Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

08.06.2022
1

2. Формулы сложения:

sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tg tg
tg
1 tg tg
08.06.2022
2

3. Формулы двойного аргумента:

sin 2 2sin cos
2
2
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2tg n
,
n
Z
tg 2
2
4
2
1 tg
08.06.2022
3

4.

Формулы половинного
аргумента:
1 cos
sin
2
2
1 cos
2
2
cos
2
1 cos 2sin
2
1 cos 2 cos 2
2
2
2
1 cos
tg
2 n, n Z
2 1 cos
2
1 cos
tg
, n, n Z
2
sin
08.06.2022
sin
tg
, 2 n, n Z
2 1 cos
4

5.

№27.54: Решите уравнение 1 cos x 2sin
x
2
Решение: Воспользуемся формулой понижения
аргумента для косинуса:
x
x
2sin
2
2
x
x
sin 2 sin 0
2
2
x
x
sin sin 1 0
2
2
2sin 2
x
sin 2 0
sin x 1
2
08.06.2022
x
2 n
x 2 n
2 2
x 2 n, n Z
x 4 n, n Z
Ответ : 2 n; 4 n, n Z
5

6.

№27.54: Решите уравнение1 cos x sin x sin
x
2
Решение: Воспользуемся формулой понижения аргумента
для косинуса и синуса:
x
x
2sin
sin x sin
2
2
x
x
x
x
2sin 2 2sin cos sin
2
2
2
2
x
2 x
2 x
sin sin cos 0
2
2
2
x
x
sin 1 cos 0
2
2
2
x
sin 2 0
cos x 1
2
08.06.2022
x
2 n
x 2 n, n Z
x 2 n x 4 n, n Z
2
Ответ : 2 n, n Z
6

7.

Решите уравнение (Всесибирская олимпиада 2017)
sin 2 x sin 2 2 x sin 2 3x 2
Решение: Воспользуемся формулой понижения степени
sin 2 х
1 cos 2 х
2
1 cos 2 x 1 cos 4 x 1 cos 6 x
2
2
2
2
3 cos 2x cos 4x cos6x 4
cos 2x cos 4x cos6x 1
08.06.2022
7

8. Рассмотрим выражение

sin a b sin a b
sin a cos b cos a sin b
sin a cos b cos a sin b
2sin a cos b
sin a b sin a b 2sin a cos b
08.06.2022
8

9.

sin a b sin a b 2sin a cos b
x y
a
a b x
2
Если
a b y
b x y
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
08.06.2022
9

10. Преобразовать в произведение:

sin50 sin 40
Решение : sin50 sin 40
50 40
50 40
2sin
cos
2
2
2sin 45 cos5 2 cos5 .
08.06.2022
10

11. Рассмотрим следующую формулу:

sin x sin y sin x sin y
2sin
08.06.2022
x y
cos
x y
2
2
x y
x y
2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
11

12.

x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
08.06.2022
12

13. Выведем формулу суммы косинусов:

cos x cos y sin x sin y
2
2
x y
x y
2
2
2sin 2
cos 2
2
2
x y
x y
2sin
cos
2
2
2
x y
x y
2 cos
cos
2
2
08.06.2022
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
13

14. Аналогично выводится формула разности косинусов:

x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2sin
sin
2
2
08.06.2022
14

15.

x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2sin
sin
2
2
08.06.2022
15

16. Выведем формулу суммы тангенсов:

sin x sin y
tgx tgy
cos x cos y
sin x y
sin x cos y sin y cos x
cos x cos y
cos x cos y
tgx tgy
08.06.2022
sin x y
cos x cos y
16

17. Выведем формулу разности тангенсов:

sin x sin y
tgx tgy
cos x cos y
sin x y
sin x cos y sin y cos x
cos x cos y
cos x cos y
tgx tgy
08.06.2022
sin x y
cos x cos y
17

18. Выучить наизусть:

x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
cos x cos y 2 cos
x y
x y
cos
2
2
cos x cos y 2sin
x y
x y
sin
2
2
tgx tgy
tgx tgy
08.06.2022
sin x y
cos x cos y
sin x y
cos x cos y
18

19.

Решите уравнение (Всесибирская олимпиада 2017)
sin 2 x sin 2 2 x sin 2 3x 2
Решение: Воспользуемся формулой понижения степени
sin 2 х
1 cos 2 х
2
1 cos 2 x 1 cos 4 x 1 cos 6 x
2
2
2
2
3 cos 2x cos 4x cos6x 4
cos 2x cos 4x cos6x 1
cos 2x cos6x cos 4x 1
2cos 4 x cos 2 х cos 4 х 1
2cos 4x cos 2х cos 4х 1
08.06.2022
19

20.

