Преобразование суммы тригонометрических выражений

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

27.01.2026
1

2. Формулы сложения:

sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tg tg
tg
1 tg tg
27.01.2026
2

3. Формулы двойного аргумента:

sin 2 2sin cos
2
2
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2tg n
,
n
Z
tg 2
2
4
2
1 tg
27.01.2026
3

4.

Формулы половинного
аргумента:
1 cos
sin
2
2
1 cos
2
2
cos
2
1 cos 2sin
2
1 cos 2 cos 2
2
2
2
1 cos
tg
2 n, n Z
2 1 cos
2
1 cos
tg
, n, n Z
2
sin
27.01.2026
sin
tg
, 2 n, n Z
2 1 cos
4

5.

x
№27.54: Решите уравнение 1 cos x 2sin
2
Решение: Воспользуемся формулой понижения
аргумента для косинуса:
x
x
2sin
2
2
x
x
sin 2 sin 0
2
2
x
x
sin sin 1 0
2
2
2sin 2
x
sin 2 0
sin x 1
2
27.01.2026
x
2 n
x 2 n
2 2
x 2 n, n Z
x 4 n, n Z
Ответ : 2 n; 4 n, n Z
5

6. Рассмотрим выражение

sin a b sin a b
sin a cos b cos a sin b
sin a cos b cos a sin b
2sin a cos b
sin a b sin a b 2sin a cos b
27.01.2026
6

7.

sin a b sin a b 2sin a cos b
x y
a
a b x
2
Если
a b y
b x y
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
27.01.2026
7

8. Преобразовать в произведение:

sin50 sin 40
Решение :sin50 sin 40
50 40
50 40
2sin
cos
2
2
2sin 45 cos5 2 cos5 .
27.01.2026
8

9. Рассмотрим следующую формулу:

sin x sin y sin x sin y
x y
x y
2sin
cos
2
2
x y
x y
2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
27.01.2026
9

10.

x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
27.01.2026
10

11. Выведем формулу суммы косинусов:

cos x cos y sin x sin y
2
2
x y
x y
2
2
2sin 2
cos 2
2
2
x y
x y
2sin
cos
2
2
2
x y
x y
2 cos
cos
2
2
27.01.2026
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
11

12. Аналогично выводится формула разности косинусов:

x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2sin
sin
2
2
27.01.2026
12

13.

x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2sin
sin
2
2
27.01.2026
13

14. Выведем формулу суммы тангенсов:

sin x sin y
tgx tgy
cos x cos y
sin x y
sin x cos y sin y cos x
cos x cos y
cos x cos y
sin x y
tgx tgy
cos x cos y
27.01.2026
14

15. Выведем формулу разности тангенсов:

sin x sin y
tgx tgy
cos x cos y
sin x y
sin x cos y sin y cos x
cos x cos y
cos x cos y
sin x y
tgx tgy
cos x cos y
27.01.2026
15

16. Выучить наизусть:

x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
cos x cos y 2 cos
x y
x y
cos
2
2
cos x cos y 2sin
x y
x y
sin
2
2
sin x y
tgx tgy
cos x cos y
27.01.2026
sin x y
tgx tgy
cos x cos y
16

17. Задания для закрепления изученного материала

№28.8. Представить в виде
произведения:
a) sin 5 x 2sin 6 x sin 7 x
Решение : sin5x 2sin 6x sin 7 x sin5x sin 7 x 2sin 6x
2sin 6 x cos x 2sin 6 x 2sin 6 x cos x 1
2 x
2 x
2sin 6 x 2 cos 4sin 6 x cos
2
2
27.01.2026
17

18. Задания для закрепления изученного материала

№28.11. Упростите выражение:
cos cos
sin sin
cos cos 2sin sin
Решение :
sin sin
2sin cos
sin
tg
cos
27.01.2026
18

19. Задания для закрепления изученного материала

№28.10. Упростите выражение:
sin 2 x sin 6 x
cos 2 x cos 6 x
sin 2 x sin 6 x 2sin 4 x cos 2 x
Решение :
tg 4 x
cos 2 x cos 6 x 2 cos 4 x cos 2 x
27.01.2026
19

20. Задания для закрепления изученного материала

№28.12. Упростите выражение:
sin x sin 2 x sin 3 x
cos x cos 2 x cos 3x
sin x sin 2 x sin 3x
sin x sin 3 x sin 2 x
Решение :
cos x cos 2 x cos 3x
cos x cos 3 x cos 2 x
sin 2 x 2 cos x 1
2sin 2 x cos x sin 2 x
tg 2 x
2 cos 2 x cos x cos 2 x cos 2 x 2 cos x 1
27.01.2026
20

21. Задания для закрепления изученного материала

cos 68 cos 22
№28.14. Вычислите:
sin 68 sin 22
cos 68 cos 22 2sin 45 sin 23
Решение :
1
sin 68 sin 22
2sin 23 cos 45
27.01.2026
21

22. Задания для закрепления изученного материала

sin130 sin110
№28.14. Вычислите:
cos130 cos110
sin130 sin110 2sin120 cos10
Решение :
tg120 3
cos130 cos110 2 cos120 cos10
27.01.2026
22

23.

Спасибо за внимание.
27.01.2026
23