Литература.

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11 класс.
А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа 10-11 класс.
Н.Я.Виленкин. Алгебра и математический анализ 9, 10
класс.
Ф.Ф.Лысенко. Тематические тесты 10-11 класс. Часть 1.
Т.А.Корешкова. Математика. ЕГЭ. Типовые тестовые
задания. Издательство «Экзамен» 2009г.
А.Г. Цыпкин. Справочник по методам решения задач по
математике. Москва, изд. «Наука», 1989г.
В.В. Вавилов. Задачи по математике. Уравнения и
неравенства. Москва, изд. «Наука», 1987г.
Интернет-ресурсы.
www.wiki.ruwww.school.ru
www.a-nomalia.narod.ru
www.egypet-best.ru
www.pyramids.ru