2cos 4x cos 2х cos 4х 1
2 2 cos 2 2 x 1 cos 2 х 2сos 2 2 x 1 1
4 cos3 2 x 2 cos 2 2 х 2сos 2 x 0
2сos 2 x 2 cos 2 2 x cos 2 х 1 0
сos 2 x 0
cos 2 x 1
1
cos 2 х
2
08.06.2022
2 x 2 n,
2 x 2 n,
2 х 2 n,
3
Ответ :
4
n
2
;
2
n
x
,n Z
4 2
x n, n Z
2
х n, n Z
6
n;
6
n, n Z
20

21. Задания для закрепления изученного материала

№28.8. Представить в виде
произведения:
a) sin 5 x 2sin 6 x sin 7 x
Решение :sin5x 2sin 6x sin 7 x sin5x sin 7 x 2sin 6x
2sin 6 x cos x 2sin 6 x 2sin 6 x cos x 1
2 x
2 x
2sin 6 x 2 cos 4sin 6 x cos
2
2
08.06.2022
21

22. Задания для закрепления изученного материала

№28.8. Представить в виде
произведения:
б )2 cos x cos 2 x cos 4 x
Решение : 2cos x cos 2x cos 4x 2cos x 2cos3x cos x
3x
2 3x
2cos x 1 cos3x 2 cos x 2 cos
4 cos x cos
2
2
2
08.06.2022
22

23. Задания для закрепления изученного материала

№28.11. Упростите выражение:
cos cos
sin sin
Решение :
cos cos
sin sin
2sin sin
2sin cos
sin
tg
cos
08.06.2022
23

24. Задания для закрепления изученного материала

№28.10. Упростите выражение:
sin 2 x sin 6 x
cos 2 x cos 6 x
sin 2 x sin 6 x 2sin 4 x cos 2 x
Решение :
tg 4 x
cos 2 x cos 6 x 2 cos 4 x cos 2 x
08.06.2022
24

25. Задания для закрепления изученного материала

№28.12. Упростите выражение:
sin x sin 2 x sin 3 x
cos x cos 2 x cos 3x
sin x sin 2 x sin 3 x
sin x sin 3 x sin 2 x
Решение :
cos x cos 2 x cos 3x
cos x cos 3 x cos 2 x
sin 2 x 2 cos x 1
2sin 2 x cos x sin 2 x
tg 2 x
2 cos 2 x cos x cos 2 x cos 2 x 2 cos x 1
08.06.2022
25

26. Задания для закрепления изученного материала

cos 68 cos 22
№28.14. Вычислите:
sin 68 sin 22
cos 68 cos 22 2sin 45 sin 23
Решение :
1
sin 68 sin 22
2sin 23 cos 45
08.06.2022
26

27. Задания для закрепления изученного материала

sin130 sin110
№28.14. Вычислите:
cos130 cos110
sin130 sin110 2sin120 cos10
Решение :
tg120 3
cos130 cos110 2 cos120 cos10
08.06.2022
27

28. Задания для закрепления изученного материала

7
sin
18
9
№28.14. Вычислите:
7
cos
cos
18
9
7 2
7 2
18 18
18 18
2sin
cos
7
2
2
sin
sin
18
9
Решение :
5
7
2sin
sin
cos
cos
4
36
18
9
sin
5
cos
36
4 1
5
2sin sin
4
36
2sin
08.06.2022
28

29. Задания для закрепления изученного материала

№28.19. Вычислите:
sin 20 sin 40 cos10
Решение :sin 20 sin 40 cos10
2sin30 cos10 cos10 cos10 cos10 0
08.06.2022
29

30. Задания для закрепления изученного материала

№28.19. Вычислите:
cos85 cos35 cos 25
Решение : cos85 cos35 cos 25
2cos60 cos 25 cos 25 cos 25 cos 25 0
08.06.2022
30

31. Задания для закрепления изученного материала

№28.15. Вычислите:
sin x sin 3 x sin 5 x sin 7 x
1
если ctg 4 x
cos x cos 3 x cos 5 x cos 7 x
5
sin x sin 3 x sin 5 x sin 7 x
Решение :
cos x cos 3x cos 5 x cos 7 x
2sin 2 x cos x 2sin 6 x cos x
sin 2 x sin 6 x
2 cos 2 x cos x 2 cos 6 x cos x cos 2 x cos 6 x
2sin 4 x cos 2 x
sin 4 x
tg 4 x
2 cos 4 x cos 2 x cos 4 x
08.06.2022
ctg 4 x
1
tg 4 x 5.
5
31

32. Задания для закрепления изученного материала

№28.16. Вычислите:
sin 2 10 sin 2 130 sin 2 110
Решение: Воспользуемся формулой понижения степени
1 cos 2 х
sin х
2
2
1 cos 20
2
1 cos 260
1 cos 220
2
2
3 cos 20 cos 260 cos 220 3 cos 20 cos80 cos 40
2
2
3 cos 20 2 cos 60 cos 20
3 cos 20 cos 20
1,5
2
2
08.06.2022
32

33. Задания для закрепления изученного материала

№28.16. Вычислите:
cos 2 35 cos2 25 cos2 5
Решение: Воспользуемся формулой понижения степени
1 cos 2 х
cos х
2
2
1 cos 70
2
1 cos 50 1 cos10
2
2
1 cos 70 cos 50 cos10
1 2 cos 60 cos10 cos10
2
2
08.06.2022
1 cos10 cos10 1
2
2
33

34. Задание на оценку:

Вычислите:
sin 8 x sin 9 x sin10 x sin11x cos8 x cos 9 x cos10 x cos11x
cos8 x cos 9 x cos10 x cos11x sin 8 x sin 9 x sin10 x sin11x
08.06.2022
34

35.

Спасибо за внимание.
08.06.2022
35